Hjelpes meg, for en spennende dag dette er! Vi har bygd en rakett! Den er testet og godkjent (av oss), og n? skal vi se om ikke teorien v?r fungerer. Vi har dette scenarioet, hvor \(\vec{R}\) er vektoren som peker p? posisjonen til raketten fra systemets sol, \(\vec{F}\)er gravitasjonskrafta fra planeten p? raketten, \(\vec{T}\) er rakettens thrust, \(\vec{v}\) er hastigheten til raketten og \(\vec{v_0}\) er initialhastigheten raketten f?r ved oppskytning p? grunn av rotasjonshastigheten \(\omega\).
1. Vi har en rakett som st?r p? planeten sin overflate, som vist p? Figur 1.
2. Vi vil ha en initialhastighet i y-retning som kommer fra planetens rotasjon om sin egen akse.
3. Planetens tyngdefelt vil trekke oss mot planeten, mens rakettens thrust (skyvkraft) vil pr?ve ? overvinne dette.
4. Vi anser ? v?re i verdensrommet n?r rakettens hastighet har overkommet planetens unnslippingshastighet.
5. Vi m? vite hva posisjonen v?r er i det vi er i verdensrommet.
Vi har gjort en forenkling her. Nemlig at vi ser bort i fra luftmotstand. Vi kommer til ? gj?re beregninger senere der vi tar med luftmotstand, men ikke enda.
V?r planet har en rotasjonshastighet som vil gi oss en initialhastighet i y-retning. Se for deg at du skal kaste en kule s? langt du klarer. Hvordan ville du gjort det? Ville du st?tet den fra deg som en kulest?ter, eller ville du snurret rundt og sluppet den som en diskoskaster? Det er "diskosprinsippet" (ikke et vitenskapelig anerkjent prinsipp p? Jorda, men p? v?r planet er det vi som lager reglene) vi skal bruke.
Kilde: wikipedia
Tenk p? dette en gang til: Vi kommer til ? utnytte at planeten v?r roterer. Hvordan? Jo, f?lg med n?. Har du noen gang st?tt p? en karusell?
Hvis karusellen snurrer og du hopper av, s? vil du bli slengt litt framover f?r du lander. Kanskje ikke s? overraskende. Vi trenger ? vite hvor fort vi beveger oss i y-retning i det vi tar av for ? vite hvor vi havner n?r vi n?r verdensrommet. Tenk n? p? bevegelseslikningene du har l?rt om i Fysikk 1. Husker du da at \(v=\frac{s}{t}\) , hvor \(v\) er fart, \(s\) er strekning og \(t\) er tiden? Dette gjelder ved konstant fart.
Hvis vi ser p? et tverrsnitt av planeten v?r, alts? som vist p? Figur 1, s? ser vi at raketten v?r befinner seg p? ekvatorlinjen til planeten. Dette er det punktet lengst vekk fra sentrum i planeten. For ? f? \(v\) st?rst mulig, m? vi ha \(s\) st?rst mulig. Alts?, m? strekningen vi reiser per tid v?re st?rst mulig. Planeten v?r har en radius \(r=7605.752\) km. Hvis du n? ser for deg en kule igjen. Den snurrer med konstant fart. Hvis du st?r p? nordpolen til kula og tar et lite skritt ut, s? begynner du ? sirkle rundt nordpolen. Radiusen fra linja gjennom polene til der du st?r er mindre enn radiusen til selve kula.
Alts? m? du befinne deg p? ekvatorlinja med lengst avstand til rotasjonsaksen. Dermed blir initialhastigheten vi f?r i positiv y-retning,
\(v_0=\frac{2\pi r}{P}\)
hvor \(P\) er rotasjonsperioden til planeten v?r om sin egen akse, eller en dag, som vi kaller det. Den den er 1,14 ganger en dag p? Jorda (se tabellen her). Det gir
\(\begin{align*} P&=1.14\cdot24\cdot60\cdot60=98496\,s\\ \Rightarrow v_0&=\frac{2\pi\cdot7905750\,m}{98496\,s}\\ &\approx 504.32\,m/s \end{align*}\)
La oss n? presentere v?re resultater p? en simulert testoppskytning av raketten v?r.
