Bildet over er hentet fra furman.edu.
N?r en forsker f?r inn data fra en stjernes hastighet, er det ikke rett fram ? lese av hva hastigheten er. Se for dere at vi har rettet et teleskop mot en stjerne. Den g?r i bane rundt et massesenter med en planet. Men hele systemet beveger seg ogs?. Det kaller vi egenhastigheten til systemet.
Grunnen til at vi nevner dette er at vi har gjort en m?ling av et annet solsystem enn det vi befinner oss i n?. Vi ser at stjerna til det solsystemet g?r i bane om et felles massesenter til en planet. Vi ?nsker ? beregne massen til den planeten.
F?rst m? vi introdusere noe som kalles Dopplereffekten. Hvis du har st?tt langs veien, og en bil kj?rer fort forbi deg, vil du merke at lyden fra bilen endrer tone. N?r den er langt unna er den dyp, og stiger jo n?rmere den kommer. N?r den har kj?rt forbi deg blir den dyp igjen. Dette er Dopplereffekten. N?r et objekt beveger seg mot en observat?r, vil b?lgene bli kortere. Dette gjelder alt av b?lger. B?de lyd og lys. N?r et objekt beveger seg fra observat?ren, blir b?lgene lengre. Dopplereffekten er beskrevet ved
\(\frac{\Delta\lambda}{\lambda_0}=\frac{v_r}{c}\)
hvor \(\Delta\lambda\) er endringen i b?lgelengde, \(\lambda_0\) er den faktiske b?lgelengden, \(v_r\) er den radielle hastighetskomponenten og \(c\) er lysfarten \((3\cdot10^8m/s)\). Hvorfor ser vi p? den radielle hastighetskomponenten? Jo, fordi det er denne komponenten som skaper en Dopplereffekt.
N?r vi n? ser p? banene er de ikke lenger ellipser, men tiln?rmet sirkul?re. Eksentrisiteten til banene er s? sm?, at dette er greit ? gj?re. I Figur 1 har stjerna en normal komponent \(v_{\theta}\) som beskriver hastigheten normalt p? radiell retning, og en radiell komponent \(v_r\) som beskriver hastigheten radielt ut fra en observat?r (obs.). N?r stjerna er i punkt A og C, har den kun en hastighet i \(\theta\)-retning. Dette gir ingen Dopplereffekt, ettersom at stjerna verken beveger seg mot eller fra observat?ren. Men i punkt B og D beveger stjerna seg radielt i forhold til observat?ren. Det er her vi kan m?le hastigheten. Merk ogs? at avstanden fra observat?ren til stjerna er veeeldig lang. Hvis dere p? Jorda ser p? den n?rmeste stjerna utenom Sola, er det Proxima Centauri. Den ligger 4,2 lys?r unna jorden. Se for dere ? trekke en linje til det punktet som tilsvarer punkt B og punkt D i Figur 1. Den vinkelen mellom de to linjene er helt utrolig liten. Derfor kan vi tiln?rme at de to linjene er parallelle. Den tilh?rende hastighetskurven vil se noe slikt ut, for stjerna i Figur 1:
I punkt A har stjerna ingen radiell hastighet, og den m?lte hastigheten blir derfor 0. Deretter vil hastigheten stige mens stjerna beveger seg mot punkt B, hvor den vil f? et toppunkt. Enig? Fint. Fra B vil hastigheten synke til den n?r punkt C, hvor den igjen blir 0. Herfra ?ker hastigheten i negativ retning til den n?r et bunnpunkt i D, hvor den ?ker mot 0 i A, igjen. Henger dere med enda? Ta gjerne litt ekstra tid hvis noe var uklart. Husk at vi kun kan m?le den radielle hastigheten til stjerna, ettersom det er denne som vil gi en Dopplereffekt.
N? er det enda en ting som kan p?virke m?lingene. Nemlig noe som kalles inklinasjonsvinkel. Hvis banen til stjerna har en vinkel i forhold til synsretningen til observat?ren, vil det aldri v?re et punkt der den radielle hastighetskomponenten er den enste.
