Etter at vi har funnet ut hvilken vei sonden peker trenger vi ? vite hvor fort den beveger seg. Vi har jo gjort simuleringer av dette, men det kan alltids skje ting som gj?r at disse ikke stemmer helt overens med s?nn det blir etter en virkelig oppskytning. Det kan v?re mange ?rsaker til dette, alt fra tiln?rminger vi har tatt under simuleringen til atmosf?riske variabler ved oppskytning kan p?virke sonden. Derfor trenger vi s? snart sonden er ferdig med oppskytning, det vil si n?r den har oppn?dd unnslipningshastighet, ? vite noe om hvordan oppskytningen gikk. Det neste etter at vi nettopp fant ut hvordan vi sjekker retningen er ? se p? hastigheten.
Image credit: https://www.techjuice.pk/pakistan-to-set-up-its-own-space-centre-for-satellite-production-development/
Med andre ord er det to ting vi vil vite; hvor fort sonden beveger seg, og i hvilken retning. Som dere sikkert husker brukte vi i Logg #006 dopplereffekten fra en stjerne til planeten v?r til ? gj?re beregninger p? denne stjernens fart rundt et felles massesenter med en eksoplanet. Det er mye det samme vi skal gj?re n?. Forskjellene er bare at n? er det vi som beveger oss, og vi skal bruke to stjerner. Hvis en vet hvor fort man beveger seg i to retninger kan man vite hastigheten sin. Derfor har vi funnet to stjerner p? nattehimmelen med gunstige vinkler i forhold til banen vi skal f?lge som vi skal m?le hastigheten v?r med underveis. Fra n? av skal vi kalle disse for \(\alpha\) og \(\beta\) for enkelhets skyld. Vi vet vinkelen de befinner seg ved sett fra sonden, og vi har instrumenter ombord p? sonden som kan m?le forskyvningen i b?lgelengder fra kjente stoffer i stjernenes atmosf?re: dopplerskiftet til stjernene. Det vi s? trenger er litt matematikk og et dataprogram, s? kan vi finne hastigheten til sonden v?r.
.png)
Figur 1: Viser vinklene til referansestjernene \(\alpha\) og \(\beta\) i forhold til
xy-referansesystemet v?rt.
Vi m? imidlertid f?rst ta hensyn til at sonden v?r ikke er det eneste som beveger seg med en hastighet i forhold til referansestjernene v?re. Det gj?r nemlig hele resten av solsystemet v?rt ogs?. Sosi og alle hennes planeter beveger seg jo rundt galaksens sentrum, og dette m? vi huske p? om vi ikke skal finne ut at sonden v?r beveger seg med hastigheter rundt 720 000 kilometer i timen. Vi kan heldigvis f? l?ne noen m?linger NASA gjorde for cirka et halvt ?r siden av dopplerforskyvningen i forhold til blant annet disse stjernene for solsystemet v?rt. De fant at dopplerskiftet (\(\Delta\lambda\)) for \(\alpha\) og \(\beta\) er
\(\Delta\lambda_\alpha=-0.015380366630\hspace{3pt}nm\)
og
\(\Delta\lambda_\beta=-0.004715677521\hspace{3pt}nm\)
der \(nm\) er enheten nanometer. Deretter trenger vi formelen for ? regne ut fart fra dopplerskift. Da bruker vi et av fysikerens hyppigst brukte verkt?y: Google, og finner ut at den ser slik ut
\(\vec{v}=-\frac{\Delta\lambda}{\lambda_0}c\hspace{2pt}\hat{u}\)
der \(\lambda_0\) er den b?lgelengden der man forventer ? finne en spektrallinje for et gitt grunnstoff eller molekyl (vi bruker linja til hydrogen som vi kaller \(\lambda_H\)), og \(c\) er lysfarten i vakuum. \(\hat{u}\) (les "u hatt") er enhetsvektor (det vil si en vektor med lengde \(|\hat{u}|=1\)) i retningen fra sonden mot referansestjerna. Minustegnet i formelen kommer av at en forkorting i b?lgelengden, alts? en negativ \(\Delta\lambda\) vil si en fart i retning mot stjernen alts? i positiv retning n?r vi bruker enhetsvektor \(\hat{u}\). Vi kan da regne ut hastigheten til solsystemet v?rt (pekuli?rhastigheten) i forhold til referansestjernene \(\alpha\) og \(\beta\) ved ? l?se
\(\vec{v}_{pec}=[\vec{v}_{pec,\alpha},\vec{v}_{pec,\beta}]=-\frac{c}{\lambda_H}\left[\Delta\lambda_\alpha\hat{u}_\alpha,\Delta\lambda_\beta\hat{u}_\beta\right]\)
\(=-\frac{299 792 458\hspace{3pt}m/s}{656.3\hspace{3pt}nm}\left[-0.015380366630nm\hspace{3pt}\hat{u}_\alpha,0.004715677521nm\hspace{3pt}\hat{u}_\beta\right]\)
\(=[7025.62535m/s\hspace{3pt}\hat{u}_\alpha,2154.082821m/s\hspace{3pt}\hat{u}_\beta]\)
som ikke gir oss spesielt fine tall, men et st?rre problem er at de sier oss bare hvilken fart vi har i retningen mot referansestjernene. Vi vil gjerne ha det over p? (xy)-koordinater slik at vi har litt bedre intuisjon for hva det faktisk betyr for sonden v?r. I tillegg er navigasjonssystemene til sonden basert p? ? bruke (xy)-koordinater, s? om vi bruker disse hastighetene blir det mye kluss.
