Atmosf?riske differensiallikninger
Vi skal n? bygge v?r egen atmosf?re, basert p? det vi fant ut i forrige innlegg. Vi kom frem til at vi litt surt og motvillig m?tte modellere en atmosf?re som best?r av \(100\%\;CH_4\), som vil v?re den letteste sammensetningen av atmosf?re vi kan f?. Det blir kanskje ikke s? vanskelig i dette tilfellet, men vi trenger ? kjenne til den midlere molekylvekten i atmosf?ren v?r. La oss ta en kjapp introduksjon:
Midlere molekylvekt
Midlere molekylvekt \(\mu\) er et massem?l p? massen vi har i atmosf?ren v?r. Den m?les som et slags gjennomsnitt over hydrogenmassen \(m_H = 1.67\cdot10^{-27}kg\). Med andre ord m?ler vi hvor mye masse vi har av hver gass pr. hydrogenmasse. En litt mer matematisk beskrivelse av det ser slik ut:
\(\begin{align*} \mu = \sum_{i}f_i\frac{m_i}{m_H} \end{align*}\)
der \(f_i\) er prosentvis andel av mengde gass i atmosf?re (m? variere mellom 0 og 1, og summere til 1) og \(m_i\) er massen til et eller annet gassmolekyl, f.eks \(H_2O\). For ? gi deg et eksempel kan vi skrive ned den midlere molekylvekten til en atmosf?re som best?r av \(30\%\;H_2O\), \(30\%\;O_2\), \(20\%\;CH_4\) og \(20\%N_2O\). Da vil midlere molekylvekt se slik ut:
\(\begin{align*} \mu = \sum_{i}f_i\frac{m_i}{m_H} &= 0.3\frac{m_{H_2O}}{m_H} + 0.3\frac{m_{O_2}}{m_H} + 0.2\frac{m_{CH_4}}{m_H} + 0.2\frac{N_2O}{m_H} \\ &= 0.3\frac{2m_H + 16m_H}{m_H} + 0.3\frac{2\cdot16m_H}{m_H} + 0.2\frac{12m_H + 4m_H}{m_H} + 0.2\frac{2\cdot14m_H + 16m_H}{m_H} \\ &= 0.3\cdot18 + 0.3\cdot32 + 0.2\cdot16 + 0.2\cdot44 \\ &= 27 \end{align*}\)
som gir oss en midlere molekylvekt p? 27 (antatt da at massen til hydrogen er \(m_H = m_p = m_n\) som er proton og n?ytronmassen). Dersom vi gj?r dette p? v?r atmosf?re vil vi f? at
\(\mu = \frac{m_{CH_4}}{m_H} = \frac{12m_H + 4m_H}{m_H} = 16\)
Dermed vet vi n? at vi har en midlere molekylvekt p? 16 for atmosf?ren v?r, som best?r av \(100\%\) metangass \(CH_4\).
Antakelser for atmosf?remodellen
Det passer godt n? ? introdusere hva slags antakelser og forenklinger vi kommer til ? gj?re n?r vi skal modellere atmosf?ren. Det vil v?re f?lgende:
- Vi antar at atmosf?ren er uniform. I v?rt tilfelle ville ikke dette blitt et problem uansett siden gassen allerede er uniform, men dersom vi hadde hatt f.eks \(20\%\) karbondioksid i atmosf?ren, hadde det da v?rt \(20\%\) karbondioksid i hvert eneste punkt i atmosf?ren.
- Vi antar ogs? at atmosf?ren er sf?risk symmetrisk, som vil si at vi antar at tetthet avtar likt i alle retninger, trykk avtar likt i alle retninger, og temperatur avtar likt i alle retninger radielt ut fra atmosf?ren. Med andre ord er tettheten \(\rho = \rho(r)\) der r er avstanden ut til et punkt i radiell retning. Symmetrien impliserer ogs? at det kun er i radiell retning atmosf?ren endrer seg, og ikke langs ekvator eller polene.
- Vi antar at atmosf?ren er i hydrostatisk likevekt, som betyr at denne likningen her er oppfylt: \(\frac{dP}{dr} = -\rho(r)g(r)\). Dette betyr bare at atmosf?ren har stabilisert seg.
- Vi antar at gassen i atmosf?ren er en ideell gass, som betyr at denne likningen her er oppfylt: \(P = nkT = \frac{\rho kT}{\mu m_H}\) (ideell gass-lov). Om du ikke husker hva en ideell gass er kan du lese om der her.
