Gass virker som en tilfeldig ting i hverdagen, noe man har lite kontroll p? hvordan vil oppf?re seg. Det er kanskje sant, men ikke helt sant. Vi skal n? pr?ve ? modellere hydrogengass (\(H_2\)) inne i en bitteliten boks som til slutt skal virke som v?r rakettmotor i denne modellen, og for ? gj?re dette er det et par ting vi f?rst b?r ta stilling til.
I v?rt tilfelle vil vi anta at vi har noe som kalles ideell gass. Dette er kanskje et ukjent konsept for noen, men la meg pr?ve ? oppklare hva slags antakelser som skiller en ideell gass fra en virkelig gass:
- Gasspartiklene er like store, samme form, og antas ? v?re punktpartikler.
- Gasspartiklene utveksler ingen intermolekyl?re krefter, dvs. de ikke tiltrekker eller frast?ter hverandre. I v?r modell vil de heller ikke kollidere med hverandre, men kun veggene p? boksen.
- Volumet p? partiklene er neglisjert, og hastighetene p? gassen er tilfeldig.
- Kollisjonene til partiklene med veggene i boksen er 100% elastiske. Sagt p? en annen m?te, er bevegelsesmengden bevart for hver partikkel. Husker du ikke heeeeeelt hvordan bevaring av bevegelsesmengde var? Da kan du friske opp minnet ditt her!
MERK! Jeg skriver tilfeldig, men tilfeldig er kanskje ikke s? tilfeldig som du tror. La oss se litt p? statistikken bak hastigheten til disse partiklene f?r vi ser p? hvordan vi skal simulere denne lille boksen p? datamaskinen som til slutt skal bli en rakettmotor!
Statistikk - ja, det er faktisk viktig
N?r vi skal dele ut hastighetene til alle partiklene i en ideell gass, s? er det viktig ? vite at hver hastighetskomponent f?lger noe som kalles en normal distribusjon eller ogs? Gaussisk distribusjon. Distribusjonen forteller deg noe om hvordan farten er fordelt i en gass, eller hvor sannsynlig det er at en gasspartikkel har en eller annen fart. Jeg skal n? kaste et litt h?rete uttrykk p? deg, s? ikke bli skremt av at det ser komplisert eller skummelt ut. Du beh?ver ikke ? forst? hvorfor formelen ser s?nn ut, og jeg skal pr?ve ? ta deg gjennom de ulike tegnene som er i den. Formelen for distribusjonen av hver enkelt komponent ser s?nn ut:
\(P(v_x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{v_x - \mu}{\sigma}\right)^2}\)
MERK at jeg her skriver \(v_x \), men at samme fordeling gjelder for de andre komponentene \(v_y\) og \(v_z\), alts? er alt jeg skriver om \(v_x \) og \(P(v_x)\) analogt med \(v_y\) og \(P(v_y)\) og \(v_z\) og \(P(v_z)\). S? hva er det egentlig som skjer her? Hva er \(\mu\) og \(\sigma\), og hva er \(P(v_x)\)? La oss plotte funksjonen s? vi kan se hvordan den ser ut f?rst. Funksjonen er plottet for hydrogengass (\(H_2\)).
Det f?rste vi kan legge merke til her er at funksjonen er symmetrisk om \(v_x=0\). Hva forteller dette oss? Jo, det er like sannsynlig at en partikkel har negativ \(v_x\)-komponent som positiv \(v_x\)-komponent. Alts? er det like sannsynlig at partikkel vil g? av sted i alle retninger (husk at fordelingen ogs? gjelder \(v_y\) og \(v_z\)). Det betyr ogs? at middelverdien av \(v_x\), ofte notert som \(\langle v_x\rangle\), m? bli \(0\)! Middelverdien er jo bare summen av alle verdiene delt p? antall verdier, men siden distribusjonen er symmetrisk om \(v_x = 0\) s? vil det for hver \(v_x\) finnes en helt lik \(v_x\) med motsatt fortegn, og da blir summen av disse \(0\). Det er hva \(\mu \) er! \(\mu \) er middelverdien i en fordeling, og i tilfellet for ideell gass s? er \(\mu = \langle v_x \rangle= \langle v_y \rangle = \langle v_z \rangle= 0\). Det vi ogs? ser p? grafen er at der \(v_x=0\) har ogs? \(P(v_x)\) et toppunkt. Hva \(P(v_x)\) egentlig er har jeg enda ikke sagt s? mye om enda, og det kommer jeg til snart. F?rst vil jeg fortelle litt om hva \(\sigma \) betyr.
