Hvor skal vi dra?

Kilde: best-wallpaper.net

Hei igjen! N? skal vi ta dere med p? hvordan vi kan bruke fluks, luminositet, energi og sorte legemer til ? modellere overflatetemperaturen til en planet. Vi kan jo ikke bare starte boosterene og reise til en hvilken som helst verden uten ? kjenne til egenskapene der. F?rst og fremst skal vi minne om hva et sort legeme er. Som dere kanskje husker, er et sort legeme ikke n?dvendigvis sort. I astronomien er et sort legeme definert som et legeme som absorberer all str?ling den f?r p? seg. Den reflekterer ingen str?ling, og ingen str?ling kan g? igjennom den. I det virkelige universet fins det ingen perfekte sorte legemer. Det n?rmeste er den kosmiske bakgrunnsstr?lingen. 

Vi starter med ? se p? stjerna v?r som et sort legeme. Det er faktisk ikke s? galt ? anta. Ogs? sola er et tiln?rmet sort legeme. Men hva betyr s? dette? Jo, det betyr at overflatetemperaturen m? v?re konstant. Det kan vi se fra Stefan-Boltzmanns lov for sorte legemer:

\(F=\sigma T^4\)

hvor \(F\) er total fluks utsendt ved overflaten, \(\sigma\) er Stefan-Boltzmanns konstant og \(T\) er overflatetemperaturen. F?rst m? vi se p? hva fluks er. 

Fluks er definert som total energi mottatt per areal per tid. Hvis du har solceller p? taket, vil energien fra sola treffe cellene, og hvor mye energi cellene f?r per tid, er fluks. Og det er nettopp dette vi skal gj?re! N?r vi skal lande p? planeten vi drar til, trenger vi energi for ? drive landingsfart?yet v?rt. 

Det neste vi trenger er luminositet, \(L\). Det er definert som total energi mottatt per tidsenhet. Merk at luminositet er lik fluks ganger areal. N? m? vi finne en m?te ? si hvordan fluksen stjerna sender ut blir for et punkt med avstand \(r\) fra stjerna. 

Se p? Figur 1. Stjerna er den r?de kula. Er dere enige i at fluksen m? bre seg likt ut fra overflaten, som vist med de gr?nne pilene? Se for det at du kan varme opp en metallkule og henge den i en tr?d fra taket, uten at den faller ned eller mister nevneverdig temperatur. Se n? bort fra at varm luft stiger oppover. Er du ikke da enig i at den varmestr?lingen (termisk str?ling) som sendes ut fra kula m? kjennes likt for h?nda di hvis du beveger den i en sirkel med fast radius fra kula? Se n? p? punktet p? det ytterste kuleskallet, tegnet i bl?tt. Det er en lengde \(r\) fra sentrum, som da gir kuleskallet en radius \(r\). Hva blir da fluksen i dette punktet? Det skal vi komme fram til n?.

\(\begin{align*} F_*&=\sigma T_*^4\\ L_*&=F_*\cdot A_* \end{align*}\)

Her er subskripten \(*\) for stjerna. \(A_*=4\pi R_*^2\) er overflatearealet til stjerna med en radius \(R_*\). Luminositeten til stjerna er alts? total energi utsendt fra hele overflatearealet. Vi f?r da 

\(L_*=\sigma T_*^4\cdot 4\pi R_*^2\)

N? flytter vi oss ut til punktet p? det bl? kuleskallet i Figur 1. Den mottatte fluksen her fra stjerna blir da den utsendte luminositeten delt p? arealet av det bl? kuleskallet som omslutter stjerna. Det gir 

\(\begin{align*} F_*(r)&=\frac{L_*}{A_{k}}=\frac{\sigma T_*^4\cdot4\pi R_*^2}{4\pi r^2}\\ &=\sigma T_*^4\left(\frac{R_*}{r}\right)^2 \end{align*}\)

hvor \(A_k=4\pi r^2\) er arealet til kuleskallet. 