- Vi antar at atmosf?ren er adiabatisk for h?yder til der \(T=\frac{T_0}{2}\), og isoterm etter det. At atmosf?ren er adiabatisk betyr det at vi har et forhold mellom trykk og temperatur som sier at \(P^{1-\gamma}T^{\gamma} = konstant\). Der atmosf?ren er isoterm betyr det at temperaturen \(T\) konstant er \(T = \frac{T_0}{2}\). Dette er termodynamiske gassegenskaper jeg ikke kommer til ? g? noe s?rlig i dybden p?.
- Vi antar at gravitasjonen \(g(r) = g\) i hele atmosf?ren. Mens dette kan virke litt bold, s? endres faktisk ikke gravitasjonen seg s?rlig kritisk ut i atmosf?ren. Dersom vi regner ut \(g(r) = \frac{GM}{r}\) ved overflaten f?r vi \(g = 3.17m/s^2\), mens \(100km\) over overflaten gir oss \(g=2.85m/s^2\), som ikke er helt h?rreisende. \(100km\) over overflaten p? jorda kalles for Kármán-linjen, som kan brukes til ? definere linjen mellom atmosf?re og det ytre rom (i alle fall p? Jorda). Det er derfor ikke en helt dum sammenlikning av gravitasjon ved overflate og 100km over overflaten, og konstant \(g\) eller er heller ikke s? dumt i forhold til hvor mye enklere det blir ? l?se modellen.
Med alle antakelsene i boks er vi klare til ? begynne ? modellere atmosf?ren. Vi har tenkt til ? l?se dette analytisk, og dette er mye stygg matematikk som jeg ikke kommer til ? skrive ned i bloggposten her. Derimot skal jeg linke til en PDF-fil, der de som er interessert i ? lese utledningen kan gj?re det. Jeg kan likevel forklare idéen her:
Vi skal bruke antakelsene og forenklingene v?re til ? f? satt opp differensiallikninger, som vi kan l?se analytisk. Vi starter med isoterm siden den er enklest, og bruker ideell gass-lov til ? finne tettheten og trykket i atmosf?ren ved ? sette opp en differensiallikning med likningen for hydrostatisk likevekt.
Den adiabatiske delen er litt mer komplisert, men p? samme vis. Vi bruker det adiabatiske forholdet mellom temperatur og trykk, ideell gass-lov og likningen for hydrostatisk likevekt, setter opp differensiallikninger, sjonglerer med litt matematikk og finner tettheten, temperaturen og trykket i atmosf?ren. Full matematisk utledning kan du finne i linken nedenfor:
Modellere atmosf?re - analytisk l?sning PDF - nedlastning
Likninger, resultater og plott
Jeg kan gjenta resultatene fra PDF-filen av l?sningene p? modellen, slik at vi har likningene foran oss:
\(\begin{align*} T_{isoterm} &= \frac{T_0}{2} \\\\ P_{isoterm} &= K_1gC_0e^{-\frac{r}{K_1}} \\\\ \rho_{isoterm} &= C_0e^{-\frac{r}{K1}} \\\\ T_{adiabatisk}(r) &= A^{\frac{1}{\gamma}}\left[\left(\frac{1-\gamma}{\gamma}\right)\cdot(A^{-\frac{1}{\gamma}}K_0gr + C)\right] \\\\ P_{adiabatisk}(r) &= \left[\left(\frac{1-\gamma}{\gamma}\right)\cdot(A^{-\frac{1}{\gamma}}K_0gr + C)\right]^{\frac{\gamma}{\gamma - 1}} \\\\ \rho_{adiabatisk}(r) &= A^{-\frac{1}{\gamma}}\left[\left(\frac{1-\gamma}{\gamma}\right)\cdot(A^{-\frac{1}{\gamma}}K_0gr + C)\right]^{\frac{1}{\gamma - 1}}\cdot K_0 \\\\ A &= T_0\left(\frac{\rho_0}{K_0}\right)^{1-\gamma}\\ C &= T_0A^{-\frac{1}{\gamma}}\left(\frac{\gamma}{1-\gamma}\right) \\ C_0 &= A^{-\frac{1}{\gamma}}\left[\left(\frac{1-\gamma}{\gamma}\right)\cdot(A^{-\frac{1}{\gamma}}K_0g\left(\frac{T_0}{2K_0g}\left(\frac{\gamma}{1-\gamma}\right) - \frac{CA^{\frac{1}{\gamma}}}{K_0g}\right) + C)\right]^{\frac{1}{\gamma - 1}}\cdot K_0 e^{\frac{T_0}{2K_0K_1g}\left(\frac{\gamma}{1-\gamma}\right) - \frac{CA^{\frac{1}{\gamma}}}{K_0K_1g}} \\ &= \rho_{adiabatisk}(r_s)e^{\frac{r_s}{K_1}} \\ r_s &= \frac{T_0}{2K_0g}\left(\frac{\gamma}{1-\gamma}\right) - \frac{CA^{\frac{1}{\gamma}}}{K_0g} \\\\ K_1 &= \frac{kT}{\mu g m_H} \\\\ K_0 &= \frac{\mu m_{H}}{k} \end{align*} \)
