Hei, hei! I forrige del fikk dere se hvordan vi modellerte atmosf?ren til planeten vi skal lande p?. Atmosf?re er en gass som omsv?per planeter. Siden gassen er sammensatt av partikler med masse, har atmosf?ren et blant annet en tetthet. Fra forrige del vet dere at denne tettheten er en funksjon av avstanden fra planetoverflaten, og at den avtar jo lenger vekk man kommer. Selve funksjonen vil ikke bli gjentatt her, men dere kan ta en titt p? innlegget om modellering av atmosf?ren fra forrige del for ? f? en oppfriskning.
F?rst skal vi introdusere formelen for luftmotstand, som har det klingende engelske navnet the drag equation. Og nei, det er ikke en likning som regner ut hvor mange hestekrefter et kj?ret?y kan ha f?r det blir for "harry". Likningen ser slik ut:
\(\begin{align} F_d=\frac{1}{2}\rho\,C_dAv_\text{drag}^2 \end{align}\)
Her er \(\rho\) tetthet, \(C_d\) er luftmotstandskoeffisienten, \(A\) er tverrsnittarealet til objektet som beveger seg gjennom lufta og \(v_\text{drag}\) er den relative hastigheten objektet har til lufta rundt. Luftmotstandskoeffisienten er et tall, som sier noe om hvilken motstand et objekt som beveger seg gjennom luft m?ter. For eksempel s? vil en kube ha \(C_d=1.05\), mens et dr?peformet objekt (streamline body) vil ha \(C_d=0.04\). (Kilde: Drag coefficient p? Wikipedia.) Vi kommer til ? sette \(C_d=1.0\). Et romskip har mange kanter og ujevnheter, s? det kan til og med v?re litt for lavt.
Fun Fact: Fra Apollo 4 sine m?linger tatt av fart?yet, ble luftmotstandskoeffisienten beregnet til \(C_d\approx1.2\) da fart?yet re-entret atmosf?ren i en h?yde p? ~122 km over bakken, med hastighet ~3 094 km/t. Dataene ble m?lt av kommandomodulen (CM-017), som har en konisk front og en sf?risk kropp. Disse dataene ble rekonstruert numerisk og beregnet av forskere ved NASA. Rapporten er tilgjengelig her.
N?r det er snakk om den relative hastigheten objektet har til lufta rundt, s? vil det i v?rt tilfelle v?re hastigheten til romskipet og landingsfart?yet i forhold til atmosf?ren. Atmosf?ren vil ogs? ha en hastighet, som vi vil tiln?rme ? v?re konstant. For ? regne ut hastigheten til atmosf?ren, heretter kalt \(\vec{w}\), bruker vi formelen for vinkelhastighet, gitt ved
\(\begin{align} \vec{\omega}=\vec{r}\times\vec{v}_T \end{align}\)
hvor \(\vec{r}\) er posisjonsvektoren og \(\vec{v}_T\) er den tangentielle komponenten til hastigheten. Vi bruker polare koordinater i et xyz-plan. Vi bruker enhetsvektorene \(\hat{\textbf{e}}_r\) for radiell retning, og \(\hat{\textbf{e}}_\theta\) for retningen normalt p? radiell retning. Den siste enhetsvektoren er den samme som for et kartesisk koordinatsystem, alts? \(\hat{\textbf{e}}_z\). Dette gj?r at posisjonsvektoren n? ser slik ut:
\(\begin{align} \vec{r}=r\,\hat{\textbf{e}}_r \end{align}\)
Her er \(r=|\vec{r}|\) lengden til vektoren. Dere ser kanskje at posisjonsvektoren ikke inneholder hverken \(\theta\)- eller z-komponent? Det er fordi disse komponenten er normal p? posisjonsvektoren. Hvis du skal peke p? en gjenstand p? bordet foran deg, trenger du bare ? peke i én retning. Det er det som er radiell retning i dette systemet. Med denne notasjonen kan dere se at \(\vec{v}_T=\vec{w}\), siden atmosf?ren har hastighet vinkelrett p? den radielle retningen. Merk ogs? at det er den greske bokstaven omega som betegner vinkelhastighet, og dobbel-v som betegner atmosf?rens hastighet.
