En duell i verdensrommet

Introduksjon

To objekter beveger seg med den samme farten i den samme retningen. Begge to sender ut et lyssignal samtidig. Hvordan vil dette se ut for en observat?r som st?r stille? Hvis dette skjer samtidig i ett referansesystem, skjer det da samtidig i et annet? Hva avgj?r om ett system er forskjellig fra et annet? Vi skal unders?ke hvordan relativitet kan forklare hendelsesforl?pet, og kanskje vil du bli overrasket over hvordan en konstant st?rrelse tvinger universet til ? endre seg.

Situasjonen

Vi trenger et eksperiment som kan etterlikne problemet vi vil utforske. La oss bruke to romskip, en observat?r midt i mellom disse to og en observat?r p? planeten vi landet p? i det forrige innlegget. Vi utstyrer romskipene med hver sin laserkanon. Romskip 1 befinner seg til venstre, romskip 2 befinner seg en avstand \(L\) til h?yre. Begge romskipene og observat?ren i midten beveger seg i en rett linje mot h?yre med den samme farten \(v\), i forhold til planeten, som er i ro. Videre definerer vi to framer (fornorskning av det engelske ordet frame, som blir brukt om et referansesystem). Framen som f?lger romskipet har merkede koordinater: posisjonskoordinat \(x'\) og tidskoordinat \(t'\). P? planeten har vi et umerket system med koordinater \(x\) og \(t\). 

Definisjon av event: Et event er en hendelse som skjer i en gitt posisjon til en gitt tid.

Vi definerer fire eventer. Event A er at romskip 1 skyter sin laserstr?le mot romskip 2 i posisjon \(x'=x=0\) ved tiden \(t'=t=0\). Event B er at romskip 2 skyter laserstr?len sin mot romskip 1. Event C er at romskip 1 blir truffet av str?len fra romskip 2, og event D er at romskip 2 blir truffet av str?len fra romskip 1. Det siste eventet kaller vi event M, og det er n?r observat?ren i midten ser begge laserstr?lene i sin posisjon. Vi sammenfatter eventene i denne tabellen:

Her er det muligens en del ting som trenger forklaring. La oss begynne med ? si at vi regner med naturlige enheter. Fra SI-enheter, vet vi at hastighet har enhet m/s. Vi ?nsker ? skrive alle hastigheter som fraksjoner av lyshastighet. Hvordan finner vi s? farten i naturlige enheter? Jo, vi deler p? lysfarten. Siden m/s delt p? m/s er lik 1, s? blir fart n? dimensjonsl?st. Siden vi i v?rt eksperiment opererer med laserstr?ler, er det hensiktsmessig ? bruke naturlige enheter, siden lysfarten n? er 1. Det vil si at lengden lyset har reist \(t\), vil v?re \(t\). Vi m?ler avstand i sekunder! Lysfarten blir dermed den samme for alle observat?rer, og det er konsist med Einsteins 2. postulat. 

Definisjon av samtidighet: To eventer er samtidige dersom de skjer ved samme tid i ett og samme referansesystem.

Vi ser p? event M. Fra definisjonen av samtidighet, kan vi konkludere med at event A og B er samtidige for denne observat?ren, siden hun er i den samme framen som romskipet. Men vil observat?ren observere eventene samtidig? Dette sp?rsm?let virker kanskje litt rart. Det vi sp?r om her er om event A og B vil bli observert samtidig for en observat?r midt i mellom dem. Hvis observat?ren ikke befant seg i midtpunktet, ville lyset ha lenger vei ? reise fra det ene eventet enn fra det andre. Dermed observerer ogs? midtpunktobservat?ren begge eventene samtidig. Dette m? ogs? v?re faktum for planetframen! Alts? at begge laserstr?lene vil befinne seg i midtpunktet samtidig. Husk at vi definerte et event som en hendelse som har en posisjon og et tidspunkt. Det at en observat?r kan si at hun s? begge str?lene i ett punkt, betyr at det eventet m? ha skjedd. N?r det skjedde er derimot ikke n?dvendigvis det samme for alle observat?rer.

N? skal vi se hva som skjer i planetframen. Det er her det blir vanskelig. Siden vi har etablert at event M er at begge laserstr?lene befinner seg midt mellom de to romskipene i begge framene, hva har det da ? si for hendelsesforl?pet sett fra planeten? Ettersom at lysets hastighet er konstant for alle observat?rer, og at romskipene og observat?ren i mellom dem beveger seg med en hastighet relativt til planeten, som befinner seg i ro, vil midtpunktet hele tiden bevege seg mot laserstr?len som romskip 2 skyter ut, og vekk fra str?len fra romskip 1. Klarer dere ? se det for dere? 

