Logg #010 (Dato: 02.10.42)

Hvordan finner man ut av om en planet er beboelig eller ikke? Hva trenger man? Hvordan regner man? Hvor varmt er det? Er det aliens der?
 

N? ber jeg deg leser tenke p? hva trenger man for at det skal kunne potensielt v?re liv p? en annen planet? Se bort ifra atmosf?re og korrekt kjemisk sammensetning av sagte atmosf?re? Det er et par ting som trengs, vann er fors?vidt greit ? ha, faktisk en overflate ? lande p? er greit s? alle gasskjemper er utelukkede, en levbar temperatur er fors?vidt ikke dumt heller vi vet alle sammen hvordan det er ? sovne under sola i syden, det er litt kjipt om dette er hverdagen din. 

Image: "The blue marble" (https://en.wikipedia.org/wiki/The_Blue_Marble)

Nei all useri?shet til side, idag skal vi nemlig finne ut av hvilke planeter i solsystemet v?rt som er i den gylne sonen kjent som den beboelige sonen. N? hva n?yaktig er den beboelige sonen? Den er vel egentlig litt diffust definert s? kanskje vi kan pr?ve ? definere det litt bedre. Rent teknisk er den beboelige sonen definert som f?lger; "De planetene som er en slik avstand unna stjernen sin at det er mulig for flytende vann ? eksistere ved overflaten" Grunnen til at dette er en litt diffus definisjon er fordi det er mange variabler som spiller inn i overflatetemperaturen til en planet, noen eksempler er; atmosf?re, geotermisk aktivitet, reflektivitet, mottatt energi fra stjernen og hva planeten er laget av, dette er viktig fordi forskjellige materialer har ulik evne til ? holde p? energi. Men i denne utregningen av den beboelige sonen s? skal vi bare se p? energien planetene mottar fra stjernen.

Illustrasjon av hvordan den beboelige sonen i et solsystem kan se ut. De stiplede linjene er planetbaner og det skraverte feltet er avstandene fra stjernen der planeter vil motta riktig mengde energi fra stjerna for ? ha flytende vann p? overflaten. (Tegningen er ikke i realistisk skala)

Det f?rste vi skal gj?re er ? regne ut fluksen planeten v?r mottar fra stjernen, n? lurer dere kanskje litt p? hva fluks er.

Image credit: https://no.wikipedia.org/wiki/Fluks

Fluks er gjennomstr?mning av noe per areal det str?mmes igjennom, og dette "noe" kan v?re s? mangt. I dette tilfellet er dette "noe" energien fra fotoner per areal. S? vi har da f?lgende enhet p? fluksen v?r: \(\frac{J}{m^2s}\) (Joule per kvadratmeter per sekund) dette er da energi per tid per areal. S? vi kan da m?le lett hvor mye energi som kommer fra stjernen v?r, vi m?ler f?rst mengden energi vi mottar, s? deler vi dette p? s? lenge vi m?lte i sekunder. Deretter deler vi dette p? hvor stort areal vi m?lte mottatt energi p?. Vi kan da med dette regne ut n?yaktig hvor mye energi som str?les ut av stjernen per sekund. Dette er ganske greit ? vite hvis en skal regne ut hvor mye energi som treffer en planet. Riktignok s? har ikke vi m?leinstrumentene som kan regne ut dette s? da tar vil heller og tyr til litt utregninger fordi det eneste vi vet er overflatetemperaturen til stjernen v?r. Den er nemlig 7766 grader Kelvin, og n? har vi nemlig litt flaks fordi vi vet om en "magisk" lov som heter Stefan-Boltzmanns lov, og den sier som f?lger: \(F = \sigma T^4\), der \(\sigma = \frac{2\pi^5k_b^4}{15c^2h^3}\), (\(k_b\) er Boltzmanns konstant, \(c\) er lysfarten i vakuum og \(h\) er Plancks konstant) for de som ikke er helt st?dige i matematikken sin s? ser dette skummelt ut og det ser ut som om det er mange variabler, men fortvil ei. Hele den sm?la som er \(\sigma\) (sigma) er en konstant, s? da har vi faktisk at fluksen til stjernen ved dens overflaten kun er avhengig av temperaturen. Da ble plutselig hele denne formelen veldig enkel ? h?ndtere, og dessuten kjenner vi T siden den er overflatetemperaturen til stjernen v?r. Dermed vet vi at fluksen F til stjernen v?r er gitt ved \(\frac{2\pi^5k_b^4}{15c^2h^3}*7766^4\). Setter vi inn for alle konstantene f?r vi da \(F = 206333792 \frac{w}{m^2}\) ved soloverflaten, n? trenger du kanskje ikke meg til ? fortelle deg dette men dette resultatet sier vel ganske enkelt at soloverflaten er ikke et sted du har lyst til ? oppholde deg p? lenge. Herifra s? er det ? finne ut av effekten eller hvor mye energi som str?mmer utifra hele stjernen ganske enkelt, vi m? nemlig bare gange med arealet av kuleskallet som har radius lik stjernens radius. Dette mine damer, herrer, annet og amerikanske angrepshelikoptre er et STOOOORT tall. Faktisk s? er det 2654498364753540500707868672 W, det er et stort tall det. Dette er den totale energien stjernen til Gallifrey frigj?r hvert sekund, det er mye energi, dette er et s? stort tall at det er umulig ? forst?. S? for ? f?rst sammenligne med Tellus sin sol s? er dette 6.87 ganger s? mye energi frigjort per sekund. Kort sagt s? vet vi n? at stjernen som Gallifrey g?r rundt er ganske heit. Men nok om det, da vet vi hvordan stjernen v?r oppf?rer seg. 