Dere ser at vi her aldri f?r isolert den radielle hastigheten. Men vi vil f? en liknende kurve. Den vil se slik ut:
Ser dere her at n?r stjerna er i posisjon A og C, s? vil den fortsatt ha en hastighet? Det er dette som er egenhastigheten, \(V\). Massesenteret vil bevege seg fra oss (det er ogs? mulig at et system beveger seg mot oss, men da vil de tilsvarende punktene A og C gi negative verdier). Det gir oss at hastigheten til stjerna blir
\(v_*=v_{obs}-V\)
hvor \(v_{obs}\) er den observerte hastigheten, og \(V\) er egenhastigheten til systemet. Greit, n? skal vi g? litt videre. Det vi er ute etter her, er ? si noe om massen til planeten som stjerna deler massesenter med. Dere kan lese mer her om to-legeme-problemet.
N? definerer vi noen variabler. \(m_*\), \(v_*\) og \(a_*\) er henholdsvis massen, radien og absolutthastigheten til stjerna i sin bane rundt massesenteret. Tilsvarende har vi for planeten \(m_p\), \(v_p\) og \(a_p\). Vi har at
\(\begin{align*} v_*=\frac{2\pi a_*}{P}\quad\quad \quad v_p=\frac{2\pi a_p}{P} \end{align*}\)
N? skal vi dra noe opp av hatten. Vi kan regne mye p? dette og vise hvorfor det stemmer, men vi kommer ikke til ? gj?re det. Formelen for ? m?le massen til en planet som g?r i bane om et felles massesenter til sin stjerne er
\(m_p=\left(\frac{P}{2\pi \gamma}\right)^{1/3}m_*^{2/3}\frac{v_{*,obs}}{sin(i)}\)
hvor \(i\) er inklinasjonsvinkelen til systemet, som beskrevet i Figur 3. Vi har ogs? at den radiale hastighetskomponenten til stjerna er gitt ved funksjonen
\(v_{*,obs,r}(t)=v^B_{*,obs,r}cos\left(\frac{2\pi}{P}(t-t_0)\right)\)
hvor \(v^B_{*,obs,r}\) er den hastigheten stjerna har i det vi har kalt punkt B, alts? den maksimale observerte hastigheten. Merk ogs? at \(cos(\theta)\in[-1,1]\). Det vi ser er at \(t_0=t\) er det tidspunktet \(cos\) har et maksimum. Vi har tatt noen snarveier her og utelatt en del forklaring. Det grunner i at vi har litt d?rlig tid. Beklager det.
Vi har f?tt disse m?lingene fra den andre stjerna sin hastighetskurve:
Huff og huff s? rotete! Det f?rste vi kan se er at n?r stjerna har maksfarten sin, s? er den ikke null i Figur 5. Dette er da egenverdien til systemet. Vi leser av plottet og gir oss at denne m? v?re omtrent \(8.875\,AU/yr\). Dette er s? rotete p? grunn av st?y i v?r m?ling. Flaks for oss at denne st?yen er Gaussisk! Husk tilbake fra innlegget om statistikk at vi kan si noe om denne st?yen. Vi vet at middelverdien ligger p? 0. Den observerte hastigheten \(v_{obs}(t)\) er gitt ved
\(\begin{align*} v_{obs}(t)&=v_{faktisk}+\delta v(t)\\ \delta v(t)&=v_{obs}(t)-v_{faktisk} \end{align*}\)
hvor \(\delta v(t)\) er st?yen vi m?ler, og \(v_{faktisk}\) er den faktiske hastigheten til stjerna. Dere har nok hatt mye om sannsynligheter, s? da vet dere kanskje at sannsynligheter som er uavhengige av hverandre kan ganges sammen. For eksempel hvis dere skal kaste en terning, er sannsynligheten for at dere f?r 2 seksere p? rad lik
\(\begin{align*} P(2\,seksere)&=P(sekser)\cdot P(sekser)\\ &=\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}\\ &=\frac{1}{36}=2.7\,\% \end{align*}\)
Hvordan kan vi si noe om sannsynligheten for at vi m?ler riktig? Jo, ved ? gange alle sannsynlighetene for at hastigheten har en eller annen st?y, \(\delta v_i(t)\), sammen. Vi har at sannsynligheten for ett m?lepunkt er