Til h?yre ser dere en figur som illustrerer situasjonen fra start til event M. Dere ser at romskipene forblir i sine posisjoner gjennom hele situasjonen, og event A og B skjer samtidig. Lyset n?r frem til midtpunktet likt.

Hvordan vil dette se ut for planetframen? Husk at da har romskipene og midtpunktet en hastighet langs x-aksen, som gj?r at hendelsene forl?per forskjellig fra romskipframen. La oss se p? hvordan dette kan se ut for en observat?r som befinner seg i planetframen.

I figur 2 kan dere se hvorfor event B m? skje senere enn event A. Midtpunktet, og dermed m?tepunktet for de to str?lene beveger seg mot romskip 2. Lyset m? dermed reise en kortere lengde, s? tiden det vil ta blir mindre. Dermed vil en observat?r p? planeten observere at event B skjer etter event A! Hvis de hadde skjedd samtidig, ville det implisert to ting: enten s? hadde observat?ren i midtpunktet ikke kunne ha sett begge str?lene m?tes i hennes posisjon, eller s? hadde laserstr?len fra romskip 1 hatt st?rre fart enn str?len fra romskip 2. Siden laserstr?ler jo er lys, s? ville det betydd at lysfarten hadde endret seg. Dette motstrider Einsteins 2. postulat, og m? derfor forkastes. (Den egentlige grunnen til at dette m? v?re feil er at det finnes empirisk forskning som tilsier at lysfarten m? v?re konstant, heller enn at Einsteins postulater m? tas for gitt.) Merk at koordinatene ikke n?dvendigvis stemmer, men er bare satt der for ? gi dere et bilde av hvordan det vil se ut. Vi skal komme grundigere tilbake til de faktiske koordinatene senere.

Hva kan vi s? si om det som skjer videre? Etter at str?lene har m?ttes i midtpunktet, beveger romskip 1 seg mot str?len fra romskip 2, og tilsvarende beveger romskip 2 seg vekk fra romskip 1. Det er da tydelig at romskip 1 vil eksplodere f?r romskip 2. I romskipframen skjer event A og B samtidig, og C og D skjer samtidig. Men i planetframen skjer f?rst A, s? B, s? C og til slutt D. Dette virker rart! Dere er vel enige i at dette m? stemme, siden lysfarten er konstant i begge framene? Det er intuisjonen v?r som blir satt p? pr?ve.

N? skal vi g? litt dypere i dette. Vi skriver bevegelseslikningene for posisjonene i planetframen til romskip 1, \(x_1\), observat?ren i midtpunktet, \(x_M\) og laserstr?len skutt fra romskip 1, \(x_{L1}\).

\(\begin{align} x_1(t)&=v(t-t_A)\\ x_M(t)&=L/2+v(t-t_A)\\ x_{L1}(t)&=t-t_A \end{align}\)

Som dere ser, s? vil alle posisjonene v?re som i tabellen over ved \(t=t_A\). Vi vet at ved tiden \(t_M\), s? er posisjonen til laserstr?len fra romskip 1 den samme som posisjonen til midtpunktet. Vi l?ser derfor likningen \(x_{L1}(t_M)=x_M(t_M)\).

\(\begin{align} t_M-t_A&=L/2+v(t_M-t_A)\\ t_A&=t_M-\frac{L}{2(1-v)} \end{align}\)

Hva kan vi s? si om \(t_A\)? Vi har definert origo-eventet til ? v?re event A. Alts? eventet der begge framene har tid og posisjon lik 0. Dermed kan vi se at tiden for event M er 

\(\begin{align} t_M=\frac{L}{2(1-v)} \end{align}\)

Ser dere at tiden det tar f?r laseren fra romskip 1 n?r midtpunktet er st?rre enn tiden det vil ta lys ? reise en lengde p? \(L/2\)? Det m? v?re slik, siden midtpunktet beveger seg vekk fra str?len.

For str?len skutt fra romskip 2 kan vi ogs? her bruke at ved tiden \(t_M\), vil str?len v?re i midtpunktet. Vi starter med ? endre likningen for \(x_M\), tiden \(t_A\) er null. 