\(\sigma \) er det vi kaller standardavviket, som er et gjennomsnittlig m?l p? hvor mye noe avviker fra middelverdien. La oss for eksempel si at gjennomsnittsh?yden i Norge er 180cm. Dersom vi lar standardavviket v?re 5cm, betyr det at om vi trekker ut en tilfeldig person s? er det sannsynlig at de har en h?yde som ligger mellom 180-5cm og 180+5cm, eller \(\mu - \sigma\) og \(\mu + \sigma \). Standardavviket fungerer ogs? som et m?l p? hvor bred denne Gaussiske kurven er, jo bredere standardavviket er, jo bredere m? kurven bli, siden avviket er st?rre fra middelverdien. Dette har en konsekvens for middelverdien, siden den m? bli lavere. Dette er fordi integralet under kurven alltid m? v?re 1, som betyr at n?r kurven blir bredere m? den ogs? bli lavere. Hvorfor integralet over kurven alltid m? v?re 1 kommer vil du forh?pentligvis forst? bedre i neste avsnitt. For en ideell gass vet vi at \(\sigma = \sqrt{\frac{kT}{m}}\), der \(k\) er Boltzmanns konstant (Boltzmanns konstant kan du lese om her), \(T\) er temperaturen i gassen gitt i Kelvin, og \(m\) er gasspartikkelens masse.
\(P(v_x)\) er sannsynlighetstettheten for \(v_x\)-komponenten i en hastighet \(\vec{v} = (v_x, v_y, v_z)\), alts? en sannsynlighet pr. fart. Dette er kanskje en litt uvant og abstrakt st?rrelse, men gir mening dersom vi integrerer over den mellom et intervall (husk at et integral egentlig bare er et produkt av aksene). Det vil si at om vi integrerer \(P(v_x)\) med hensyn p? \(v_x\) i et eller annet intervall, la oss si mellom \(100m/s\) og \(200m/s\), vil vi f? sannsynligheten for at en gasspartikkel har en \(v_x\) mellom \(100m/s-200m/s\). Det betyr det at om vi integrerer over \(P(v_x)\) med hensyn p? \(v_x\) fra \(-\infty\) til \(\infty\) vil vi f? 1, siden sannsynligheten for at en partikkel har en hvilken som helst fart er mellom \(-\infty\) og \(\infty\) er 1, eller 100%. Det betyr ogs? at sannsynligheten for at en partikkel har en n?yaktig bestemt fart ogs? er \(0\), siden vi da integrerer fra f.eks \(100m/s\) til \(100m/s\), som vil gi oss 0. Dette gir forh?pentligvis mening siden alle tall er uendelige desimaler, og sannsynligheten for at en fart skal ha alle de uendelige desimalene, at absolutt alle desimalene skal matche m? v?re 0. Derfor er det normalt ? plotte dataene i noe som kalles histogrammer, som plotter fordelingen i s?kalte bins, som bare er et intervall. Alts? samler vi sannsynligheten for at en partikkel ligger i et intervall og plotter disse. Jeg g?r ikke noe s?rlige dypere inn p? det, men legger til et bilde av hvordan noe s?nt kan se ut for helt tilfeldige genererte data med en kommando fra Numpy-modulen i Python kalt np.random.normal(). med Gaussisk/normal fordeling for en hydrogengass:
N? er det nok om statistikk! Det kan fort bli litt *snork* med mye statistikk, men det er veldig viktig for ? simulere gassen riktig. La oss begynne ? se p? boksen og rakettmotoren!