Image credit: https://en.wikipedia.org/wiki/Solar_cell

N? skal vi nemlig snakke om noe som er veldig "in" i disse dager og noe som vi selvf?lgelig interesserer oss for som de trendbevisste og moderne rakettforskerne vi er. Vi skal snakke om et veldig enkelt regnestykke som gjelder solceller. Vi trenger nemlig str?m til sonden v?r og det er litt kjipt ? ta med seg forurensende dieselgeneratorer til andre planeter dessuten s? vet vi ikke enda om vi har noe oksygen p? planeten til ? forbrenne dette dieselet. S? da satser vi p? solceller, og det viktige da er at vi m? ha store nok paneler til ? faktisk gi nok energi til sonden. N? har det seg slik at solcellepaneler ikke fungerer s? bra om natten men det er helt greit fordi de begynner ? fungere igjen p? dagen. S? vi tar da hensyn til dette ved ? si at solcellene v?re m? ha en effekt p? 40W dessuten sier vi at cellene klarer ? gj?re om 12% av sollyset som treffer dem til elektrisk energi. S? vi m? da finne et areal som klarer ? plukke opp nok energi en viss avstand fra solen til ? produsere 40W med 12% effektivitet. 

F?rst begynner vi med ? finne fluksen fra stjernen som en funksjon av avstanden til stjernen s? da begynner vi med funksjonen L = FA. S? stokker vi om p? f?lgende m?te: \(L = FA \rightarrow F = \frac{L}{A}\rightarrow F(r)= \frac{L}{4\pi r^2}\) n? hvis du lurer p? hvorfor vi deler L p? \(4 \pi r^2\) s? kan det forklares ganske enkelt, her deler vi p? arealet til et kuleskall, siden stjernen er rund og str?ler i alle retninger s? blir den totale energien fra stjernen fordelt over et kuleskall med en radius som regnes fra stjernens overflate. S? n? har vi en m?te ? regne ut fluksen til en vilk?rlig planet en vilk?rlig avstand fra stjernens overflate. Da har vi det vi trenger for ? finne st?rrelsen p? solcellene. 

Da begynner vi med ? finne fluksen til alle planetene, riktignok s? er dette masse tung regning s? jeg fikk datamaskinen til ? gj?re det for meg med et lite program. Her hentet jeg bare ut hvor langt unna planetene var fra stjernen og regnet ut fluksen ved denne avstanden, det programmet gj?r etter er ? dele 40W-kravet v?rt p? fluksen ved denne avstanden. Dette skal da gi oss st?rrelsen p? de solcellene vi m? ha p? de forskjellige planetene. Her f?lger da en enkel tabell over st?rrelsene vi m? ha. 

