Vi faller rundt planeten. Etter hvert vil vi fors?ke ? entre atmosf?ren og til slutt lande p? planeten. F?r vi kommer s? langt, m? vi forsikre oss om at orbiten v?r er s? sirkul?r som mulig. La oss begynne med ? se p? likningen for orbit-hastighet. N?r vi svever rundt en planet som vi gj?r n?, er det kun én kraft som virker p? oss. Tyngdekraften. Den gir oss en sentripetalakselerasjon. Vi har at
\(\sum F=F_G=\gamma\frac{mM_p}{r^2}\)
hvor \(\gamma, m, M_p, r\) er gravitasjonskonstanten, romskipets masse, planetens masse og avstanden fra romskipets massesenter til planetens massesenter. Videre f?r vi
\(\begin{align} \gamma\frac{mM_p}{r^2}&=m\frac{v^2}{r}\\ v&=\sqrt{\gamma\frac{M_p}{r}} \end{align}\)
Her har vi en formel for orbit-hastighet som funksjon av avstanden fra planetens sentrum. Plottet ser slik ut:
I Figur 1 g?r h?yden fra 1 km til 1000 km over overflaten. Det er kanskje ikke s? overraskende at vi trenger en lavere hastighet lenger vekk fra planeten?
Hva tror dere skjer om vi senker hastigheten? Jo, da vil vi entre en lavere orbit. Tilsvarende vil en hastighets?kning resultere i en h?yere orbit. Vi befinner oss for ?yeblikket 1 000 km over overflaten. Vi regner ut hvilken hastighet vi har.
\(\begin{align} v&=\sqrt{6.674\cdot10^{-11}m^3kg^{-1}s^{-2}\frac{1.647\cdot10^{23}kg}{2.862\cdot10^6m}}\\ &\approx1960\,m/s \end{align}\)
Merk at her m? vi legge til planetens radius for ? f? riktig avstand fra sentrum. Siden vi er veldig langt unna ? treffe atmosf?ren, kan vi bremse for ? komme i lavere orbit. Vi ?nsker ? synke til vi er 400 m over overflaten, som er omtrent samme h?yde som den internasjonale romstasjonen, ISS, befinner seg p?. Vi f?r n? en hastighet p? ~ 2205 m/s.
Vi stiller inn kameraet slik at vi f?r bildet vist p? Bilde 1. Vi er n? s?pass n?rme planeten at vi kan begynne noen beregninger.
Det f?rste vi vil starte med er ? finne oml?pstiden v?r. Strekningen vi skal tilbakelegge blir omkretsen til sirkelen vi beveger oss langs. Vi vet hva avstanden v?r er til sentrum av sirkelen, og hvilken hastighet vi har. Fra bevegelseslikningen for konstant hastighet har vi at \(s=v\cdot t\). Strekningen blir \(2\pi r\) og hastigheten v?r er orbit-hastighet. Vi regner ut oml?pstiden v?r, \(T\):
\(\begin{align} T&=\frac{2\pi r}{v}\\ &=\frac{2\pi\cdot2.262\cdot10^6m}{2.206\cdot10^3m/s}\\ &\approx6442.565\,s \end{align}\)
Vi bruker alts? omtrent 1 time og 50 min p? ? fullf?re én runde rundt planeten. La oss fors?ke ? filme litt av hva vi ser. Det holder vel ? filme den siden av planeten det er lys p?, er dere ikke enige?
Videoen over er speedet kraftig opp. Vi faller egentlig i ~6 000 sekunder, som tilsvarer litt over halvannen time. Ganske kult, ikke sant?