Der alle konstanter \(K_0,\;K_1,\;A,\;C,\;C_0\) er kjent fra kjente verdier \(\rho_0,\;T_0,\;\mu,\;m_H,\;k,\;\gamma\). Resultatet vi f?r dersom vi plotter atmosf?reprofilen v?r for de f?rste \(100km\) med verdiene:
| \(\rho_0\) (tetthet ved overflaten) | \(1.048kg\;m^{-3}\) |
| \(T_0\) (temperatur ved overflaten) | \(249.034K\) |
| \(\mu\) (midlere molekylvekt) | \(16.000\) |
| \(m_H\) (hydrogenmasse) | \(1.673\cdot10^{-27}kg\) |
| \(k\) (Boltzmann konstant) | \(1.380 \cdot 10^{-23}m^2kg\;s^{-2}K^{-1}\) |
| \(\gamma\) (adiabatisk konstant) | \(1.400\) |
ser slik ut:
MERK: Det er verdt ? nevne for tydelighetens skyld at \(r=0\) her er definert som overflaten til planeten, og ikke sentrum av planeten.
Det f?rste vi merker er at de avtar radielt ut fra overflaten til planeten og ut mot verdensrommet, som lyder veldig bra. Atmosf?ren blir jo tynnere og kaldere ut mot verdensrommet. Vi kan tolke fra grafen at p? ca. \(70km\) ut p? plottet f?r vi en knekk (mest synlig i temperaturplottet), som er der vi skifter fra adiabatisk atmosf?re til isoterm atmosf?re. Til sammenlikning kan vi jo se p? den tyngste komposisjonen av atmosf?re, som ville v?rt \(100\%\;N_2O\):
Her skifter atmosf?ren mye tidligere mellom adiabatisk atmosf?re til isoterm atmosf?re (omtrent ved \(25km\)). Det ser ut som at b?de tetthet, trykk og temperatur er forskj?vet lenger ned mot overflaten, som ogs? er en bra ting for modellen v?r siden gassen er tyngre og vil trekkes lenger ned av gravitasjonskreftene fra planeten som f?rer til h?yere tetthet lavere ned mot overflaten. De lettere gassene derimot trekkes ikke like mye av gravitasjonen, og legger seg derfor mer spredt h?yere opp i atmosf?ren slik som modellen v?r viser.
Har antakelsene og forenklingene v?re gitt oss en tullete atmosf?re?
Resultatene er utledet analytisk, s? feilene i svarene v?re ligger i alle fall ikke numerisk. Likevel har vi gjort noen antakelser som kan gj?re at atmosf?remodellen v?r ikke stemmer helt overens med virkeligheten. Det f?rste jeg kan nevne er temperaturen, som er satt til ? v?re konstant lengst ut i atmosf?ren. Dersom vi beveger oss uendelig langt ut vil temperaturen fortsatt v?re \(T = \frac{T_0}{2}\), som ikke stemmer ute i verdensrommet (som egentlig er lite interessant siden vi modellerer atmosf?re og ikke verdensrom). Det er likevel en annen ting vi har gjort som forenklet l?sningen v?r, men som ogs? har forfeilet den. Antakelsen om konstant gravitasjonsakselerasjon vil ha en p?virkning p? resultatet vi har f?tt. Slik som vi oppdaget tidligere har vi en \(g = 3.17m/s^2\) nede p? overflaten ved \(r=0\), og \(g=2.85m/s^2\) i atmosf?ren ved \(100km\). For ? gj?re et ekstra m?l kan vi sjekke ved ISS-h?yde som er ca. \(410km\) opp i atmosf?ren, og vi f?r at \(g = 2.13m/s^2\). Som jeg nevnte tidligere er det ikke helt katastrofalt ? anta konstant gravitasjon, men definitivt noe som vil p?virke n?yaktigheten p? modellen opp mot virkeligheten. Jo lenger ut i atmosf?ren vi beveger oss, jo mer feil blir denne antakelsen, s? den passer best for lavere h?yder i atmosf?ren, men gir oss en grei modell vi kan bruke. Dermed er vi ferdige med ? bygge atmosf?remodellen, og vi bruker det vi n? har klart ? finne til ? simulere landinger for ? se om det finnes noe h?p for oss om ? overleve en landing p? denne underlige verdenen. Chiao, ses i neste innlegg!