F?r man g?r i gang med ? sp? fremtiden er det lurt ? sette seg ned og pr?ve ? forst? hvordan ting fungerer i n?tid. La oss ta en titt p? fusjonsprosessene i stjernen.
En atomkjerne best?r av protoner og n?ytroner, og har alts? en netto positiv ladning. To atomkjerner vil dermed virke med en elektrisk frast?tende kraft p? hverandre. Det som gj?r at to atomkjerner noen ganger kan fusjonere sammen er den elektriske kjernekraften, som virker over sv?rt korte avstander. Den potensielle energien \(V(r)\) til en atomkjerne som p?virkes av elektrisk kraft og den sterke kjernekraften ser slik ut:
Dette kalles for Coulomb-potensialet. For at det skal oppst? fusjon, m? en partikkel komme fra langt unna og bryte Coulomb-barrieren. Dette krever at kjernen har en kinetisk energi som er st?rre enn energien ved Coulomb-barrieren, \(E(R)\). En god analogi for det som foreg?r her er en berg-og-dalbane. Du kan tenke p? potensialkurven som banen, og kjernen som en vogn som kommer kj?rende inn. For at kjernen skal komme seg forbi Coulomb-barrieren, m? den ha en stor nok fart til ? komme seg over toppen. I s? fall suser den opp og forbi, og fusjonerer sammen med den andre kjernen. Hvis ikke faller den ned igjen og suser tilbake der den kommer fra.
Det viser seg at for at kjernereaksjon skal oppst?, m? stjernens indre ha en temperatur p? omtrent 10 milliarder K. Men vi vet jo at det finnes stjerner med langt lavere temperatur enn dette, som likevel klarer ? fusjonere. Hvordan kan dette ha seg?
Svaret ligger i kvantefysikk. Heisenbergs uskarphetsrelasjoner forteller oss at en partikkel kan l?ne energi fra vakuum i et lite tidsintervall, for s? ? gi det tilbake. Dette er nok til at kjernen klarer ? lure seg over toppen av kurven. Fenomenet kalles for kvantetunnelering, og som det meste andre innen kvantefysikk er det sannsynligheter som avgj?r om det skjer eller ikke. For ? avgj?re hvor mye fusjon som foreg?r i Almus m? det alts? sannsynlighetsregning til. Med litt gassdynamikk og avansert kvantefeltteori kan man utlede en formel for energiproduksjonsraten \(\epsilon_{AB}\) til en gass med bestemt tetthet og temperatur. Da f?r vi dette:
\(\epsilon_{AB} = \frac{\epsilon_0}{\rho}(\frac{2}{kT})^{3/2}\frac{n_A n_B}{\sqrt{\hat{\mu}\pi}} \int_0^\infty E \ e^{-E/kT} \sigma(E) \ dE\)
Oisann. Uten ? g? inn p? hva noen av disse symbolene betyr, kan vi sl? fast at dette integralet ikke er lett ? l?se. Heldigvis har Peder og jeg l?rt om Taylorrekker, s? vi kan finne en tiln?rmet l?sning rundt en temperatur \(T\). Den blir som f?lger:
\(\epsilon_{AB} = \epsilon_{0 \text{,reac}} X_A X_B \rho^\alpha T^\beta\)
der \(\rho\) er tettheten, \(\alpha\) og \(\beta\) er indekser avhengig av hvilken temperatur vi gj?r rekkeutviklingen for, og \(X_A\) og \(X_B\) hvor stor andel av massen som utgj?res av de to atomkjernene vi ser p?. \(\epsilon_{0,\text{reac}}\) er en konstant som avhenger av hva slag kjernereaksjon vi ser p?. Energiproduksjonsraten er et m?l p? hvor mye energi som produseres per masse per tid.