.png)
Figur 2: Den venstre figuren viser en vektor \(\vec{v}\) uttrykt ved vektorkomponenter i
\(\hat{u}_\alpha\)-retning og \(\hat{u}_\beta\)-retning. Alts? retningene mot stjernene. Den h?yre figuren viser den samme vektoren \(\vec{v}\) uttrykt ved komponenter i x-retning og y-retning.
Akkurat som i forrige logg skal vi n? sp?rre v?re venner matematikerne om hjelp. De gir oss et likningsett p? matriseform som ser slik ut
\(\begin{pmatrix} v_{pec,x} \\ v_{pec,y} \end{pmatrix} =\frac{1}{\sin(\phi_\beta-\phi_\alpha)}\begin{pmatrix} \sin\phi_\beta & -\sin\phi_\alpha \\ -\cos\phi_\beta & \cos\phi_\alpha \end{pmatrix}\begin{pmatrix} v_{pec,\alpha} \\ v_{pec,\beta} \end{pmatrix} \)
Dette er nok, for mange av leserne v?re, en veldig uvanlig m?te ? se likningsett stilt opp p?. Dette tilsvarer imidlertid ? skrive det p? formen
\(v_{pec,x}=\frac{\sin(\phi_\beta)v_{pec,\alpha}-\sin(\phi_\alpha)v_{pec,\beta}}{\sin(\phi_\beta-\phi_\alpha)}\)
\(v_{pec,y}=\frac{-\cos(\phi_\beta)v_{pec,\alpha}+\cos(\phi_\alpha)v_{pec,\beta}}{\sin(\phi_\beta-\phi_\alpha)}\)
som er litt mer vanlig p? videreg?ende. \(\phi_\alpha\) og \(\phi_\beta\) er vinklene mellom mellom stjernene og x-aksen i koordinatsystemet v?rt. Disse vinklene har vi m?lt til ? v?re
\(\phi_\alpha=17.441732^\circ\)
og
\(\phi_\beta=335.609448^\circ\)
Om vi regner ut hastighetskomponentene v?re f?r vi da
\(v_{pec,x}=\frac{\sin(335.609448^\circ)\cdot7025.62535m/s-\sin(17.441732^\circ)\cdot2154.082821m/s}{\sin(335.609448^\circ-17.441732^\circ)}\)
\(=5318.096804m/s\)
og
\(v_{pec,y}=\frac{-\cos(335.609448^\circ)\cdot7025.62535m/s+\cos(17.441732^\circ)\cdot2154.082821m/s}{\sin(335.609448^\circ-17.441732^\circ)}\)
\(=6512.545218m/s\)
N? kan vi skrive dette p? vektorform og f? at pekuli?rhastigheten til solsystemet v?rt i forhold til referansestjernene er
\(\vec{v}_{pec}=[v_{pec,x},v_{pec,y}]=[5318.096804m/s,6512.545218m/s]\)
Vi ?nsker imidlertid ? ha dette oppgitt i astronomiske enheter, som for fart er AU per ?r eller \(AU/yr\). derfor m? vi gange med en faktor som tilsvarer antall sekunder i et ?r og dele p? antall meter per AU. Da f?r vi
\(\vec{v}_{pec}=[1.12108213AU/yr,1.372878AU/yr]\)
Dette resultatet kan vi n? bruke til ? bestemme sondens hastighet. Da regner vi ut den hastigheten sonden m?ler ved hjelp av dopplerskiftet fra stjernene (\(\vec{v}_{tot}\)), dette blir da hastigheten v?r i forhold til stjernene. S? trekker vi fra den hastigheten vi f?r fra solsystemet (\(\vec{v}_{pec}\)), da ender vi opp med kun den hastigheten vi har i selve solsystemet (\(\vec{v}_{sonde}\))
\(\vec{v}_{tot}=\vec{v}_{pec}+\vec{v}_{sonde}\hspace{10pt}\Rightarrow\hspace{10pt}\vec{v}_{sonde}=\vec{v}_{tot}-\vec{v}_{pec}\)
.png)
Figur 3: Viser hvordan den totale m?lte hastigheten i forhold til stjernene \(\vec{v}_{tot}\) er gitt ved summen av de to hastighetene \(\vec{v}_{pec}\) til solsystemet i forhold til stjernene og \(\vec{v}_{sonde}\) til sonden gjennom solsystemet. Vi m?ler alts? \(\vec{v}_{tot}\) og trekker fra \(\vec{v}_{pec}\) for ? finne den hastigheten vi er interessert i ,\(\vec{v}_{sonde}\).
Dette er m?linger og beregninger vi kan gj?re hele tiden under romferden slik at vi kan f? tilbake nesten liveoppdateringer om hastigheten til sonden. Jeg sier nesten ettersom det tar litt tid fra sonden sender m?lingene til vi mottar dem p? Gallifrey, s? det er en liten forsinkelse der. Da gjenst?r det bare ? finne ut av hvor vi er ... Det skal LSE Marius ta seg av. Ses i neste logg.
- NLO Gustav
Logg inn for ? kommentere