Alle disse er gode sp?rsm?l. Vi kommer til ? trenge bilder av planeten p? et tidspunkt. For eksempel er vi n?dt til ? ha bilder for ? verifisere at vi er der vi tror vi er i banen v?r. N?r vi n?rmer oss Kessel er det kjekt ? kunne bruke bilder til ? verifisere de automatiske m?lesystemene som forteller oss hvor langt unna planeten vi er. Vi kommer ogs? til ? trenge bilder for ? vurdere hvor p? planetens overflate vi ?nsker ? lande.
Vi har et kamera p? sonden v?r, fordi vi m? naturligvis ta noen skrytebilder til Instagram og legge ut noen videoer. N? har det seg slik at som jeg sa sist s? er verdensrommet stort, det er veldig stort, og en planet er relativt liten. Idag skal vi derfor regne p? om, eller kanskje n?r, vi kan ta disse skrytebildene. For n? skal vi regne ut hvor n?rme vi m? v?re Kessel f?r vi klarer ? ta bilde av den. Vi kommer til ? si at vi kan ta et bilde av planeten idet planeten dekker mer enn én piksel av bildet, det vil si to eller flere.
F?r vi begynner p? dette s? kan vi kanskje sette opp spesifikasjonene til kameraet. Vi har et synsfelt p? \(70^\circ \times 70^\circ\) med en pikseloppl?sning p? 1000 x 1000. Da har vi egentlig spesifikasjonene vi trenger til ? regne ut hvor n?rme vi m? v?re for ? kunne se Kessel.
Vi velger ? pr?ve oss p? en analytisk tiln?rming til problemet ettersom vi ser at dette sannsynligvis er en raskere, og kanskje ogs? enklere m?te ? l?se dette problemet. Den eneste ulempen vi finner med ? l?se problemet analytisk er at vi m? gj?re noen forenklinger, som vil f?re til at svaret blir litt upresist (vi kommer tilbake til disse mot slutten av denne loggen). Vi gj?r likevel en vurdering p? at dette blir den beste m?ten for v?re hensikter.
Vi ?nsker ? tiln?rme dette problemet til noe enklere. Det vi gj?r er ? se p? én enkelt rad med piksler i stedet for hele bildet. Har vi et bilde med 1000 rader og tusen kolonner og vi vet at planeten bare m? dekke to piksler i en gitt retning kan vi tenke oss at vi har et kamera med 1 rad og 1000 "kolonner". Alts? en stripe med 1000 piksler. Dette gj?r problemet mye enklere ? jobbe med siden vi g?r fra tre dimensjoner til to. ? kunne f?re et problem ned p? en lavere dimensjon er en mye brukt strategi i b?de matematikken og fysikken.
.png)
Figur 1: Viser hvordan vi kan se p? et utsnitt av bildet v?rt p? sju ganger sju piksler som en linje av sju piksler. Hvis planeten dekker to piksler p? stripen vil den ogs? dekke to piksler i rutenettet. Det stiplede feltet i rutenettet tilsvarer stripen under.
Vi begynner f?rst med ? finne ut av hvor mange grader av synsfeltet radiusen til planeten vil dekke n?r vi er p? maksimal avstand fra planeten og planeten fortsatt er synlig. Det er denne avstanden vi vil finne, s? derfor starter vi med ? anta at vi er p? denne magiske avstanden slik at vi kan beskrive hvordan systemet vil se ut. Dette m? v?re antallet grader som tilsvarer én piksel (ettersom diameteren skal dekke to). Dette kan vi skrive som \(\beta=\frac{F}{P}\) (der \(P\) er antallet piksler langs én rad og \(F\) er antallet grader p? én rad av bildet) alts? antallet grader i synsfeltet delt p? antallet piksler de er fordelt utover. Her er en figur som viser hvordan vi kan se dette systemet for oss:
.png)
Figur 2: Viser systemet v?rt. Linjen fra venstre til h?yre gjennom planeten viser bildeflaten v?r delt opp i piksler. Planeten dekker to piksler som vi si at radiusen \(R\) dekker én piksel. Kameraet befinner seg i punktet \(A\) en avstand \(L\) fra planeten. Vinkelen som spenner ut én piksel er kalt \(\beta\).