On planet 0 the needed solararray surface required is: 0.12592 m^2
On planet 1 the needed solararray surface required is: 0.18000 m^2
On planet 2 the needed solararray surface required is: 0.89612 m^2
On planet 3 the needed solararray surface required is: 8.05674 m^2
On planet 4 the needed solararray surface required is: 0.48364 m^2
On planet 5 the needed solararray surface required is: 4.83160 m^2
On planet 6 the needed solararray surface required is: 2.21972 m^2
On planet 7 the needed solararray surface required is: 12.04123 m^2

Som vi kan se fra resultatene fra programmet mitt s? varierer st?rrelsene som kreves veldig med avstanden til planetene. En ting som er viktig ?  legge merke til er at planet 0-7 ikke er sortert etter hvor de er i solsystemet. N? har det seg slik at vi skal ogs? senere bestemme oss for hvilken planet vi skal reise til s? denne tabellen er det greit ? ha i bakhodet til senere. 

Det neste vi skal gj?re er enda et trinn i den beslutningen som er ? bestemme hvilken planet som er verdt ? dra til, vi skal finne ut av hvor mye energi som absorberes av hver enkelt planet. Dette gj?r vi med et par antakelser, vi antar f?rst at alle lysstr?lene fra stjerna er parallelle (som er rimelig siden avstanden til stjerna er s? stor), vi antar deretter at planetene er stabile sorte legemer alts? at de ikke reflekterer noe energi og vi antar deretter at planetene ikke har noen atmosf?re som holder p? varmen. Dette virker som en god del store og tunge piller ? svelge for noe som skal v?re ganske presise utregninger, men det viser seg at dette gir oss ganske gode og fornuftige resultater. Vi begynner f?rst med ? finne arealet som en planet har, dette er da faktisk ikke s? enkelt som en skulle tro, vi m? nemlig finne ut av hvor stort av planetens areal som mottar energi. Du tenker kanskje n? at dette bare er arealet til en halvkule, men det er faktisk ikke s? enkelt, fordi med arealet til en halvkule s? antar vi at halvparten av planeten bestr?les jevnt. Dette er ?penbart ikke sant, vi har alle kjent p? at sola biter litt mindre ut p? kvelden. Dette tilsvarer da at vi st?r litt utp? kanten av halvkulen som peker mot stjernen og solstr?lene treffer oss skr?tt. Regner vi ut det arealet dekker p? flukskulen til stjernen ved radius til planeten vi regner p? s? finner vi faktisk at dette er det samme arealet som en sirkelskive med radius lik radien til planeten. S? for en gangs skyld s? har flat-jord samfunnet rett, i dette tilfellet s? "er" planetene flate. Men det er vel egentlig greit det bare er ¨¦n gang ogs?. 

De heltrekte solstr?lene treffer planetens overflate i varierende vinkler. Hvis vi trekker dem videre inn til et tverrsnitt av planeten vendt mot stjernen ser vi at alle str?lene treffer jevnt fordelt, vinkelrett p? snittet.

Dette vi gj?r s? er ? bruke formelen for fluksen som vi fant tidligere til ? finne fluksen ved en planet \(F = \frac{L}{4\pi r^2}\) , videre bruker vi sammenhengen mellom fluks, luminositet og energi. Siden luminositet er energi per tid, ogs? kjent som effekt (enhet Watt, \(W\)), og fluks er effekt per areal s? f?r vi f?lgende sammenheng, vi ganger simpelthen begge sider av likningen med arealet til den flate sirkelskiveplaneten v?r og f?r akkurat det vi leter etter. \(P = L\frac{\pi r_p^2 }{4\pi r_d^2}\)= \(L \frac{A_p}{A_k}\)Da har vi muligheten til ? finne mottatt effekt p? en vilk?rlig planet. Her er da det med subskrift p radius og areal til planeten og det med subskrift d og k er i forhold til avstanden fra solen. Det neste vi gj?r er det samme som vi gjorde sist. Vi skriver et program som henter ut verdiene for de diverse planetene i solsystemet v?rt og gj?r dette regnestykket for alle. Jeg skal ikke ramse opp denne tabellen rett og slett fordi det sier oss ikke s? mye intuitivt og det er da heller bedre ? bruke dette resultatet i neste del av beregningene v?re. For da skal vi fors?ke ? regne ut overflatetemperaturen til planetene, og dette krever litt heftig formelmassasje s? ta p? dere sikkerhetsbelte for her skal det matematikkiseres. 