F?r vi g?r videre skal vi bare kjapt nevne at enheten for fluks er watt per areal, \(Wm^{-2}\). N? m? vi se p? hvor stort areal vi trenger ? ha p? solcellepanelet til landingsfart?yet v?rt for at vi skal ha nok energi. Det gj?res her en del forenklinger. Natt-og-dag-syklusen ser vi bort fra (den er tatt med i beregningen av effektiviteten av solcellepanelet). Vi ser ogs? bort fra atmosf?riske innvirkninger p? den fluksen vi f?r fra stjerna. Det betyr kort og godt at vi antar at den fluksen planeten mottar er den samme vi mottar p? landingsfart?yet.  Vi vet at vi trenger \(40\,W\). Solcellepanelet v?rt har en effektivitet p? \(12\,\%\), det vil si at energi ut delt p? energi inn er \(0.12\). Husker dere at fluks m?les i watt per areal? Det kan vi bruke til ? sette opp en likning for arealet \(A_s\) vi trenger for ? f? \(40\,W\) til ? drive landingsfart?yet v?rt.

\(\begin{align*} &0.12\,A_s\cdot F_*(r)=40\\ &A_s=\frac{40}{0.12\cdot\sigma T_*^4\left(\frac{R_*}{r}\right)^2} \end{align*}\)

N? er det p? tide ? tenke litt p? hvor langt unna stjerna vi kommer til ? dra. Vi vet at planeten lengst unna stjerna v?r er omtrent \(3.3\cdot10^9\,km\) langt borte. V?r n?rmeste nabo ligger cirka \(4.5\cdot10^8\,km\) unna stjerna. Vi kommer ikke til planlegge en reise til enden av solsystemet, s? vi legger grensa v?r omtrent p? \(6.0\cdot10^8\,km\). Vi trenger Stefan-Boltzmanns konstant. Den er gitt ved

\(\sigma=5.67\cdot10^{-8}Wm^{-2}K^{-4}\)

Denne konstanten er i enheter meter, s? vi m? gange alle avstander i kilometer med tusen. La oss regne ut hvor mange kvadratmeter med solceller vi m? ha med. Vi har her antatt at str?lene som treffer panelet treffer parallelt. Det vil de i virkeligheten ikke gj?re. Det bil v?re en viss vinkel mellom str?lene, men det har ikke s? veldig mye ? si. Vi har valgt en litt st?rre avstand enn n?dvendig, s? vi er p? den sikre siden. I utregningen v?r har vi disse verdiene:

Det gir oss dette arealet:

\(A_s\approx0.46\,m^2\)

Det var ikke mange kvadratmeter! Vi tenkte umiddelbart at dette m? v?re feil. La oss se litt n?rmere p? dette. Hvis vi bruker temperaturen \((5778\,K)\) og radius \((6.9634\cdot10^8m)\) til sola f?r vi dette ved den samme avstanden \(r\):

\(A_s\approx3.92\,m^2\)

Det er et mye st?rre panel! Merk dere at stjerna v?r er cirka \(40\,\%\) varmere ved overflaten enn sola, og har rundt \(50\,\%\) st?rre radius. Det spiller veldig stor rolle! Husk at fra formelen for arealet vi trenger,  har vi temperaturen i fjerde potens og radien til stjerna i andre potens under br?kstreken. Her er det tydelig at h?yere temperatur og radius gir mindre areal. Det vi har funnet er alts? det minste arealet vi trenger for ? kunne drive landingsfart?yet. 

Det neste vi m? sjekke for ? finne ut av hvilken planet det er gunstig ? reise til, er overflatetemperaturen p? planeten. N? m? vi gj?re en forenkling. Nemlig at alle planetene er sorte legemer. Det er naturligvis ikke helt korrekt, i alle fall ikke perfekte sorte legemer. 

P? American Chemical Society (acs.org) kan vi lese dette:

To a reasonable approximation, both the sun and the planets emit as black bodies. In order for a planet to remain at a constant average temperature, the total energy radiated from its surface (and atmosphere, if any) must equal the total energy absorbed from the sun.

Forenklingen v?r er tydeligvis ikke helt bak m?l likevel. Godt er det. La oss fortsette v?r jakt p? et reisem?l.

I antagelsen v?r om at planetene er sorte legemer ligger det innbakt flere egenskaper. For det f?rste vil overflatetemperaturen v?re konstant. For det andre vil netto utstr?mming av energi v?re 0. Dette kommer av at planeten opprettholder en likevekt i energi som f?rer til konstant temperatur. For at dette skal stemme, m? vi ha at energistr?mmen inn er lik energistr?mmen ut. F?rst m? vi finne et uttrykk for energien som str?mmer inn p? planeten. 