\(P(\delta v_i)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_{st?y}}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{v_{obs}(t)-v_{faktisk}(t)}{\sigma_{st?y}}\right)^2}\)
Sannsynligheten for at vi vi m?ler en gitt st?y for hvert punkt blir da
\(\begin{align*} P(\sigma v_1,...,\sigma v_n)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}^n}\prod_{i=1}^n\frac{1}{\sigma_{st?y}}e^{-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^n\left(\frac{v_{obs}(t)-v_{faktisk}(t)}{\sigma_{st?y}}\right)^2} \end{align*}\)
Hva sier dette oss? Jo, det sier oss at det som st?r i eksponenten til \(e\) m? bli minst mulig for at sannsynligheten skal bli st?rst. Dette kalles minste kvadraters metode. Vi har at \(\sigma_{st?y}\) er konstant, s? vi kan omformulere hele problemet til
\(\begin{align*} \Delta=\sum_{t_i}\bigg(v_{obs}(t_i)-v_{faktisk}(t_i)\bigg)^2 \end{align*}\)
Hvis vi f?r \(\Delta\) minst mulig, vil sannsynligheten for at vi har valgt riktig v?re st?rst. Vi har valgt f?lgende verdier, hvor egenhastigheten har blitt trukket fra \(v_*\)
| \(v_*\) | \(P\) | \(t_0\) |
| \([-0.125,0.875]\) | \([40,80]\) | \([40,60]\) |
Hvis dere ser p? Figur 5 ser dere at de intervallene vi har valgt m? inneholde de faktiske verdiene. Vi deler opp alle intervallene i 20 og bruker minste kvadraters metode p? alle mulige kombinasjoner av dem. Dessverre for oss gir det oss dette plottet:
Vi har ?penbart gjort en feil. Dette kan skyldes feil i hvordan vi har regnet ut modellen v?r, eller hvordan vi har implementert dette i koden. Det vi ser er at utslagene er litt h?ye, og at fasen er forskj?vet. De tallene vi fikk var
\(v_*=0.875, \quad\quad P=50.5,\quad\quad t_0=60.0\)
Dette stemmer ?penbart ikke, ettersom at b?de for \(v_*\) og \(t_0\) har vi f?tt de h?yeste verdiene kurven kunne ha. Ved direkte avlesning kan vi gjette p? disse verdiene:
\(v_*=0.375, \quad\quad P=65,\quad\quad t_0=50\)
Det gir oss dette plottet:
Denne passer mye bedre, men som sagt, dette er ikke de verdiene med st?rst sannsynlighet, bare de vi har sett med det blotte ?ye.
N? er det p? tide ? pr?ve ? beregne den minste massen planeten kan ha. Husk at
\(m_p=\left(\frac{P}{2\pi \gamma}\right)^{1/3}m_*^{2/3}\frac{v_{*,obs}}{sin(i)}\)
Hvis vi velger inklinasjonsvinkelen til ? v?re \(i=90^\circ\) vil dette gi den minste mulige massen til planeten. Noen mindre vinkel vil ?ke massen med en faktor \(1/sin(i)\).
Vi vet massen til stjerna, som er svimlende \(3.99\,M_{\odot}\). Denne stjerna vil bli et sort hull n?r den d?r. Grensen ligger p? mellom 2 og 3 solmasser. Vi putter dette inn i formelen v?r, som gir
\(\begin{align*} m_p&=\left(\frac{65}{2\pi\cdot4\pi^2}\right)^{1/3}3.99^{2/3}\cdot0.375\\ &\approx0.604\,M_\odot \end{align*}\)
Nok en fiasko. Den riktige st?rrelsen skal v?re \(0.0384\,M_\odot\). N? er jeg veldig usikker p? hvor det har g?tt galt, men det er viktig ? tenke p? at tallene vi har brukt er sv?rt un?yaktige. Hvis dere ser p? formelen, s? ser dere at det som skal til for ? f? et mindre svar er at oml?pstiden og maksimal radiell hastighet er mindre. Dette kan det godt v?re v?re ?yne har feilet med.
Det var alt vi hadde ? fortelle dere n?. Det er synd vi ikke fikk til dette, men vi h?per dere som leser kan ha f?tt noe utbytte likevel. Til neste gang, farvel.