Illustrasjon som viser at arealet som mottar str?ling fra stjerna er sirkelskiven (tverrsnittet) vi s? p? i stad, mens str?lingen ut fra planeten er jevn rundt hele kuleskallet (overflaten).

Vi begynner f?rst med Stefan-Boltzmanns lov (\(L=\sigma T^4\)), dette gir oss luminositeten til planeten s? for ? finne fluksen s? ganger vi med arealet til planetene (\(F=LA\)). Da f?r vi f?lgende sammenheng: \(L = 4 \pi r^2 \sigma T^4\)

Her har vi da at r er radiusen til planeten vi regner p?, sigma er samme sigma fra tidligere og T er temperatur, og L er luminositeten.  S? da har vi del en av likningen v?r, vi antar s? at planeten v?r er i termodynamisk ekvilibrium, alts? at str?mmen av termisk energi inn er lik termisk energi ut. Vi vet ogs? at all den energien som har unnsluppet er i form av elektromagnetisk str?ling og vi antar en homogen likning. For de som ikke fulgte helt med p? det jeg sa n? s? kan vi sette opp f?lgende likning: \(\frac{L_s \pi r_p^2}{4\pi r_d^2} = 4\pi r_p^2 \sigma T^4\) hvor \(L_s\)luminositeten til stjernen. Da har vi videre at \(T^4 = \frac{L_s }{16\pi r_d^2 \sigma}\), da er det ?penbart (kanskje?) at \(T = \sqrt[4]{\frac{L_s}{16 \pi r_d^2 \sigma}}\). Og har du fulgt med s? langt s? skj?nner du veldig godt at n? skal det skrives et program, s? her er tabellen derifra hvor alle planetenes overflatetemperaturer er:

The calculated surface temperature of planet 0 is: 328.689 K
The calculated surface temperature of planet 1 is: 300.600 K
The calculated surface temperature of planet 2 is: 201.240 K
The calculated surface temperature of planet 3 is: 116.216 K
The calculated surface temperature of planet 4 is: 234.788 K
The calculated surface temperature of planet 5 is: 132.064 K
The calculated surface temperature of planet 6 is: 160.410 K
The calculated surface temperature of planet 7 is: 105.109 K

Der K er symbolet for enheten Kelvin.

Da vet vi faktisk hva temperaturen for de forskjellige planeten s? n? skal vi snakke om beboelige planeter, og til dette s? har vi for ?yeblikket kun ett krav og det er at det m? kunne finnes flytende vann der. Ser vi p? kravet for flytende vann s? har vi at temperaturen m? v?re innenfor f?lgende intervall: 345 til 415 grader Kelvin. Dette er et fornuftig intervall, siden kravet sier at det m? finnes flytende vann et sted p? planeten ikke overalt, det tar dessuten hensyn til forskjellig trykk fra atmosf?ren p? planeten siden temperaturen flytende vann kan eksistere ved er avhengig av trykket p? planeten. Derfor har vi et s?pass stort intervall for flytende vann. 

N? ser vi da at det er kun to planeter som oppfyller kravet v?rt om flytende vann det er planet med indeks 0 og 1. N? har det seg slik at vi ikke skal dra til planet med indeks 0 siden det er Gallifrey, istedenfor s? bestemmer vi oss for ? dra til Kessel, planeten med indeks 1. Den ligger s?nn ganske behagelig i midten av kravet v?rt om flytende vann og den er ikke langt unna Gallifrey. S? da er det vel egentlig ikke noe ? tvile p?, vi skal til Kessel. I guess we'd better run! We have a planet to land on! Vi sees p? neste kj?re lesere! 

- LSE Marius