Introduksjon
I f?lge relativitetsteorien g?r en klokke saktere for en observat?r, jo st?rre fart den har. Det vil si at klokken for en observat?r som drar n?r lysfart vekk fra jorda vil g? saktere enn for en observat?r som blir st?ende igjen, i ro. Relativitetsprinsippet tilsier at begge observat?rene kan hevde at det er dem som st?r i ro, og den andre som har en fart. Paradokset oppst?r n?r man pr?ver ? angi hvilken alder de to har. Hvis de er tvillinger skal de v?re like gamle, men siden begge kan hevde at det var den andre som dro, kan ogs? begge hevde at det er dem selv som har blitt eldre enn den andre.
Hvem har rett? Dette sp?rsm?let har f?tt mange til ? gruble. Det finnes mange forklaringer, men bare en som stemmer. Det er denne vi skal finne i dette innlegget.
Situasjonen
Vi har tre planeter. Homey, Destiny og Beyond. Disse planetene har ingen relativ fart seg i mellom, og er derfor i den samme framen. (Hvis du trenger en oppfriskning i uttrykk som frame, event og samtidighet, trykk her for ? komme til forrige innlegg. Der kan du lese definisjonene av disse.) Avstanden mellom Homey og Destiny er like lang som mellom Destiny og Beyond, 200 lys?r (\(L_0\)). Astronauten Lisa sitter i sitt romskip Apollo-Out. Hun beveger seg med konstant fart, 0.99 c (99% av lysfarten) p? vei mot Destiny, f?r hun umiddelbart snur og reiser tilbake. I romskipet Apollo-In sitter Peter. Han reiser fra Beyond med samme fart som Lisa, mot Homey. Peter og Lisa vil v?re ved Destiny samtidig. I tabellen under definerer vi tre framer og fem eventer.
| Frame | Beskrivelse | Event | Beskrivelse |
|---|---|---|---|
| \((x,t)\) |
Planetframen. Homey er alltid i origo, med Destiny 200 ly unna langs x-aksen, og Beyond 400 ly unna langs x-aksen. |
A | Lisa drar fra Homey. |
| \((x',t')\) | Lisas frame. Lisa er alltid i origo i denne framen. | B | Lisa ankommer Destiny. |
| \((x'',t'')\) | Peters frame. Peter er alltid i origo i denne framen. | B' | I det samme ?yeblikket som Lisa ankommer Homey, ankommer en observat?r i Lisas frame \((x',t')\) Homey, leser av hva klokken der viser og sender et lyssignal for ? informere observat?ren p? Homey om at Lisa har n?dd Destiny. |
| D | Peter drar fra Beyond i retning Homey. | ||
| B'' | I det samme ?yeblikket som Peter ankommer Homey, ankommer en observat?r i Peters frame \((x'',t'')\) Homey, leser av tiden og sender et lyssignal for ? informere observat?ren p? Homey om at Lisa har kommet om bord i Peters romskip. | ||
Dere husker vel at alle eventer m? ha en posisjon og tid? De kommer her:
| Event | Posisjon | ||
|---|---|---|---|
| \((x,t)\) | \((x',t')\) | \((x'',t'')\) | |
| A | \((0,0)\) | \((0,0)\) | \((2L_0,0)\) |
| B | \((L_0,\frac{L_0}{v})\) | \((0,t'_B)\) | \((0,t''_B)\) |
| B' | \((0,\frac{L_0}{v})\) | \((x'_B,t'_B)\) | \((2L_0,t''_{B'})\) |
| D | \((2L_0,0)\) | \((2L_0,0)\) | \((0,0)\) |
| B'' | \((0,t_{B''})\) | \((x'_{B''},t'_{B''})\) | \((x''_{B''},t''_{B''})\) |
Dette er nok veldig forvirrende, men vi skal gj?re s? godt vi kan for ? forklare de ulike eventene. De posisjonene som ikke har verdier i seg er de vi forel?pig ikke vet hva er.
Metode
For ? l?se dette problemet trenger vi noen fysiske prinsipper og definisjoner.
Tidsdilatasjon
En observat?r som beveger seg med en fart \(v\) relativt til en annen observat?r, vil oppleve en tidsdilatasjon (forskyvning av tiden) gitt ved
\(\begin{align} \Delta t=\gamma \Delta t_0 \end{align}\)
hvor \(\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-v^2}}\) (Lorentzfaktoren). Merk at vi her bruker naturlige enheter, alts? er lysfarten c lik 1.
