Innledning
I forrige innlegg leste dere om hvorfor tvillingparadokset egentlig ikke er et paradoks, men en feilaktig oppfattelse av hvordan relativitetsteorien fungerer. N? skal vi se n?rmere p? hvordan den generelle relativitetsteorien kan forklare hendelsesforl?pet.
Einsteins relativitetsteori dekker har to deler. Den spesielle og den generelle. For at den spesielle skal v?re gjeldende, m? objektet v?re unnlatt alle ytre krefter. Med en gang objektet befinner seg i et tyngdefelt, vil det virke krefter, og den spesielle delen av teorien sl?r inn. Vi skal unders?ke hvordan vi kan regne ved hjelp av den sistnevnte delen.
Situasjonen
Lisa reiser i romskipet sitt, Apollo-Out, fra Destiny. Hun bremser med en konstant negativ akselerasjon \(g=-0.1\,m/s^2\), m?lt i planetframen. Ved en tid, \(t_\text{turningpoint}\), er farten hennes 0, og hun begynner ? bevege seg tilbake mot Destiny igjen. (Klikk her for ? l
ese om situasjonen s? langt, og her for ? lese definisjonen av event og frame.)
Vi definerer to eventer. Event Y er en serie av eventer som skjer om bord p? Apollo-Out, ved tiden \(t_Y\). Event Y' er ogs? en serie av eventer som skjer simultant med event Y i romskipframen. Eventet er at en astronaut i et romskip som er koblet til Lisas romskip (og dermed er i romskipframen) er ved Homey og leser av tiden p? Homey-klokka.
Metode
Her bruker vi de samme metodene som i forrige del.
Diskusjon
Vi bruker formelen for tideromintervall til ? regne oss fram til at tiden \(t_{Y'}\) n?r romskipet Lisa sitter i har farten null, m? v?re den samme som \(t_Y\). Dette kunne vi ogs? bare ha argumentert for, siden i det Lisa n?r turningpoint, vil hun ha null relativ fart i forhold til planetframen, og dermed befinner de seg i det samme referansesystemet. For ? tydeligere visualisere hvordan tiden g?r, plotter vi tiden som g?r p? Homey m?lt i romskipframen, som en funksjon av tiden som g?r p? Homey, m?lt i planetframen.
Her ser vi at tiden plutselig gj?r en hopp etter ~200 ?r. Det er her Lisa begynner den negative akselerasjonen. Hun vil observere at tiden plutselig g?r mye fortere p? Homey-klokka enn f?r hun begynte ? akselerere. Tiden det tar Lisa ? n? turningpoint kan vi regne ut ved hjelp av formelen for tideromintervall, til ? v?re ca. 296 ?r, sett fra Homey. Da vi i forrige innlegg fant at Lisa etter 4 ?r var kommet fram til Destiny, i romskipframen, betyr dette at selve akselerasjonsfasen har tatt 292 ?r p? Homey. Siden vi tenker at bevegelsen til Lisa er symmetrisk etter turningpoint, akselererer hun like fort igjen etterp?, og f?r den samme farten n?r hun er tilbake ved Destiny som hun hadde da hun passerte f?rste gangen. Alts? m? hun ha observert at det har g?tt 292 ?r til p? Homey, ettersom at hun m?tte akselerere igjen for ? n? samme fart. Homey-klokka viser da at det har g?tt totalt 588 ?r innen hun har n?dd Destiny, p? vei tilbake til Homey.
Hvor gammel blir Lisa?
La oss se p? noen tall for ? finne ut av hvor mye Lisa eldes p? sin ferd. Vi lar tiden v?re \(T=0\) i event E, n?r Lisa har n?dd turningpont, og har null fart. Vi lar \(T\) v?re tiden m?lt i planetframen og \(T'\) v?re tiden m?lt i romskipframen. Her bruker vi tidsdilasjon til koble sammen tidspunktene \(\Delta T\) og \(\Delta T'\), og finner et uttrykk for farten \(v\), uttrykt ved \(T\). Vi summerer opp alle bidragene \(\Delta T\), og finner at Lisa har eldet 74.5 ?r under akselerasjonsfasen. Dette er alle resultatene vi har f?tt:
- Planetframen: Lisa brukte 296 ?r p? ? komme seg fra Homey til turningpoint, og 296 ?r tilbake fra turningpoint itl Homey. Total tid p? Homey-klokka blir 592 ?r.
- Romskipframen: Sett p? Lisa sin klokke i hennes frame, brukte hun 28.5 ?r fra Homey til Destiny, og 74.5 ?r under akselerasjonsfasen. Symmetrien i reisen gir at hun bruker like lang tid fram som tilbake. Total tid i Lisas frame, lest av p? hennes klokke blir 206 ?r.
- Observat?r i Lisas frame stasjonert ved Homey hele tiden: Denne observat?ren leser av p? Homey-klokka at det kun tar 4 ?r for Lisa ? komme seg til Destiny. I det Lia g?r inn i akselerasjonsfasen, raser tiden p? Homey-klokka av g?rde. Det g?r 292 ?r under denne fasen. Symmetrien gir igjen at total tid m?lt fra Lisas frame p? Homey-klokka er 592 ?r.
Konklusjon
Under akselerasjonsfasen bytter Lisa referansesystem like ofte som farten endres. For hver tid vil hun ha en fart som gir opphav til en tidsdilasjon. Dersom vi summerer alle disse sm? bidragene, finner vi ut at selve akselerasjonsfasen Lisa underg?r tar 149 ?r. Hele turen hennes, m?lt i hennes eget referansesystem tar 206 ?r, mens det p? Homey vil ta 592 ?r. Det som har v?rt misforst?tt som et paradoks, er at s? lenge Lisa er i et system med relativ fart og akselerasjon i forhold til et annet, vil tiden alltid vise forskjellig tid. Dette er veletablert i Einsteins relativitetsprinsipp. Dersom vi lar en observat?r som befinner seg i Lisas frame lese av tiden p? Homey, vil denne observat?ren lese av at tiden Lisa bruker p? sin reise er 592 ?r. Det vil si at Lisas tvilling vil v?re 592 ?r eldre n?r Lisa kommer tilbake til Homey enn da hun dro. Lisa p? sin side vil v?re 206 ?r eldre, men dette gjelder kun s? lenge Lisa er i bevegelse! De er alts? enige om sine respektive tidsm?linger, og dermed ikke et paradoks lenger.
Forrige innlegg << Nest innlegg >>