| \(v_{esc}\) | \(m_{tot}\) | \(N_p\) | \(N_b\) | \(F_R\) |
| \(1.23\cdot10^4km/s\) | \(5100\,kg\) | \(10^5\) | \(1.6\cdot10^{13}\) | \(4.4\cdot10^4N\) |
\(m_{tot}:\) total masse. Romskip: 1100 kg, drivstoff: 4000 kg
\(N_p:\) antall partikler per boks
\(N_b:\) antall bokser
\(F_R:\) Thrust fra raketten
Dette gir dette resultatet:
| Tid | Drivstofforbruk | Drivstoff igjen |
| \(835.77s\) | \(3525.71kg\) | \(474.23kg\) |
Vi bruker alts? 13.92 minutter p? ? n? unnslippingshastighet. Da har vi 474.23 kg drivstoff igjen. Dette er drivstoff vi vil bruke p? ? navigere i verdensrommet, og til ? bremse landingen n?r vi skal lande p? en fremmed planet.
I f?lge simuleringene v?r skal vi klare ? n? unnslippingshastighet f?r vi g?r tom for drivstoff. La oss bare si at dette har v?rt veeeldig vanskelig. Vi har brukt utrolig mye tid p? ? pr?ve ? finne ut av hva som er galt. Vi anser oss selv til ? v?re relativt kompetente n?r det kommer til grunnleggende matematikk, men vi har faktisk hatt diskusjoner om hvordan vi regner ut arealet av et kvadrat n?r sidene har verdier under 1. Men nok gr?ting fra v?r side, over til hvordan vi har tenkt.
1. F?rst brukte vi Newtons 2. lov for ? finne akselerasjonen.
\(\sum F = ma\)
Her m? vi brukte vektorer, for ? passe p? at retningene blir riktig. Vi kaller \(\hat{r}\) enhetsvektoren i radiell retning ut fra planetens sentrum. Den er definert slik
\(\hat{r}=\frac{\vec{r}}{|\vec{r}|}\)
N?r vi gj?r dette, f?r vi en vektor med lengde 1, som peker i radiell retning. Da blir Newtons 2. lov p? vektorform slik
\(\sum\vec{F}=m\vec{a}\,\hat{r}\)
Grunnen til at vi kan holde oss til radiell retning er at akselerasjonen alltid virker i negativ radiell retning. Thrusten (skyvkrafta) fra raketten virker alltid i positiv radiell retning under takeoff. Videre blir
\(\sum\vec{F}=\vec{F}_{thrust}\hat{r}-\vec{F}_G\hat{r}=m\vec{a}\,\hat{r}\)
Vi l?ser for \(\vec{a}\), og f?r
\(\vec{a}=\frac{\vec{F}_{thrust}-\vec{F}_G}{m}\)
For ? gj?re dette enda mer komplisert m? vi se p? masse som funksjon av tid. Vi mister masse hele tiden, p? grunn av drivstofforbruket. Da blir uttrykket slik
\(\vec{a}=\frac{\vec{F}_{thrust}-\frac{Gm(t)M}{r^2}}{m(t)}\hat{r}\)
Dette er akselerasjonen v?r. Litt av et uttrykk. Okey, moving on.
2. Vi bruker Euler-Cromer til ? l?se likningssystemet. Nok en utmerket metode vi har hentet fra Jorda. Kort fortalt blir det seende slik ut
\(\begin{align*} \vec{a}_i&=\frac{\vec{F}_{thrust}-\frac{Gm_iM}{r^2}}{m_i}\hat{r}\\ \vec{v}_{i+1}&=\vec{v}_{i}+\vec{a}_i\cdot dt\\ \vec{r}_{i+1}&=\vec{r}_i+\vec{v}_{i+1}\cdot dt\\ t_{i+1}&=t_i+dt\\ m_{i+1}&=m_i-massetap\cdot dt \end{align*}\)
Det er algoritmen sin, tenker jeg! Vi oppdaterer ogs? hele tiden \(\hat{r}\) ved ? hente ut det i'te elementet til \(\vec{r}\) og l?se som forklart over. Det neste vi trenger er ? finne ut av hvor i solsystemet vi er. Hittil har vi jo bare sett p? posisjon fra planeten. Dette l?ser vi med vektorregning.
Se p? Figur 2. Vi st?r i punktet A, som ligger i (0,0). S? g?r vi til B, som ligger i (3,0). Deretter g?r vi til C, som ligger i (3,3). Vektorene blir da
\(\begin{align*} \vec{r}_1&=B-A=(3,0)-(0,0)=(3,0)\\ \vec{r}_2&=C-D=(3,3)-(3,0)=(0,3)\\ \Rightarrow\vec{r}_1+\vec{r}_2&=(3,0)+(0,3)=(3,3) \end{align*}\)
Vi kan alts? legge til (og trekke fra) vektorer som ligger etter hverandre, for ? komme fra til det punktet vi ?nsker.