\(\begin{align} x_M(t)&=L/2+vt\\ x_M(t_M)&=L/2+vt_M \end{align}\)

Vi vet at posisjonen til laseren fra romskip 2, \(x_{L2}\) vil v?re i \(x_M(t_M)\) ved tiden \(t_M\), og s? bevege seg i negativ x-retning. Dermed f?r vi 

\(\begin{align} x_{L2}(t)&=x_M(t_M)-(t-t_M)\\ &=L/2+vt_M+t_M-t \end{align}\)

Vi vet at n?r romskip 1 blir truffet av laserstr?len fra romskip to, vil posisjonene deres v?re de samme. Det vil si at ved tiden \(t_C\) vil \(x_1(t_C)=x_{L2}(t_C)\). VI bruker dette til ? finne et uttrykk for tiden til event C.

\(\begin{align} L/2+vt_M+t_M-t_C&=vt_C\\ t_C&=t_M+\frac{L}{2(1+v)} \end{align}\)

Dette viser tydelig at samtidighet er relativt. Alts?, hvis ett system har en fart relativt til et system som er i ro, s? vil tiden oppleves forskjellig, avhengig av hvilken frame man er i. La oss se hva tidsendringen er mellom event A og C i begge framene. 

\(\begin{align} \Delta t_{AC}&=t_C-t_A=t_M+\frac{L}{2(1+v)}-\bigg(t_M-\frac{L}{2(1-v)}\bigg)\\ &=\frac{L}{1-v^2}\\ \Delta t'_{AC}&=t'_C-t'_A=L-0=L\\ \frac{\Delta t'_{AC}}{\Delta t_{AC}}&=\frac{L}{\frac{L}{1-v^2}}=\frac{1}{1-v^2} \end{align}\)

Ser dette uttrykket kjent ut? Nesten? Hvis du synes det er noe som ser litt suspekt ut, kan vi avsl?re at det er suspekt. Dersom dere har h?rt om relativitetsteori f?r, s? har dere kanskje h?rt om Lorentzfaktoren. Den ser slik ut:

\(\begin{align} \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \end{align}\)

I naturlige enheter ser den slik ut: \(\frac{1}{\sqrt{1-v^2}}\). Det vi nesten har utledet n? kalles tidsdilatasjon. Det er noe som skjer n?r en frame har en fart relativt til et system i ro. For ? finne tiden m?lt i et system som er i ro, m? vi gange tiden m?lt i et system som beveger seg med Lorentzfaktoren. Men hvorfor fant vi ikke det riktige uttrykket? 

Dette skal vi ta ganske kort. Ettersom at tiden n? har blitt en romlig st?rrelse, kan vi ikke lenger betrakte den som bare et tall. Den er blitt et koordinat. P? samme m?te som du ville brukt Pythagoras' l?resetning for ? finne lengden av hypotenusen, m? du ogs? kvadrere tiden i relativitetsteorien. Husk at selv om \(a^2+b^2=c^2\), er ikke \(a+b=c\). Det er dette som har skjedd her. 

N? passer det godt ? vise dere et tideromdiagram. Det er et diagram som har posisjon p? den ene aksen, og tid p? den andre. Vi lar aksene v?re vinkelrett for systemet som er i ro, og systemet i bevegelse v?re skvist sammen mot den linja som g?r i f?rtifem grader opp fra x-aksen (tilsvarende linja \(y=x\)). Denne linja representerer lysfarten. I v?r situasjon har vi eventer som skjer samtidig i det merkede systemet (romskipframen). Vi legger diagrammene opp? hverandre og kan trekke linjer fra eventene til det umerkede systemet (planetframen). 

I figur 3 til h?yre kan dere se at alle eventene er plottet inn. Vi kan umiddelbart merke oss at observat?ren i midtpunktet, som vi tidligere argumenterte for at m?tte observere at lyset krysset henne samtidig i begge framene, fortsatt har rett. Vi har ogs? at origo-eventet er event A. Fra tidsaksen i planetframen kan vi lett lese av hvilken rekkef?lge eventene skjer i. Vi ser ogs? at event A og B, og C og D skjer samtidig i romskipframen. Legger dere merke til hvorfor uttrykket v?rt for forholdet mellom \(\Delta t'_{AC}\) og \(\Delta t_{AC}\) ble feil? Gode, gamle Pythagoras nok en gang redder dagen. 

Konklusjon

Gitt Einsteins 2. postulat, at lysets hastighet er konstant for alle observat?rer, har vi funnet ut at samtidige hendelser i ett system ikke n?dvendigvis er samtidige i et annet. Det vil si, de er ikke samtidige dersom det ene systemet har en hastighet relativt til et annet. Vi har ogs? vist at tiden observeres forskjellig i de forskjellige systemene. Til slutt fant vi ogs? ut at siden tiden er et koordinat i relativitetsteori, m? vi kvadrere differansen for ? finne forholdet mellom tiden m?lt i forskjellige systemer.

Forrige innlegg <<                                                                             Neste innlegg >>