For ? kunne reise fra planeten v?r, trenger vi en rakett. Det sier seg kanskje selv, men det er en lang vei dit. Hvis vi skal f? en rakett til ? lette fra planeten v?r overflate - og unnslippe gravitasjonsfeltet, trenger vi drivstoff. Mye drivstoff. V?r plan er ? bruke hydrogengass med h?y temperatur i en boks med hull i bunnen. N?r gassen blir varmere, vil partiklene f? st?rre hastighet. Her m? vi gj?re noen forenklinger. F?rst og fremst neglisjerer vi gravitasjonskraften som virker p? partiklene. Dette kan vi gj?re ettersom at massen p? en partikkel er s? liten. Gassen vi bruker skal v?re ideell. Det vil si at en kollisjon mellom partikler og innsiden av veggen er elastisk. En annen ting som m? v?re oppfylt er at retningen partiklene beveger seg i er jevnt fordelt, og ikke kolliderer med hverandre. Vi skal senere se p? hva en Gaussisk sannsynlighetsfordeling er for noe.
La oss ta en titt p? et forh?pentligvis kjent begrep fra klassisk mekanikk. Bevegelsesmengde. Vi vet at
\(\vec{p}=m\vec{v}\)
er bevegelsesmengden til et legeme. N?r vi sier at kollisjonen mellom partikkel og vegg er elastisk, betyr det at hastigheten partikkelen har i én retning f?r kollisjonen er lik hastigheten etter kollisjonen, men motsatt rettet.
Teorien v?r er ? benytte bevaring av bevegelsesmengde til ? gi raketten framdrift. En partikkel som kolliderer med en vegg vil ikke bli p?virket av noen krefter i y-retning. Dermed er bevegelsesmengden i y-retning bevart. Ikke helt klinkende klart? La oss introdusere et tankeeksperiment.
Se for deg at du st?r p? et islagt vann. Det virker ingen friksjon mellom isen og undersiden av skoene dine. Det er heller ingen luftmotstand eller tyngdekraft. I h?nden holder du en stein. Hva er samlet bevegelsesmengde for deg og steinen? Jo, den m? v?re 0! Ettersom at systemet som best?r av deg og steinen er i ro, vil
\(\vec{v}=\vec{0}\,m/s \\ \vec{p}_{f?r}=m\vec{v}=m\cdot\vec{0}=\vec0\)
Hva skjer s? med bevegelsesmengden til systemet etter at du har kastet steinen? La oss si at du kaster steinen med en fart p? 5 m/s i x-retning.
Ettersom at det ikke virker noen ytre krefter p? systemet, m? bevegelsesmengden v?re bevart. Da m?
\(\vec{p}_{etter}=\vec{p}_{f?r}\)
La oss si at at steinen veier en tjuendedel av det du veier. (Hvis du veier 70 kg, veier steinen 3,5 kg).
Kan vi si noe om \(v_2 \)? La oss regne litt, og holde oss til x-retning.
\(p_{etter}=\frac{m}{20}v_1+mv_2=p_{f?r}=0\\ m\Big(\frac{v_1}{20}+v_2\Big)=0\\ \frac{v_1}{20}+v_2=0\\ v_2=-\frac{v_1}{20}=-\frac{5m/s}{20}\\ v_2=-\frac{1}{4}m/s \)
Har du sett? N?r du kaster steinen, vil du bevege deg i motsatt retning av steinen. Riktig nok med en mye lavere hastighet. Dette m? v?re tilfellet, for at bevegelsesmengden skal v?re bevart. Og det er dette prinsippet vi skal bruke for ? f? raketten til ? lette fra jorda.
I boksen v?r vil hydrogenpartiklene kollidere med taket og veggene. Hver gang en partikkel har kollidert med én vegg og s? omsider den p? motsatt side, vil dette utjevne hverandre. Siden den eneste utveien for en partikkel er gjennom et hull i bunnen av boksen, vil bevegelsesmengden i x- og y-retning alltid v?re 0 (z-retning er vertikalt). N?r partikkelen har kollidert i taket, men s? forsvinner ut av boksen, s? vil den ha gitt raketten ?kt bevegelsesmengde i positiv z-retning. Se p? denne utregningen:
\(\Delta p = p(etter)-p(f?r)=-mv_z-mv_z=-2mv_z=-2p_z\)
Kraft er definert som endring av bevegelsesmengde per tidsendring. Kraften partikkelen utgj?r i taket ved kollisjonen blir
\(F=\frac{\Delta p}{\Delta t}=\frac{2p_z}{\Delta t}\)
Den totale krafta p? taket blir da:
\(F=\frac{\Delta p}{\Delta t}=N\cdot\frac{2p_z}{\Delta t}\)
hvor \(N\) er totalt antall partikler.
Vi kommer som sagt til ? modellere med H2-partikkler. De har en samlet masse p? \(2\cdot1,67\cdot10^{-27}\) kg. I én boks kan vi ha noe s?nt som \(10^{5}\) antall partikler. Hver boks er p? omkring \(10^{-6}\) m i lengde, og vi vil tenke oss at vi trenger et sted omkring \(10^{15}\) bokser. Dette er veldig store tall, og noe vi har plukket ut rett fra lufta. Vi kommer til ? gj?re endringer underveis, men dette er bare for ? gi dere noen pekepinner p? st?rrelsesordenene vi opererer med her.
I neste blogginnlegg vil vi g? n?rmere inn p? solsystemet v?rt. Spoiler alert! Det er ikke Melkeveien! F?lg med!