Det neste vi skal sjekke er at vi holder en jevn h?yde over overflaten. Vi ?nsker en s? sirkul?r bane som mulig. Det er fordi n?r vi skal i lavere orbit er det lettere ? utf?re en kontrollert man?ver ved sirkul?re baner. N? kan romskipet v?rt falle fritt en runde rundt planeten, og vi m?ler avstanden til bakken under oss hvert kvarter. Dette er resultatene vi f?r:
| Tid (s) | Avstand (m) |
| 0 | 400206.95 |
| 900 | 400169.40 |
| 1800 | 400012.41 |
| 2700 | 400157.53 |
| 3600 | 400019.98 |
| 4500 | 400188.14 |
| 5400 | 400197.00 |
Som vi ser s? er ikke banen v?r helt sirkul?r, men det skal g? helt fint. N? skal vi g? ett steg videre. I et ideelt scenario kan vi ta noen bilder av bakken under oss og se om vi finner noen potensielt gode landingssteder. Det eneste som kan korrumpere v?r geniale plan er at planeten spinner om sin egen akse, og dermed vil ogs? landingsstedet v?rt endre posisjon med tiden.
Heldigvis for oss vet vi hvor lang tid planeten bruker p? ? snurre en gang rundt sin egen akse, ogs? kalt perioden, \(T_p\) til planeten. Den bruker ~11.15 dager, som tilsvarer 11 dager, 3 timer og 36 minutter. Vi kan bruke dette til ? regne ut vinkelfarten \(\omega\). Formelen er gitt ved
\(\begin{align} \omega=\frac{2\pi}{T_p} \end{align}\)
som gir en vinkelfart p? \(6.52\cdot10^{-6}\) radianer per sekund. Planeten v?r roterer med andre ord om z-aksen, med null helning. Til sammenlikning har jorda en helning p? ~23.5°. Jordas helning s?rger for at dere har ?rstider. I v?rt solsystem har alle planetene null helning.
Det letteste vi kan gj?re er ? finne en landingsplass p? planetens ekvator. Der vet vi hva vinkelfarten er, og vi kan lett beregne hvordan det punktet flytter seg med tid. Ettersom at vi kan m?le avstanden v?r til planetens sentrum til en hver tid, kan vi trekke fra radien til planeten for ? finne den radielle komponenten til posisjonen i sf?riske koordinater.
Oppfriskning i sf?riske koordinater. Hvis dere vil ha enda mer oppfriskning, kan dere se innlegget om stereografisk projeksjon her. Her har vi tre ortogonale komponenter til posisjonen, gitt ved
\(\begin{align} \vec{r}&=(\rho,\theta,\varphi)\\ 0&\leq\rho\leq\infty\\ 0&\leq\theta\leq\pi\\ 0&\leq\varphi\leq2\pi \end{align}\)
Siden langingsplassen vil ligge langs ekvator, vil det kun v?re \(\varphi\)-komponenten som endrer seg med tid. \(\theta\) vil v?re konstant lik \(\frac{\pi}{2}\). Koordinatene vi f?r fra instrumentene om bord er kartesiske. Heldigvis er ikke overgangen s? vanskelig, bare se selv.
\(\begin{align} \rho&=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\\ \theta&=\arccos\Bigg(\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\Bigg)\\ \varphi&=\arctan\bigg(\frac{y}{x}\bigg) \end{align}\)
Langs ekvator har vi konstant hastighet, s? vi kan beregne koordinatet til landingsplassen v?r som funksjon av tid.
\(\begin{align} \vec{r}(t)=\Big(\rho-R_p, \frac{\pi}{2}, \varphi(t)\Big) \end{align}\)
Ettersom at den radielle komponenten alltid er p? overflaten, trenger vi kun ? finne et uttrykk for \(\varphi(t)\). Dette er en vinkel, s? vi kan enkelt skrive den slik:
\(\varphi(t)=\varphi_0+\omega\cdot t\)
Dette gir posisjonen som funksjon av tid:
\(\begin{align} \vec{r}(t)=\bigg(R_p\,,\,\frac{\pi}{2}\,,\,\varphi_0+\omega\cdot t\bigg) \end{align}\)
For ? komme oss tilbake til kartesiske koordinater f?lger vi f?lgende oppskrift:
\(\begin{align} x&=\rho\sin\theta\cos\varphi\\ y&=\rho\sin\theta\sin\varphi\\ z&=\rho\cos\theta \end{align}\)
Ettersom at \(\rho\) og \(\theta\) er konstante, kan vi skrive det slik:
\(\begin{align} x&=R_p\cos\varphi\\ y&=R_p\sin\varphi\\ z&=0 \end{align}\)
La oss n? falle rundt planeten igjen, og ta noen bilder av dagsiden planeten. Vi noterer ogs? posisjonene i sf?riske koordinater.