Lengdekontraksjon
En observat?r som m?ler et legeme med en fart \(v\) i forhold til seg, vil m?le en kortere lengde i bevegelsesretningen enn lengden legemet har n?r det er i ro. Den lengden m?lt i ro kalles \(\mathcal{L}_0\). Lengden m?lt av observat?ren blir da lengdekontrahert, gitt ved
\(\begin{align} \mathcal{L}=\frac{\mathcal{L}_0}{\gamma} \end{align}\)
Lorentztransformasjon
Forbindelsen mellom to referansesystemer som har en konstant fart \(v\) i forhold til hverandre, kalles Lorentztransformasjonen. Den er gitt ved
\(\begin{align} t'&=\gamma(t-vx)\\ x'&=\gamma(x-vt) \end{align}\)
hvor \(v\) er langs med x-aksen.
Tideromintervall
Avstanden mellom to eventer, sett fra ulike referansesystemer er den samme. Denne avstanden kalles tideromsintervallet og er lik for alle observat?rer. Vi finner intervallet slik:
\(\begin{align} \Delta s^2&=\Delta t^2-\Delta x^2\\ \Delta s'^2&=\Delta t'^2-\Delta x'^2\\ \Delta s^2&=\Delta s'^2 \end{align}\)
I v?r situasjon har vi god bruk for disse begrepene. Astronautene har konstant fart relativt til planetene. Det kommer til ? bli helt vesentlig ? bruke alle sammen i det videre arbeidet med problemene.
Problemene
F?rste problem
Vi starter med ? se p? hva tiden viser p? Homey fra Lisa drar til hun kommer tilbake. Husk at vi her har antatt at hun snur retning umiddelbart etter ? ha n?dd Destiny, og opprettholder s?ledes den samme farten hele veien. Homey er i ro i forhold til Lisa. Sett fra planetframen skal Lisa reise en distanse p? til sammen 400ly med en konstant fart p? 0.99 (lysfart har ingen enhet i naturlige enheter), for ? n? Destiny. Vi regner ut tiden ved hjelp av bevegelseslikningene for konstant fart, og finner at hun bruker 404 ?r p? hele reisen. P? klokka til Lise, sett fra Homey, vil tiden bli dilatert. Ved bruk av formelen for tidsdilatasjon, kan vi regne ut at Lisas klokke vil vise at den samme turen tok 57 ?r i Lisas frame.
Hva skjer s? om vi lar Lisas frame v?re i ro? Det vil se ut for Lisa som om hun st?r stille mens Homey forsvinner vekk og Destiny kommer mot henne, f?r det motsatte vil skje igjen, og hun er tilbake p? Homey. Nok en gang bruker vi formelen for tidsdilatasjon, med 57 ?r som tiden m?lt i det systemet som er i ro. Da f?r vi at klokka p? Homey viser 8 ?r! Dette er ikke samsvarende. Lisas tvilling p? Homey vil enten v?re 200 eller 8 ?r eldre, avhengig av hvilken frame vi ser p?. Det m? v?re noe som gj?r at de to systemene vi ser p? her, ikke har de samme egenskapene som vi har forventet! Velkommen til paradoksland.
Andre problem
Vi lar n? romskipet til Lisa og romskipet som observat?ren av event B' kj?rer i, v?re koblet sammen av en lang stang som ikke kan b?yes eller lignende.
I figur 1 ser dere hvordan event A, B og B' ser ut. Siden observat?ren i romskipet bak Lisa er koblet sammen med hennes, vil han ha samme fart som henne. Det tilsier at den relative farten er null, og de er da i samme frame. Tiden observat?ren leser av p? Homey-klokka kan vi finne ved Lorentztransformasjon. Den blir 4 ?r. Det som skjer videre er at observat?ren sender signalet som forteller Homey-observat?ren at Lisa har kommet fram til Destiny. Men i planetframen skal ikke dette skje f?r det har g?tt 202 ?r. Det har alts? ikke skjedd enda i planetframen. Tidligere, da vi lot Lisa st? i ro, regnet vi ut at turen én vei ville ta 4 ?r p? Homey. Dette er det samme som vi f?r n?, og grunnen til at det er slik er at avstanden Lise har reist i sin frame er kontrahert. Hun reiser en kortere avstand i sin frame enn i planetframen. Dette viser at samtidighet er relativt. (Trykk her for ? lese definisjonen av samtidighet).