Se n? p? Figur 3. Her kan vi gj?re akkurat det samme. Vi har posisjonen til oppskytingspunktet, avstanden fra stjernen til planeten, og vi har beregnet hvor raketten vil v?re etter at den har n?dd unnslippingshastighet. Tabellen under viser hva vi vet, og hva vi har funnet.
| Radius | Avstand til stjerne | Rakettposisjon | Posisjon i forhold til stjerne |
| \(7605.75km\) | \(1.8589AU\) | \(\Big[2.781\cdot10^{11},2.548\cdot10^7\Big]km\) | Dette har vi dessverre kalkulert feil =( |
Vi ser at kalkulasjonene v?re ikke stemmer, fordi posisjonen til raketten i systemet sett fra planeten er identisk med den utregnede posisjonen i systemet sett fra stjernen. Dette kan handle om at vi har noen verdier gitt i AU, og noen i km. Konverteringen mellom disse kan ha g?tt galt, eller vi kan ha regnet feil.
Men, vi har ikke kommet helt hit bare for ? gi oss! Vi skal pr?ve likevel!
Oppskytning
Vi har stroppet oss fast og har mission control p? ?rene v?re. En svetteperle kan kjennes gli n?lende nedover ryggen. Til h?yre for meg sitter Anton. Han gir meg tommelen opp. Blikkene v?re er alvorspreget.
"Take off in 10..."
Hvorfor snakker de p? engelsk? Spr?ket v?rt her likner mer norr?nt.
"9..."
Setene begynner ? riste. Adrenalinet stiger mens vi sjekker at alle instrumentene fungerer.
"8.."
S?ren, har jeg husket ? skru av kaffetrakteren?
"7... 6... 5..."
Vi er koblet fra rampen og en gr? r?yk b?lger oppover vinduet. Boosterene har startet og vi kan s? vidt merke at vi blir trykket ned i setene.
"4... 3... 2..."
Vi f?ler oss tunge. Godt vi ikke dro p? byen i g?r.
"1..."
Det er tungt ? puste. Kroppen er blytung.
"We have liftoff!"
Vi borer oss gjennom lufta og opp mot stjernene. Instrumentpanelet sier at vi har en akselerasjon p? litt over 8 m/s2. Raketten rister og det br?ker noe voldsomt. Heldigvis har vi forsikret alt om bord.
"Whitney, we have a problem"
Det er stemmen til Anton som spraker inn i ?ret mitt. Jeg ser bort p? han og han peker p? bensinm?leren. Den synker voldsomt fort. For fort. Vi visste at beregningene v?re ikke stemte helt, men dette er hinsides all forventning. Foran meg har jeg noen spaker og ved siden av dem en stor r?d knapp. "Manual override". Vi har ikke r?d til ? miste raketten, s? vi installerte noen modifiserte koder fra Need for Speed og Grand Theft Auto. Med disse skal vi kunne n?dlande.
Slaget er tapt. Vi er tomme for drivstoff. Foran oss ser vi ikke lenger stjernene, men steinene. P? bakken. Vi har utl?st fallskjermen og vi styrer snuta opp for ? f? en mykere landing.
P? bakken igjen. Tilbake til tegnebrettet. Vi gir oss ikke s? lett.
Med disse nye parameterne skal vi klare det.
| Lengde boksside | T | \(N_p\) | Str. p? bokshullet | Drivstoff |
| \(5.0\cdot10^{-7}m\) | \(3\cdot10^3K\) | \(250\cdot10^3\) | \(2.5\cdot10^{-7}m\) | \(2.8\cdot10^{4}kg\) |
Vi sitter nok en gang i raketten. Lang historie kort:
VI KLARTE DET! Vi er i verdensrommet! Hurra! Jeg og Anton fistbumper og tar b?lgen oss i mellom. Men vi har et problem. Vi vet ikke hvor vi er. I f?lge mission control har vi et avvik fra v?r nye beregnede sluttposisjon med \(8.83\cdot10^{-5}AU\). Med andre ord, vi er lost in space. Da kan vi bruke tiden p? noe nyttig.
Neste innlegg vil handle om planetbaner og Kepler. Husker dere Keplers lover? Vi skal bruke disse og mye mer framover.
Forrige innlegg << Neste innlegg >>