Vi kan se her at hvis vi setter inn \(\frac{F}{P}\) for \(\beta\) (som tilsvarer vinkelen én piksel dekker), og ser at vi har en rettvinklet trekant med en rett vinkel i planetens sentrum, kan vi ta tangens av denne vinkelen, alts? \(\tan(\beta)=\tan\left(\frac{F}{P}\right)\). Denne m? v?re lik motst?ende katet delt p? hosliggende katet. Da f?r vi at:
\(\tan\left(\frac{F}{P}\right)=\frac{R}{L}\)
Dette gj?r vi for ? relatere de tre st?rrelsene vi har fra f?r (\(F\), \(P\) og \(R\)) med den vi ?nsker ? finne (\(L\)). Deretter vet vi at for veldig sm? vinkler er tangens til vinkelen nesten lik vinkelen selv. Alts?, for en liten vinkel \(\alpha\) er \(\tan(\alpha)\approx\alpha\). Vi vet ogs? at vinkelen som tilsvarer én piksel m? v?re en slik veldig liten vinkel. Dette gjelder imidlertid kun om vi regner vinkler i radianer. Vi m? derfor gj?re synsfeltvinkelen \(F\) om til radianer. Da f?r vi at \(F = \frac{70^\circ}{360^\circ}\cdot\pi\approx0.611\) radianer. Da kan vi skrive likningen over som:
\(\tan\left(\frac{F}{P}\right)\approx\frac{F}{P}\approx\frac{R}{L}\)
Dermed er vi kvitt den trigonometriske funksjonen tangens, og kan regne videre. Hvis vi n? l?ser denne likningen med hensyn p? \(L\) f?r vi at:
\(\frac{F}{P}\approx\frac{R}{L}\)
\(L\approx\frac{PR}{F}\)
Dette betyr at planeten dekker omtrent to piksler n?r avstanden fra kameraet er omtrent lik pikseloppl?sningen \(P\) ganger radiusen til planeten \(R\) delt p? synsfeltet \(F\). Dette betyr at vi kan oppl?se planeten p? et bilde dersom avstanden til planeten er mindre enn i uttrykket over. Alts?
\(L \lesssim \frac{PR}{F}\) (les tegnet som "mindre enn eller omtrent lik")
Alts? s? kan vi finne ut av hvor n?rme vi m? v?re for ? se planeten. Vi setter inn tall, \(L \lesssim \frac{1000 \cdot 8836900 m }{1.22} \approx 1.446\cdot10^{10}m \approx 0.097AU\). S? vet vi at vi m? v?re ganske n?rme Kessel for ? kunne ta disse bildene. Men hvor n?rme er egentlig \(0.097AU\)? Vi kan sammenlikne med noe vi kjenner: middelavstanden fra Jorda til M?nen er bare omtrent \(0.0023AU\), mens middelavstanden fra Jorda til Mars er omtrent \(0.036AU\). Alts? kan vi avbilde Kessel i en avstand p? cirka to og en halv ganger avstanden fra Mars til Jorda. Hvis vi sammenlikner radiene til Mars og Kessel vet vi at Mars har en radius p? 3390 kilometer, mens Kessel har en radius p? hele 8800 kilometer. Dette forklarer jo at vi kan v?re s?pass langt unna Kessel og likevel klare ? ta bilde av den. Et annet sp?rsm?l som kan v?re relevant er hvor stor feil vi gjorde n?r vi tiln?rmet tangens. Vi kan regne ut \(\tan(\frac{F}{P})=0.00061100007\) mens \(\frac{F}{P}=0.000611\), s? vi ser at feilen vi gj?r i denne tiln?rmingen er minimal.
Det var alt for denne gang snakkes p? neste!
- LSE Marius, NLO Gustav
Logg inn for ? kommentere