Verdensrommet er farlig
Endelig er tiden inne for at vi skal reise. Vi har hittil simulert planetbaner, vi har funnet destinasjonsplaneten (reisem?let), funnet ut av hvilken rute vi skal reise i tillegg til at vi har simulert reisen. Da er vel alt klart? Vel, egentlig ikke. Dere ser kanskje illustrasjonen ovenfor? Det er en simulering av hvordan en romreise kunne sett ut. I teorien ser det fantastisk ut, men i virkeligheten finnes det flere kompliserende faktorer. For eksempel kan det finnes sm? astronomiske legemer som m?ner som vi ikke har regnet med, eller usikkerheter i planetbanene vi har simulert som f?rer til at krefter p? oss fra planeter og liknende kan avvike litt. I tillegg finnes det ofte ogs? usikkerheter i selve simuleringene som vi gj?r, selv uten alle de f?rnevnte faktorene. Dermed kommer v?r simulerte rakett-bane til ? avvike litt fra den virkelige banen, faktisk nok til at vi bommer p? destinasjonen. Dette er d?rlig stemning, s? derfor m? vi gj?re noen korreksjoner p? kursen v?r underveis.
Hvordan skal vi korrigere kursen?
Dette blir ikke store magien. For ? korrigere kursen booster vi oss selv med en hastighetsendring \(\Delta \vec{v}\) slik at banen vi er p? endrer kurs, likt som p? Figur 1 nedenfor. Det eneste vi trenger ? passe p? her er hvor stor boosten er, n?r vi ?nsker ? booste, og at vi gir korreksjonen i riktig retning.
Programmet for ? gj?re hele romreisen med boostene har vi f?tt av en gruppe forskere som utvikler den nyeste teknologien innenfor romreise, sammen med koder for ? flyte fritt og orientere oss i den retningen vi ?nsker ute i verdensrommet. Ja vi har til og med f?tt med oss et kamera slik at vi kan ta bilder av omgivelsene rundt oss! Herlig! Dette gj?r det enklere for oss ? gjennomf?re reisen. Jeg kan lukte stjerner og planeter!
M?ten vi da vil gj?re dette p? er ? bruke kameraet p? raketten v?r til ? finne ut hvor vi er i solsystemet til et gitt tidspunkt, slik at vi kan observere hvor vi er dersom (eller n?r) vi flyter ut av den planlagte kursen. N?r vi ser det, kan vi gi oss selv en boost i riktig retning. Vi har heldigvis laget oss en del test-raketter, slik at vi kan teste dette f?r vi skyter oss selv opp i verdensrommet.
N?r vi endelig n?r planeten vi skal til, kommer vi antakeligvis til ? ha s? stor hastighet inn mot den at gravitasjonsfeltet ikke klarer ? fange oss. Vi ?nsker ? gi oss selv en boost slik at vi havner i bane rundt planeten.
Illustrasjonen er laget med matplotlib.
Vi starter med ? anta at planeten v?r og raketten er et 2-legeme-system, for ? gj?re dette enklere for oss, selv om det ikke er 100% sant. Dersom du husker fra da vi regnet p? ellipsebaner i postene Sol-dans og planet-vals og Planetbaner, s? fikk vi at den totale kinetiske energien til et legeme om det andre legemet ble
\(E = \frac{1}{2}\hat{\mu}v^2 - \frac{\hat{\mu}m}{r}\),
der \(\hat{\mu}\) er den reduserte massen \(\hat{\mu} = \frac{m_1m_2}{m_1 + m_2}\), \(m = G(m_1 + m_2)\) og \(m_1,\;m_2\) er massen til de to legemene, og \(v\) er farten til det ene legemet sett fra det andre legemet. Du husker ogs? kanskje at for at vi skal ha en ellipse-bane, m?tte denne totale energien ogs? v?re negativ, alts? \(E<0\) ? (Hvis ikke anbefaler jeg deg ? skumme gjennom innleggene om ellipsebaner ovenfor en gang til). Dersom \(E\) ikke er mindre enn null, er vi ikke lenger i en ellipsebane om massen i to-legeme systemet, som betyr at vi heller ikke lenger g?r i bane rundt planeten. L?ser vi
\(\)\(\frac{1}{2}\hat{\mu}v^2 - \frac{\hat{\mu}m}{r} < 0\)
f?r vi at den maksimale hastigheten vi kan ha n?r vi skal inn i bane er
\(v_{max} = \sqrt{\frac{2G(m_1 + m_2)}{r}}\).
Siden massen til planeten \(m_2\) er mye st?rre enn massen til raketten \(m_1\), kan vi se bort ifra v?r egen masse n?r vi legger \(m_1\) og \(m_2\) sammen (MERK dette kan vi IKKE gj?re n?r vi ganger massene sammen). Vi f?r da at vi kan ha en maksfart p?
\(v_{max} = \sqrt{\frac{2Gm_2}{r}}\).
Men vi m? ogs? passe p? ? ikke sakke ned for mye slik at vi ikke g?r i bane lenger, og faktisk faller ned mot planeten. For en elliptisk bane kan vi finne denne minimumsverdien med vis-viva likningen (bit merke i denne).
