N? har det seg slik at n?r man skyter opp en rakett fra en planet s? er man litt avhengig av ? vite hvor du er, men det er enda viktigere ? vite hvor du skal og n?r du skal v?re der. I verdensrommet s? har det seg slik at det ikke helt er s? tomt, i et solsystem som vi er i s? hender det at det er planeter i veien, og det skikkelig kjipe med ? kr?sje med en planet er at raketten din har en tendens til ? bli ?delagt. Verre enn ? kr?sje med en elg alts?. N? dette er ganske kjipt og vi pr?ver ? unng? dette s? for ? gj?re dette s? er det en veldig enkel teknikk vi bruker, vi finner ut av hvor elgen er! Sa jeg elg, jeg mener planetene, vi finner ganske enkelt ut av hvor planetene er. N?r vi vet hvor planetene er s? har vi en veldig enkel strategi; ikke v?r der planetene er. N?r det kommer til ? vite hvor planetene er s? har man et par triks. Disse triksene kan og blir av mange kalt Keplers lover, disse lovene er som f?lger:
1: Planetenes baner er ellipser med stjernen de g?r i bane rundt i det ene brennpunktet.
2: Arealet av utsveipt bane er lik for alle like diskrete tidssteg.
3: Forhold mellom baneradius og oml?pstid er som f?lger: \(\frac{T^2}{R^3} \) og denne er lik for alle planetene i systemet.
Keplers lover er veldige fine til ? bedrive med baneberegninger, de gir oss en del verkt?y som hjelper oss i v?re baneberegninger. Vi kan bedrive formelmassasje nok til ? f? et uttrykk sammen med Newton's lover som lar oss perfekt regne ut formen til disse banene, og gj?r vi dette ender vi da opp med f?lgende formel: \(r= \frac{a\cdot(1-e^2)}{1+e\cdot \cos(f)}\) I denne formelen s? har vi et par variabler, a er lengden p? den store halvaksen i ellipsebanen, mens e er eksentrisiteten til banen alts? hvor elliptisk banen er, jo st?rre e jo mer elliptisk, det kan ogs? v?re greit ? nevne at e er ikke mindre enn 0 og ikke st?rre enn 1. S? har vi den siste f er den relative vinkelen til det punktet som ligger lengst unna stjernen. Dette er en veldig relativ st?rrelse, det har seg slik at man m? selv definere det ene vinkelbenet denne vinkelen m?les opp mot. N? historisk sett s? var det en liten feil i Keplers lover, i den ene utledningen s? gjorde Kepler den feilen at han ikke inkluderte massen til planeten. Dette er en feil som han p? mange m?ter er tilgitt for ? ha gjort, han hadde ikke Newtons lover ? lene seg p? som vi har og han hadde tilgang p? datidens beste men dessverre veldig usikre m?linger. I denne usikkerheten s? ligger planetmassen. Det er da ved ? bruke Newtons lover at vi har kommet frem til formelen overfor.
N? disse lovene lar oss perfekt regne ut formen p? banen til planetene, men det er et stort problem, vi vet banen men ikke hvor planetene er ved et visst tidspunkt. Dette er det faktisk direkte umulig ? finne en matematisk formel for, men det er en grei pekepin ? bruke ihvertfall hvordan banene skal se ut n?r vi g?r til neste steg.
S? det vi gj?r er noe som er nesten riktig, vi bruker en s?kalt numerisk metode, dette er faktisk matematisk feil, men det er nesten riktig s? vi sier det er godt nok, p? fysikerspr?k heter dette en fornuftig tiln?rming. Metoden vi bruker for ? regne ut posisjonen til planetene v?re som en funksjon den heter Leapfrog, grunnene til at den heter det den heter skal vi ikke g? inn p? men poenget er at vi f?r ut et svar! N? er ikke disse beregningene perfekte for at de skal v?re det m? vi bruke uendelig sm? tidssteg og dermed bruke uendelig lang tid. ? bruke uendelig lang tid er litt kjipt s? vi n?yer oss istedenfor med en viss mengde steg, i dette tilfellet 30000 per ?r, ogs? regner vi ut banene il?pet av 70 ?r. S? dette krever da som dere skj?nner ganske mange utregninger og det hjelper jo ikke at solsystemet best?r av 8 planeter s? vi m? gjennomf?re 16.8 millioner beregninger. Og det tar ikke engang hensyn til at vi regner i flere dimensjoner alt dette betyr at alle baneberegningene tar veldig lang tid s? da er det praktisk ? regne ut banene og lagre dem slik at vi slipper ? regne de ut p? nytt. S? da kan vi hente dem ut n?r det passer oss og det er litt praktisk.
Figuren dere ser ovenfor er en kombinasjon av den analytiske og numeriske utregningen, som vi kan se s? legger formen som skal v?re helt riktig seg ganske godt opp? den litt feil utregnede banen. Det er da de r?de prikkene som er den analytiske l?sningen og de hele strekene som er den numeriske l?sningen som viser planetenes posisjon som en funksjon av tiden.
For ? nevne litt mer om numeriske beregninger, det har seg slik at store deler av verden er jo basert p? s?kalte ordin?re differensiallikninger. For eksempel sammenhengen mellom posisjonsvektor og aksellerasjonsvektoren, da aksellerasjonen som dere kanskje vet er den dobbeltderiverte av posisjonsvektorfunksjonen. N? er det veldig mulig ? lage slike uttrykk der ? finne den ene basert p? den andre ved hjelp av ordin?re regnetriks er umulig s? da bruker vi numerisk integrasjon eller derivasjon. N? har det seg slik at vi nesten aldri bruker derivasjon rett og slett fordi vi som oftest har ett uttrykk for aksellerasjonen og ikke omvendt. S? det en gj?r er nesten det samme som i vanlig integrasjon s? istedenfor ? integrere over alle de infinitesimale tidselementene s? integrerer vi over mindre diskrete tidssteg. Dette er som nevnt litt feil, men godt nok.
S? da ?nsker jeg ? avslutte med ett oml?pende sitat:
"Hvis du ?nsker ? tro at det g?r en uoppdagelig tekanne i bane rundt Venus og leve livet dit deretter s? er det helt greit, men det er da ogs? greit at jeg baserer livet mitt p? at en slik tekanne ikke eksisterer."
Grovt oversatt av Bertrand Russel og hans tekanne analogi.
LSE Marius
Logg inn for ? kommentere