Hvis dere har tatt R-matte, s? ser dere kanskje at vinkelhastigheten er et kryssprodukt. Og hvis dere fulgte med, vet dere vel at et kryssprodukt av to vektorer som ikke er parallelle vil gi en tredje vektor som st?r vinkelrett p? begge to? Det vil si at, for eksempel, kryssproduktet mellom enhetsvektorene \(\hat{\textbf{e}}_x\) og \(\hat{\textbf{e}}_y\) i det kartesiske koordinatsystemet, vil gi den tredje enhetsvektoren \(\hat{\textbf{e}}_z\). Disse st?r alle tre vinkelrett p? hverandre, og dermed utsepenner hele det tredimensjonale rommet vi befinner oss i.
Tilsvarende blir det for vektorene \(\hat{\textbf{e}}_r\), \(\hat{\textbf{e}}_\theta\) og \(\hat{\textbf{e}}_z\). Hvis vi krysser to av dem, f?r vi den tredje. Men husk at tilsvarende for x, y og z, som gir positivt fortegn dersom man krysser i akkurat den rekkef?lgen, vil v?re nye enhetsvektorer ogs? gj?re det samme. N? til selve regningen. Vi kan forskyve uttrykket vi har for vinkelhastighet, som gir
\(\begin{align} \vec{w}&=\vec{\omega}\times\vec{r}\\ &=\omega\,\hat{\textbf{e}}_z\times r\,\hat{\textbf{e}}_r\\ &=\omega r(\hat{\textbf{e}}_z\times\hat{\textbf{e}}_r)\\ &=\omega r\,\hat{\textbf{e}}_\theta \end{align}\)
Som dere kanskje husker, s? vet vi hva vinkelfarten \(\omega\) til planeten er, nemlig \(\frac{2\pi}{T}\), hvor \(T\) er rotasjonsperioden (~11.2 jorddager). Dette er ikke et veldig overraskende resultat, ettersom at vi har antatt at atmosf?ren roterer jevnt med planeten. For at dette skal v?re mulig, m? hastigheten ?ke lenger ut fra overflaten. Vi vet at hastigheten til romskipet vil v?re \(\vec{v}=v_r\hat{\textbf{e}}_r+v_\theta\hat{\textbf{e}}_\theta\). Hvis romskipet flyr langs med atmosf?rens hastighet vil den relative hastigheten v?re positiv dersom romskipets hastighet er st?rre enn atmosf?rens, og tilsvarende negativ dersom hastigheten er mindre. Alts? finner vi den relative hastigheten \(\vec{v}_\text{drag}\) som f?lger.
\(\begin{align} \vec{v}_\text{drag}&=\vec{v}-\vec{w}\\ &=v_r\hat{\textbf{e}}_r+v_\theta\hat{\textbf{e}}_\theta-\omega r\,\hat{\textbf{e}}_\theta\\ &=v_r\hat{\textbf{e}}_r+(v_\theta-\omega r)\hat{\textbf{e}}_\theta\\ &=v_r\hat{\textbf{e}}_r+\bigg(v_\theta-\frac{2\pi}{T}r\bigg)\hat{\textbf{e}}_\theta \end{align}\)
P? Figur 2 har vi pr?vd ? illustrere hva som vil skje med den relative hastigheten. F?rst kommer romskipet inn i atmosf?ren med en hastighet \(\vec{v}\). Atmosf?ren har sin egen hastighet \(\vec{w}\) som er avhengig av h?yden over bakken. Den relative hastigheten f?r vi ved ? trekke atmosf?rens hastighet fra romskipets. Dette er fors?ksvis illustrert ved den bl? stiplede linjen i figuren. Deretter m? vi passe p? ? snu vektoren \(\vec{v}_\text{drag}\), for den skal virke mot bevegelsesretningen. Etter hvert som romskipet faller mot bakken vil den relative hastigheten til atmosf?ren bli mindre og mindre, f?r den tilslutt er null. Dette skjer fordi luftmotstanden vil bremse romskipet i tangentiell retning.