I forrige innlegg fant vi ut at kjernetemperaturen til Almus er p? \(2.54 \times 10^7 \text{ K}\). Vi vet fra f?r at kjernereaksjoner ved temperaturer p? rundt \(10^8 \text{ K}\) vanligvis er trippel-alfa-reaksjoner:
\({}^2_4 \text{He} + {}^2_4 \text{He} \to {}^4_8 \text{Be} + \gamma\)
\({}^4_8 \text{Be} + {}^2_4 \text{He} \to {}^{12}_6 \text{C}^* + \gamma\)
Da vil produksjonsraten v?re
\(\epsilon_{3\alpha} = \epsilon_{0,3\alpha}\rho^2X_{He}^3T_8^{41}\)
\(T_8\) betyr at man skal bruke temperaturen i antall 100 millioner K, \(\rho\) er tettheten, \(X_{\text{He}}\) er andelen helium og \(\epsilon_{0, 3\alpha} = 3.86 \times 10^{-18} \text{Wm}^6/\text{kg}^3\). Vi antar at kjernen best?r av 20% hydrogen og 80% helium. Da f?r vi at produksjonsraten i kjernen er
\(\epsilon_{3\alpha} = 5.03 \times 10^{-36}\)
Siden dette er produsert energi per masse per tid, kan vi finne produsert energi per tid, som er det samme som luminositet. Energi per tid f?r vi ved ? gange opp produksjonsraten med massen til kjernen. Da f?r vi
\(L = 2.21 \times 10^{-34} \text{ L}_\odot\)
Dette stemmer ikke i det hele tatt med det vi fant ved ? se p? overflatetemperaturen i forrige innlegg. Da fant vi at luminositeten var \(L = 1.11\text{ L}_\odot\). Hvordan i all verden kan det ha g?tt s? galt?
Problemet ligger nok i rekkeutviklingen vi gjorde rundt \(T = 10^8 \text{ K}\). Dette gj?r at beregningene kun vil v?re gyldige i et omr?de rundt her. Temperaturen vi brukte \(2.54 \times 10^7 \text{ K}\) kan virke ganske n?rt, men legg merke til at n?r vi setter inn i formelen for produksjonsraten tar vi antall hundre millioner K i 41. potens! Dette betyr at bare en liten forskjell i tallene vil utgj?re en enorm forskjell p? resultatet. Peder og jeg har mottatt hjelp fra solfysikerne hos NASA, som l?ste integralet litt mer presist enn det vi gjorde. Da kom de frem til en luminositet p?
\(L = 1.22 \text{ L}_\odot\)
Som stemmer sv?rt godt med resultatet vi tidligere hadde, med tanke p? hvor mange antagelser vi har gjort underveis. Selv om vi f?rst regnet feil, ser det alts? ut til at vi hadde rett i at det er en trippel-alfa-reaksjon som foreg?r inni Almus.
N? som vi vet litt mer om hva som foreg?r inni Almus er det p? tide ? finne ut hvordan stjernens fremtid ser ut. Peder og jeg har ikke kapasitet til ? regne s? mye om dette. Det vi vet om stjerners utvikling kommer fra enorme datasimuleringer som er gjort av andre dyktige forskere. Her kommer en kvalitativ beskrivelse av prosessen. Noe som kommer til ? g? mye igjen her er hydrostatisk likevekt, som vi brukte n?r vi modellerte atmosf?ren til Vicinus. Kort oppsummert g?r det ut p? at gravitasjonskraften og gasstrykket er i balanse, s? summen av kreftene p? gasspartiklene er null.
Sett deg godt til rette og f?lg med. N? f?r du servert de viktigste hendelsene i Almus' fremtid.
Almus g?r tom for hydrogen i kjernen
Gasstrykket klarer ikke lengre ? motst? gravitasjonskraften. Dette f?rer til at kjernen trekker seg sammen. Dette f?rer til at trykket og temperaturen i kjernen ?ker. Temperaturen i et skall rundt kjernen blir h?y nok til at hydrogen kan fusjonere til helium. Dette gj?r at Almus bl?ser seg opp, og overflatetemperaturen faller. Det produseres litt mer energi i skallet enn det tidligere gjorde i kjernen, s? luminositeten ?ker.