\(v = \sqrt{Gm_2\left(\frac{2}{r} - \frac{1}{a}\right)}\)
Problemet med denne er at vi trenger n? ? vite hva store halvakse i ellipsebanen er f?r vi har kommet inn i ellipsebanen. Dette gj?r det mye vanskeligere for oss, derfor tenker vi oss at vi booster p? en slik m?te at vi havner i en ellipsebane, som vi kan approksimere til en sirkelbane for ? gj?re det enkelt for oss. Resultatet vi f?r n? blir kun en approksimasjon til et tenkt teoretisk scenario, men gir oss et slags estimat p? hvor lav fart vi kan ha. Husk at vi ikke ?nsker ? havne i en kjempe-elliptisk bane, men en ganske pen nesten-sirkul?r bane. Jo roligere og penere banen v?r rundt planeten er jo lettere er den ? h?ndtere, slik at vi kan ligge i en stabil bane. Vi bruker at kraften p? raketten fra planeten er \(F = m_1a = m_1\frac{v^2}{r} = G\frac{m_1m_2}{r^2}\). L?ser vi dette for \(v\) f?r vi at
\(v_{min} = \sqrt{\frac{Gm_2}{r}}\).
MERK: Dersom vi hadde latt store halvakse \(a=r\) i vis-viva likningen hadde vi f?tt samme resultat som ovenfor for \(v_{min}\), men m?ten vi tenkte p? her var kanskje litt mer vandt til det dere har gjort p? videreg?ende? Merk ogs? at \(a=\infty\) hadde gitt oss uttrykket for \(v_{max}\), s? det er tydelig at vi er p? riktig spor her.
Dermed f?r vi at i en avstand \(r\) fra planetens sentrum, har vi to grenser for farten vi kan ha i bane om planeten
\(v_{min} = \sqrt{\frac{Gm_2}{r}}\) og \(v_{max} = \sqrt{\frac{2Gm_2}{r}}\).
Vi har at massen for planeten vi skal reise til er \(m_2 = 1.65\cdot10^{23}kg\) (Jordas masse er \(5.97\cdot10^{24}kg\)), og en radius \(r_p = 1861.74km\) (Jordas radius er p? \(6371km\)). La oss si vi skal holde oss 2000km over overflaten, slik at vi ikke roter oss inn i atmosf?ren. Da f?r vi en total avstand \(r = 3861.74km\). Dette gir oss maks og min fart p?
\(v_{min} = 1678.43m/s\), \(v_{max} = 2373.66m/s\)
eller
\(v_{min} = 6042.37km/t\), \(v_{max}= 8545.20km/t\).
Dette er kritiske verdier for hvilken fart vi kan ha inn i bane rundt planeten. Disse verdiene er viktige ? notere, s? vi l?per til programmene v?re for ? skrive det inn s? fort som fy!
Zabka-tage
* --------------------------------------------------------------------------------*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
* --------------------------------------------------------------------------------*
Er det karatelegenden William Zabka??
Nei, vent, William Zabka hva er det du gj?r! Du ?delegger PROGRAMMENE V?RE! Nei, nei, nei, nei, nei! Hvorfor gjorde du det? Vi pr?ver i all desperasjon ? se om vi kan fikse kodene, om ikke minst bruke dem til noe som helst slik at vi kan komme oss av sted. Det er dessverre til ingen nytte. Vi f?r absolutt ikke godkjent posisjonen eller orienteringen v?r etter launch, s? da aner vi jo ikke hvor vi er i verdensrommet n?r vi skyter oss ut! Hva skal vi gj?re n??
William Zabka har sabotert oppdraget v?rt, den slu, karate-sparkende, romreise-sjalu b?lla! Jeg visste vi ikke skulle avsl?tt s?knaden hans om ? f? v?re med p? prosjektet! N? er vi n?dt til ? finne en annen m?te ? komme oss til destinasjons-planeten p?. Vi har ikke tid til ? fikse programmene, s? vi kryper til IPA (International Planetary Association) og forklarer dem det hele. I dyptsynkende medlidenhet designer de en rakett til oss som tar oss med helt til planeten v?r, og f?r raketten i stabil bane om destinasjonsplaneten. Ikke moro.
Ja, dette skulle blitt en skikkelig feiringens innlegg, der vi n?r v?rt endelige reisem?l. I stedet blir det en gjensittende f?lelse av ? ikke mestre romreisen, en slags skuffelse over at vi ikke fikk programmene v?re til ? kj?re. Dette som skulle blitt hele reisens h?ydepunkt. Vi f?r dessverre ikke tatt noen kule bilder eller videoer ? vise dere, ingen grensesprengende tall eller analyse p? resultater fra metodene vi bruker. I mens vi sitter p? raketten og surmuler p? vei til planeten, grubler jeg p? hvordan forskerne i IPA gjorde dette mulig for oss. Hvordan f?r dem raketten v?r inn i en stabil bane? Hvordan finner de tallene som forteller oss hvor stabil bane vi er i? Det hele virker nesten litt magisk for meg for ?yeblikket, og jeg tar frem tegnebrettet for ? drepe d?dtiden mellom avreisepunkt og destinasjonspunkt, og pr?ver ? finne ut av hvordan vi skulle l?st denne problemstillingen.