Merk at \(\vec{v}_\text{drag}\) ikke er det samme som luftmotstand. Denne vektoren viser bare den relative hastigheten romskipet har til atmosf?ren. Egentlig vil den peke motsatt vei av det vi har gjort i Figur 2, men det vil v?re det samme om vi gj?r det n? eller senere.
S? til sp?rsm?let vi stilte i introduksjonen: vil romskipet akselereres kontinuerlig s? lenge det ikke treffer noe? Det korte svaret er nei. Vi kan angripe dette problemet rent matematisk. Vi vet fra Newtons andre lov at summen av krefter som virker p? et objekt er lik objektets masse ganger dens akselerasjon. Etter at romskipet har falt s?pass lenge at det ikke lenger har noen tangentiell hastighetskomponent, vil det i praksis falle rett ned mot bakken. Kreftene som da virker i radiell retning er luftmotstanden og gravitasjonskrafta. I likningen for luftmotstand kan dere se at den er avhengig av st?rrelsen til \(\vec{v}_\text{drag}\). Det vil si at p? ett eller annet tidspunkt vil denne krafta v?re like stor som gravitasjonskrafta, men motsatt rettet. Hva betyr dette? Jo, fra Newtons f?rste lov kan vi da konkludere med at romskipet beveger seg med konstant fart langs en rett linje. Denne konstante hastigheten et legeme som faller i et fluid (fancy ord for sammensetning av stoffer) kalles terminalhastighet. S? lenge dette legeme kan falle fritt, vil det alltid n? en maksimal hastighet. Vi kan regne ut hva denne blir for romskipet v?rt, i radiell retning.
\(\begin{align} \Sigma F_r&=0\\ F_d-F_G&=0\\ F_d&=F_G\\ \frac{1}{2}\rho\,C_dA\,v_T^2&=mg\\ v_T&=\sqrt{\frac{2mg}{\rho\,C_d\,A}} \end{align}\)
Dette er alts? den maksimale hastigheten romskipet kan oppn? mens det faller gjennom atmosf?ren. Merk at tettheten vil variere ut ifra hvor h?yt over bakken vi befinner oss. Vi kan ogs? l?se denne likningen for hvilket areal vi trenger p? fallskjermen. Det blir
\(\begin{align} A=\frac{2mg}{\rho\,C_d\,v_T^2} \end{align}\)
Anta at vi er n?rme bakken. For ? utf?re en s?kalt soft landing, er maksimal fart i radiell retning 3 m/s. Veldig n?rme bakken vil tettheten v?re omtrent \(\rho=\rho_0=1.04\,kg/m^3\). Massen til landingsfart?yet er 90 kg, og gravitasjonsakselerasjonen er
\(\begin{align} g&=\frac{\gamma M_p}{R_p^2}\\ &=\frac{6.674\cdot10^{-11}m^3kg^{-1}s^{-2}\cdot1.658\cdot10^{23}kg}{(1.862\cdot10^6m)^2}\\ &\approx3.2\,m/s^2 \end{align}\)
Vi l?ser likningen for ? se hvilket areal vi trenger p? fallskjermen for ? utf?re en soft landing.
\(\begin{align} A&=\frac{2\cdot90\,kg\cdot3.2\,m/s^2}{1.04\,kg/m^3\cdot(3\,m/s)^2}\\ &=\frac{576\,kgm/s^2}{9.36\,kg/(ms^2)}\\ &\approx61.5\,m^2 \end{align}\)
Dette gir en grei pekepinn p? hvor stor fallskjerm vi trenger.
I neste innlegg skal vi pr?ve ? simulere hvordan landingen vil foreg?. Vi tar med oss de verdiene vi har funnet her, og forh?pentlig vis vil vi klare ? faktisk lande p? planeten. Hei, s? lenge!