Temperaturen faller ned til 2500 K
Stjernens radius har fortsatt ? ?ke siden forrige steg, som betyr at temperaturen gikk ned. N?r den kom ned til 2500 K gikk den dominerende formen for energitransport over til ? v?re ved konveksjon istedenfor str?ling. Dette er en langt mer effektiv m?te ? transportere energi. Dermed ?ker luminositeten. Almus har n? blitt det vi kaller for en r?d kjempe.
Helium Flash
Etter hvert som kjernen trekker seg sammen, blir tettheten s? stor at kvanteeffekter begynner ? virke. Siden elektronene n? vil befinne seg sv?rt n?rt hverandre og den lave temperaturen f?rer til en lav hastighet, begynner effekter av Paulis eksklusjonsprinsipp ? spille inn: To fermioner kan ikke befinne seg i samme energitilstand. Dermed vil det v?re elektroner som har bevegelsesmengde selv hvis tempetaturen g?r helt ned til 0 K. Elektronenes motstand mot ? "presses sammen" til den samme bevegelsesmengde f?rer til at gassen danner et trykk utover som er uavhengig av temperaturen. Gassen som n? har oppst?tt kalles for en degenerert gass. Den n? degenererte kjernen er tiln?rmet isoterm, som betyr at den har den samme temperaturen overalt. Etter hvert som temperaturen blir h?y nok til ? starte Helium-forbrenning, skjer det i hele kjernen p? én gang. Enorme energimengder blir frigjort p? sv?rt kort tid. Dette kalles for et Helium Flash. Gassen g?r tilbake fra ? v?re degenerert, og oppf?rer seg som en vanlig gass hvor trykk er avhengig av temperatur. Kjernen vil utvide seg og flytte ut skallet som forbrenner hydrogen lengre ut og avta i temperatur. Hydrogen-forbrenningen avtar, og stjernens luminositet g?r ned, mens temperaturen ?ker. Dette gir f?lgende plassering i HR-diagrammet:
Horisontal kjempegren
Etter den kjappe utvidelsen under Helium Flash, begynner kjernen ? trekke seg sammen for ? oppn? hydrostatisk likevekt igjen. Dette resulterer i at stjernen ?ker overflatetemperaturen, mens luminositeten forblir den samme. Almus beveger seg horisontalt mot venstre i HR-diagrammet. Den befinner seg n? i den horisontale kjempegrenen, som har f?tt navnet sitt p? grunn av at stjerner her beveger seg horisontalt frem og tilbake en stund.
N? har stjernen fusjonert i den horisontale kjempegrenen en stund, som har f?rt til at partiklenes gjennomsnittlige masse har ?kt. Dermed f?r gravitasjonskraften et overtak, og kjernen trekker seg enda mer sammen. Derimot bl?ser resten av stjernen seg opp, fordi trykket fra kjernen ?ker. Overflatetemperaturen g?r dermed ned, og Almus beveger seg tilbake mot h?yre langs den horisontale kjempegrenen.
Kjernen g?r tom for helium
N? befinner Almus seg i en situasjon som ligner p? da den forlot hovedserien. Kjernen, som n? hovedsakelig best?r av karbon og oksygen, begynner ? trekke seg sammen. Akkurat som tidligere f?rer dette til at et skall i omr?de rundt kjernen blir varmt nok til at helium-forbrenning kan foreg? her. P? grunn av det ?kte trykket fra kjernen bl?ser Almus seg opp. Igjen blir energitransporten dominert av konveksjon, som f?rer til en ?kt luminositet.
N? befinner Almus seg i den asympotiske kjempegrenen, og har en radius flere hundre ganger st?rre enn den hadde til ? begynne med. Det begynner ? n?rme seg slutten p? stjernens liv.
Hvit dverg
Kjernen trekker seg sammen helt frem til det igjen blir en degenerert gass, denne gangen best?ende av karbon og oksygen. Temperaturen utenfor ?ker igjen, slik at forbrenningen av hydrogen igjen blir st?rre enn av helium. Dette f?rer til at heliumet i ytre skall faller ned til lavere skall, hvor det ikke foreg?r helium-forbrenning. Tettheten ?ker, og det dannes en degenerert gass som etter hvert f?rer til et nytt Helium Flash, som er noe svakere enn tidligere. Dette f?rer til at materie kastes ut fra ytre lag i stjernen. Etter hvert som materie kastes ut, ?ker overflatetemperaturen og Almus beveger seg horisontalt mot venstre.