Tredje problem
Tilsvarende stangen Lisa er festet til romskipet bak henne med, er Peter festet til romskipet foran seg. Det er det romskipet som er ved Homey n?r Peter er ved Beyond. Observat?ren der gir signal til Homey om at Lisa har kommet om bord i Peters romskip.
Selv om event B' og B'' skjer ved Homey, betyr ikke det at de skjer samtidig. Det kan se slik ut p? figur 2, men det er bare en illustrasjon av situasjonen.
Det som skjer n?r event B skjer, er at Lisa blir flyttet over i Peter sitt romskip umiddelbart. Deretter fortsetter de to turen tilbake mot Homey, uten at Peter bremser eller liknende.
Ved bruk av formelen for tideromavstand kan vi regne oss frem til at klokka til Peter i event B viser det samme som klokka til Lisa i event B. Dermed skjer dette samtidig i begge framene. Videre viser samme formel at observat?ren i event B'' leser av at klokka p? Homey viser at Peter har brukt 400 ?r p? ? reise til Destiny. Har dere skj?nt hva som skjer? Vi har etablert at i planetframen bruker Lisa 4 ?r p? ? n? Destiny. Det gj?r ogs? Peter. Lisa overf?res til Peters romskip, signalet sendes i event B'', og da viser klokka p? Homey 400 ?r.
L?sningen p? tvillingparadokset
Vi oppsummerer kronologisk: N?r Lisa drar fra Homey og Peter drar fra Beyond, starter alle klokkene sine. For observat?ren som st?r igjen p? Homey, bruker Lisa 202 ?r p? komme seg til Destiny. Etter 4 ?r kommer romskipet i Lisas frame til Homey og gir signal om at Lisa n? har n?dd Destiny. I neste ?yeblikk kommer romskipet fra Peters frame til Homey og signaliserer at Lisa n? har kommet seg over i hans romskip. Denne observat?ren leser da av klokka p? Homey, som viser at det n? har g?tt totalt 404 ?r. I l?pet av det "?yeblikket" har det rast av g?rde 400 ?r. Lisa har da brukt 396 ?r p? den "umiddelbare" overf?ringen til Peters romskip ved Destiny.
Misforst?elsen de fleste har er at de bruker den spesielle relativitetsteorien. Den er kun gyldig der referansesystemene har konstant relativ fart til hverandre. Det som faktisk skjer er at Lisa m? bremse (negativ akselerasjon) og snu, f?r hun akselererer opp til den gamle farten igjen, n? i motsatt retning. I akselererte systemer er det generell relativitet som gjelder. N?r Lisa s? returnerer til Homey vil klokkene deres v?re synkronisert igjen, og hennes tvilling vil v?re like gammel som henne. Det gjelder for begge klokkene.
Konklusjon
Vi har brukt tidsdilasjon, lengdekontraksjon, Lorentztransformasjon og tideromavstand til ? l?se tvillingparadokset. Hvis Lisa reiser fra Homey i 99 % av lysfarten til en annen planet f?r hun snur og kommer tilbake, vil hun ikke v?re yngre enn sin tvilling. Grunnen til dette er at relativitetsprinsippet om at begge referansesystemene kan hevde at det er de som er i ro, gjelder kun for systemer med konstant relativ fart i forhold til hverandre. N?r Lisa snur for ? reise tilbake, m? hun akselerere for ? f? til dette. Da vi antok at dette skjedde momentant, m?tte vi paradokset: klokkene viser forskjellig tid, og begge tvillingene er yngre enn den andre. Ved utregninger har vi vist at selve akselerasjonen har tatt 396 ?r. Med dette har Lisa eldes ekstremt fort p? kort tid. Klokkene vil vise det samme for Lisa som p? Homey n?r Lisa kommer tilbake.
I neste innlegg skal vi g? n?rmere inn p? generell relativitet, og pr?ve ? kvantifisere det som skjer n?r Lisa snur og reiser tilbake til Homey.