Dette ble mange bilder! Klarer dere ? se noe? Det er kanskje litt vanskelig, men det er lett ? se at dette ser ut som en ?rkenplanet. Ikke ulikt Mars. Grunnen til at vi vil se p? dette er for ? forsikre oss om at vi ikke lander p? et fjell eller liknende. Det er som sagt vanskelig ? se noe, men vi holdt ord og tok m?linger ved hvert bilde. Under kommer en tabell med tid og posisjon for hvert punkt direkte under oss da bildet ble tatt (midt i bildene).
| Bilde # | Tid (s) | Posisjon \((\rho,\theta,\varphi)\) |
| 1 | 0 | \((R_p\,,\,\frac{\pi}{2}\,,\,-0.88)\) |
| 2 | 300 | \((R_p\,,\,\frac{\pi}{2}\,,\,-0.59)\) |
| 3 | 600 | \((R_p\,,\,\frac{\pi}{2}\,,\,-0.29)\) |
| 4 | 900 | \((R_p\,,\,\frac{\pi}{2}\,,\,\sim0)\) |
| 5 | 1200 | \((R_p\,,\,\frac{\pi}{2}\,,\,0.29)\) |
| 6 | 1500 | \((R_p\,,\,\frac{\pi}{2}\,,\,0.58)\) |
| 7 | 1800 | \((R_p\,,\,\frac{\pi}{2}\,,\,0.88)\) |
| 8 | 2100 | \((R_p\,,\,\frac{\pi}{2}\,,\,1.17)\) |
| 9 | 2400 | \((R_p\,,\,\frac{\pi}{2}\,,\,1.46)\) |
| 10 | 2700 | \((R_p\,,\,\frac{\pi}{2}\,,\,-1.39)\) |
La oss se n?rmere p? Bilde 8.
I midten av dette bilde kan vi se at landskapet ser ganske flatt ut. Vi kommer naturligvis ikke til ? klare ? lande n?yaktig der vi ?nsker, men det hadde v?rt fint om vi kom i n?rheten. Ikke fordi vi anser oppdraget som feilet dersom vi ikke f?r det til, men det vil v?re en ekstra boost av selvtilliten om vi klarer ? lande der vi ?nsker. La oss n? se hvordan formelen for dette landingspunktet blir. Fra tabellen har vi at \(\varphi_0=-0.88\). Dermed kan vi bruke formelen v?r til ? finne ut av hvilken posisjon punktet har etter en gitt tid.
\(\begin{align} \vec{r}(t)=\bigg(R_p\,,\,\frac{\pi}{2}\,,\,-0.88+\omega\cdot t\bigg) \end{align}\)
Vi setter inn uttrykket vi har for \(\omega\).
\(\begin{align} \vec{r}(t)=\bigg(R_p\,,\,\frac{\pi}{2}\,,\,-0.88+6.52\cdot10^{-6}\cdot t\bigg) \end{align}\)
Den generelle formelen kommer vi til ? f? bruk for senere. Forel?pig er vi litt for h?yt oppe til ? kunne si noe veldig n?yaktig om landskapet under oss. Men det hadde som sagt v?rt g?y ? f? til ? lande omtrent der vi ?nsker.
I neste innlegg skal vi pr?ve ? modellere atmosf?ren til planeten. Dette kommer til ? v?re viktig for ? kunne si noe om hvordan luftmotstanden vil v?re for landingsfart?yet v?rt.