Prosessen gjentar seg helt frem til stjernens ytre lag har blitt kastet ut og det som gjenst?r er den degenererte kjernen. Almus har n? blitt en hvit dverg omringet av en planetarisk t?ke fra lagene som ble kastet ut. Siden lagene som fusjonerte har blitt kastet ut, avtok luminositeten dramatisk. Almus flytter seg til nedre deler av HR-diagrammet:
Siden det er slutt p? all energiproduksjon inni stjernen vil varme g? tapt til verdensrommet og overflatetemperaturen avta. Almus er en d?d hvit dverg som vil holde seg her nede mens den avtagende temperaturen sakte, men sikkert flytter henne nede mot h?yre langs diagrammet. Stjernen startet med en masse p? \(1.06 \text{ M}_\odot\), men sitter n? igjen med bare \(0.19 \text{ M}_\odot\).
Hvor stor er Almus n?? Nok en gang kan vi ta i bruk hydrostatisk likevekt. Trykket fra en degenerert gass er gitt ved
\(P = (\frac{3}{\pi})^{3/2} \frac{h^2}{20 m_e} n_e^{5/3}\)
Der \(h\) er Plancks konstant, \(m_e\) er elektronmassen og \(n_e\) er antalltettheten av elektroner. Vi antar at det er like mange elektroner som protoner i stjernen:
\(n_e = n_p\)
Antall protoner er det samme som tettheten av protoner delt p? massen til en hydrogenkjerne (siden den best?r av ett proton):
\(n_p = \frac{\rho_p}{m_H}\)
Siden stoffene i stjernen har nukleontall A og protontall Z, kan vi skrive det som st?r p? h?yre side av likhetstegnet som f?lgende faktor av den totale tettheten:
\(\frac{\rho_p}{m_H} = \frac{Z}{A} \frac{\rho}{m_H}\)
Siden det vanligvis er like mange protoner som n?ytroner i en kjerne, vil forholdet \(Z/A\) typisk v?re 0.5. N? kan vi sette uttrykket for degenerert gasstrykk inn i hydrostatisk likevekt. Etter litt algebra kommer vi frem til at radiusen til den hvite dvergen m? v?re
\(R_{WD} \approx (\frac{3}{2\pi})^{4/3} \frac{h^2}{20m_eG}(\frac{Z}{Am_H})^{5/3}M^{-1/3}\)
Legg merke til at massen er opph?yd i minus en tredjedel i dette uttrykket. Det betyr utrolig nok at dersom du tilf?yer masse til en hvit dverg vil den faktisk bli mindre! N? kan vi bare sette inn massen vi tidligere fant og regne ut radiusen Almus ender opp med som hvit dverg. Det gir
\(R_{WD} = 2509 \text{ km}\)
Dette er omtrent det samme som kj?relengden fra Lindesnes til Nordkapp! Almus blir helt vanvittig liten. Dersom du hatte tatt med deg et literm?l til Almus og fylt den opp med materie derfra, ville den veid ca. 17.5 millioner kg! Du tenker kanskje at det hadde v?rt vanskelig ? f? literm?let med seg hjem igjen, men da har du ikke engang tenkt p? hvor stor tyngdeakselerasjonen er ved overflaten. Den viser seg ? v?re p? 3.9 millioner m/s2.
Med dette avslutter vi forskningen p? stjernen Almus. Neste gang g?r vi i gang med det som hittil har v?rt et hemmelig prosjekt. Forel?pig kan vi gi et lite hint om hva det dreier seg om: Vi skal forske p? det som tok oss til dette fjerne solsystemet, og muligens finne en m?te ? komme seg hjem igjen.
Logg inn for ? kommentere