N?r man er i verdensrommet s? er det veldig vanskelig ? finne ut av hvor en er, en kan bevege seg store avstander uten at en ser noe forskjell. Det er veldig f? ting du kan se p? for ? finne ut av hvor du er og la oss si det s?nn ar GPS fungerer ikke helt. S? da har vi problemstillingen for denne loggen, hvordan finner vi ut av hvor vi er? Vi begynner f?rst med ? prate om noe som er mitt hjerte n?rt, lysets hastighet og radar.
Radarens historie den g?r tilbake til f?r andre verdenskrig og oppdagelsen av radiob?lger. Det radar er i essensen er en radiob?lgetransmitter og mottaker, det som skjer er at radiob?lger sendes ut og hvis det treffer noe s? reflekteres det tilbake og mottas av mottakeren. Det som s? skjer er at vi tar tiden p? radiob?lgene og m?ler hvor lang tid det tar f?r de kommer tilbake. Siden vi vet hvor lang tid det tar s? har det seg slik at vi vet hvor langt unna et objektet hvis vi f?r signal tilbake p? radaren v?r. Hvorfor vet vi hvor langt unna disse objektene er jo det er fordi radarb?lger er lys og har da samme hastighet. M?ler vi hvor lang tid et signal tar p? ? komme tilbake til avsender s? vet vi hvor langt unna det er.
N? skal vi bruke et geometrisk triks med sirkler. Sirkler er den eneste geometriskeformen i 2 dimensjoner der alle punkter p? figuren er like langt fra sentrum som alle andre punkter. Siden vi vet hvor langt unna vi er en gitt planet s? kan vi tegne en sirkel rundt denne planeten og da vet vi at sonden v?r er et sted p? denne sirkelen. N? har vi et annet genialt triks, tegner vi en sirkel til rundt en annen planet med radius lik avstanden fra sonden til den nye planeten s? vet vi at disse sirklene skj?rer hverandre p? minimum ett sted og maksimum 2. Dette er ikke veldig vanskelig ? vise det er bare ? tegne opp to sirkler med to radiuser: \(R_1 \geq R_2\) og der hvor avstanden mellom sentrumene til sirklene er gitt ved \(d \leq R_1+R_2\) er da d lik de to radiusene har sirklene ett skj?ringspunkt, men dette er s?rdeles usannsynlig, s? vi kan trygt anta da at vi har to skj?ringspunkter. Siden vi har to skj?ringspunkter s? m? vi tegne en tredje sirkel og se hvilket punkt den skj?rer i og dermed finne ut av hvor vi er.
P? denne m?ten s? f?r vi et ganske godt estimat p? hvor i solsystemet vi er, det fine med denne m?ten er at vi utnytter kun kjente st?rrelser, vi kjenner planetenes posisjon ganske godt og vi kjenner defintitivt lysetshastighet. Den st?rste usikkerheten her stammer fra usikkerhet i m?leinstrumentene, og i planetenes posisjon. Dette er en god matematisk metode, vi vet at med mindre det tredje legemet ligger midt imellom de to andre punktene vi m?ler ifra.
Matematikken bak dette er p? en m?te veldig enkel men ogs? ganske h?rete, det er ingen vanskelige regneoperasjoner som gj?res bare noen som er skikkelig uoversiktlig. S? for ? presentere denne matematikken og fortelle hvordan vi l?ste dette s? m? jeg f?rst begynne med ? si at vi l?ste det ikke personlig, vi brukte nemlig en likningsl?ser og nei vi eier ikke skam heller. S? for ? presentere problemstillingen m? vi begynne med sirkellikningen. Den er ganske enkel for sirkler rundt origo, men det er ikke alltid tilfellet vi regner p?. \(x^2 + y^2 = r^2\) her er r radiusen til sirkelen vi regner p?. Dette lager da en sirkel rundt origo med en radius r. Hvis vi vil ha en sirkel om et vilk?rlig punkt \((x_1, y_1)\) s? m? vi modifisere likningen v?r. Da f?r vi nemlig at \((x^2 - x_1)+(y^2-y_1) = r_1 ^2\) n? dette er i seg selv ikke s? vanskelig ? l?se, men n? har jeg jo ogs? sagt at vi lager 2 sirkler s? da f?r vi at f?lgende m? v?re sant: \((x - x_1)^2 + (y-y_1)^2 -r_1^2 = (x - x_2)^2 + (y-y_2)^2 -r_2^2\) dette viser seg ? bli et for ? si det pent helt j****g regnestykke. Da har vi ikke en gang lagt til den tredje sirklen. S? da l?ste vi denne oppgaven ved ? bruke en likningsl?ser. Er dette juks? Egentlig ikke, vi gjorde det enkelt, det vi kunne gjort istedetfor var ? implementere en simpel numerisk likningsl?ser, som Newton-metoden eller sekant metoden, men vi gjorde det enkelt og brukte en ekstern likningsl?ser. Grunnen til at dette er h?rete regning er alle de konstantene vi har alts? fire konstanter her som er avhengig av posisjonene til planetene. \(x_1,x_2.y_1,y_2\) Disse konstantene m? tas hensyn til n?r vi l?ser likningen, hvis vi skal kunne finne posisjonen ved et vilk?rlig punkt. Det er naturligvis ikke vanskelig ? l?se denne likningen n?r en setter inn tall, men siden vi m? ta hensyn til konstantene. Ved bruk av en likningsl?ser s? er ikke det noe problem ? l?se.
Uansett, det var det vi hadde for denne gang!
-LSE Marius
Logg inn for ? kommentere