(Fig2. str?m p? halve planeten (halvkule))

Vi vet at fluks er energi per areal per tid. Da kan vi lett snu om p? dette til at energi per tid er lik fluks ganger areal. Ser dere p? Figur 2 at str?lene som treffer planeten kun treffer den ene siden? Sett fra stjerna er dette kun en sirkel, s? arealet til planeten som blir truffet av str?lene blir \(A_{p,s}=\pi R_p^2\), hvor  \(R_p\) er radius til planeten. Dette gir at energien som treffer planeten per tid er

\(\begin{align*} \begin{split} E_{inn} = F_*(r)\cdot A_{p,s}\cdot t \end{split} \quad\Leftrightarrow\quad \begin{split} \frac{dE_{inn}}{dt}=F_*(r)\cdot A_{p,s} \end{split} \end{align*}\)

Hva s? med str?mmen ut fra planeten? Vi vet at Stefan-Boltzmanns lov for sorte legemer gjelder. Den gir 

\(\begin{align*} F_p&=\sigma T_p^4\\ E_{ut}&=F_p\cdot A_p\cdot t\quad\Leftrightarrow\quad\frac{dE_{ut}}{dt}=F_p\cdot A_p \end{align*}\)

hvor subskripten \(_p\) gjelder planeten, og \(A_p=4\pi R_p^2\) er overflateradiusen til hele planeten. Akkurat som for stjerna vil energi bli sendt ut likt til alle retninger. Vi har n? to uttrykk for energi. Ett for energi ut og ett for energi inn. Vi vet fra antagelsen v?r at disse m? v?re like. Vi setter uttrykkene like hverandre, og l?ser for \(T_p\). Det gir

\(\begin{align*} \frac{dE_{ut}}{dt}&=\frac{dE_{inn}}{dt}\\ F_p\cdot A_p&=F_*(r)\cdot A_{p,s}\\ \sigma T_p^4\cdot4\pi R_p^2&=\sigma T_*^4\left(\frac{R_*}{r}\right)^2\cdot\pi R_p^2\\ T_p&=\sqrt[4]{\frac{T_*^4}{4}\frac{R_*}{r}} \end{align*}\)

Vi ser at \(r\) er avstanden fra stjerna til den planeten vi ser p?. Fra simuleringen v?r av planetbanene har vi beregnet den midlere avstanden planetene har til stjerna.  

Vi har f?lgende midlere avstander, rangert fra n?rmest stjerna til lengst unna:

Som dere ser av tabellen over vil vi med solcellepanelet v?rt kunne reise til v?re to n?rmeste naboer. N? l?ser vi likningen for temperatur med avstandene fra tabellen. Det gir disse temperaturene:

Det vi kaller den beboelige sonen er der vann finnes i flytende form. Vi ansl?r at vann vil v?re flytende ved temperaturer p? \(260-390\,K\,(\pm\approx15\,K)\). Vi kan l?se likningen vi fikk for temperatur med hensyn p? avstand i stedet, for ? finne ut hvilke planeter som ligger innenfor grensen for den beboelige sonen. Vi f?r

\(\begin{align*} 4T_p^4&=\frac{T_*^4R_*^2}{r^2}\\ r^2&=\frac{T_*^4R_*^2}{4T_p^4}\\ r&=\frac{T_*^2R_*}{2T_p^2} \end{align*}\)

Ved utregning med \(T_p=360\,K\), f?r vi en nedre grense for avstanden fra stjerna p? \(1.484\,AU\). Med \(T_p=390\,K\), f?r vi en ?vre grense p? \(3.339\,AU\). Vi ser at med disse tallene kan vi ikke forvente ? dra til planet nummer 3. Vi sjekker for \(T_p=390+15\,K\). Det gir en ?vre grense p? \(3.76\,AU\). Med disse tallene ser vi at det er muligheter for ? finne vann p? de to n?rmeste naboene v?re.

Vi skal ikke hole dere p? pinebenken - vi vet dere sitrer av spenning. Vi kommer til ? reise til planet nummer 3. Vi har gjort noen observasjoner og det kan se ut som at den planeten kan ha vann p? seg. La oss sjekke ut hvilket areal vi trenger p? solcellepanelet v?rt for ? drive landingsfart?yet ved denne planeten.

\(A_s=\frac{40}{0.12\cdot\sigma T_*^4\left(\frac{R_*}{r}\right)^2}\)

Som dere kanskje husker har den tredje planeten en midlere avstand p? \(3.64\,AU\) fra stjerna v?r. Det medf?rer at vi trenger et areal p? minst \(0.381\,m^2\). Det er en smal sak for to store hjerner. 

Forrige innlegg <<                                                                             Neste innlegg >>