Momenergy - en utvidelse av det romlige konseptet
Vi alle vet det - momenergy h?res veldig dumt ut, og hvorfor skal jeg prate om dette? Dette har ingenting med romskip som krasjer ? gj?re? Men jo, det har det! S? bare heng med enn s? lenge, s? lover jeg at du ikke vil angre p? det ?. Hvor var vi? Ja, momenergy h?res veldig dumt ut, alternativt kan vi kalle det moment-energy, men det tar lenger tid ? skrive s? jeg dropper det. Men konseptet bak her er det som er viktig og interessant, p? tross av et *kremt* lite gjennomtenkt men ganske ?penbart valg av navn. Du er antakeligvis kjent med vektorer, gjerne p? formen
\(\vec{r} = (x, y, z)\) eller \(\vec{v} = (v_x, v_y, v_z)\)
dette er romlige vektorer, som lever i v?r romlige 3-dimensjonlale verden. Men Albert Einstein tenkte lenger enn du og meg. Hva om vi tar med den tid som den fjerde dimensjonen i rommet? Dersom vi skal m?le tiden sammen med de andre romlige dimensjonene, mente Einstein ogs? at det ikke ga mening ? representere tid p? en annen m?te en rommet. Det betyr at rom som er m?lt i avstand [m], og tid som er m?lt i sekunder [s], m? m?les i samme dimensjon. Dermed tenkte Einstein at vi kan m?le tid i meter! Spr?tt, sant? Vi g?r ikke inn p? fysikken, men ? transformere mellom tid og avstand kan vi gj?re slik:
\(t\;[m] = c\cdot t\;[s]\) (tid m?lt i meter)
\(x\;[s] = \frac{1}{c}\cdot x\;[m]\) (meter m?lt i tid)
der \(c\) er lysfart i vakuum, og klammene \([-]\) bare forteller om dimensjonen vi m?ler i. Det betyr at tid m?lt i sekunder er en faktor \(c\) st?rre enn tid m?lt i meter, og at avstand m?lt i meter er en faktor \(c\) st?rre enn avstand m?lt i tid. Merk n? at dersom vi m?ler i disse relativistiske enhetene der vi m?ler tid i avstand og avstand i tid, f?r vi for hastighet at
\(v = \frac{x\;[m]}{c\cdot t\;[m]} = \frac{1}{c}v\;[-]\)
hastigheten i relativistiske enheter er dimensjonsl?s! Det betyr at en rett og slett ikke har noen enheter! Da kan du endelig ta igjen for mattel?reren p? ungdomsskolen som spurte deg "4 hva? Fisk? Penger? Epler?" da du glemte ? oppgi enheten p? svaret etter ? ha rukket opp h?nda i timen for ? stolt svare p? mattestykket du naila. MERK ogs? at hastigheten n? varierer mellom \([-1,1]\) i de relativistiske enhetene, men den i SI-enheter varierer mellom \([-c,\;c]\). Vi hopper over et par relativistiske kapitler, og sniker oss inn p? det vi kaller 4-vektorer.
En 4-vektor har mange litt abstrakte og matematiske definisjoner og krav etc., men til syvende og sist er det en slags vektor med 4 komponenter (det er viktig ? peke ut at en 4-vektor ikke er det samme som en 4D-vektor, da en 4-vektor har noen krav den m? oppfylle som ikke vektorer har). Bruker vi det vi vet om avstander og tid i relativistiske enheter kan vi skrive opp posisjonen som en 4-vektor:
\(X_{\mu} = (t, x, y, z) = (t, \vec{r})\)
Vi er gjerne interessert i hastighet som 4-vektor ogs?, og ikke bare posisjon. Vi finner den ved ? derivere posisjonen med hensyn p? egentiden \(\tau\) til systemet vi ser p? (g?r ikke s? dypt inn p? det, men ? derivere 4-vektor-posisjonen med hensyn p? tid \(t\) her er ganske ulovlig n? som alt er relativt, men ikke de romlige dimensjonene p? innsiden av 4-vektoren). Da f?r vi
\(V_{\mu} = \frac{X_{\mu}}{d\tau} = \frac{dt}{d\tau}(\frac{dt}{dt},\frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt},\frac{dz}{dt}) = \frac{dt}{d\tau}(1, \vec{v})\)
MERK her at \(\frac{dt}{d\tau}\) er jo tidsdilatasjon fra likningen \(\Delta t = \gamma\Delta\tau\) der \(\gamma\) er Lorentz-faktoren. Dermed er jo \(\frac{\Delta t}{\Delta\tau} = \gamma\), og deltaene kan vi krympe uendelig sm? slik at \(\frac{dt}{d\tau} = \gamma\). Dermed f?r vi endelig for 4-vektor hastighet at
\(V_{\mu} = \gamma(1, \vec{v})\)
MERK Lorentz-faktoren er i SI-enheter \(\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \left(\frac{v}{c}\right)^2}}\), men er i relativistiske enheter \(\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2}}\).
Men hvorfor har jeg hentet denne st?rrelsen? Jeg har ikke enda snakket om momenergy? Vi kommer til det n?: vi tenker oss at masse \(m\) er en invariant st?rrelse, det betyr at alle observat?rer kan v?re enige om massen til et objekt. Alts? endrer ikke massen seg. Da kan vi gange den med 4-vektor som en vanlig skalar (som er lov men jeg har ikke bevist for dere at det er lov, LOL, ingen matematiske bevis av 4-vektor-operasjoner i dette innlegget ?????? ????) og vi kan skrive en 4-vektor bevegelsesmengde som
\(P_{\mu} = mV_{\mu} = (\gamma m, \gamma m\vec{v})\)
Vi har ofte l?rt at bevegelsesmengden \(m\vec{v}\) er bevart, men dette er REN SKJ?R L?GN!!! Det er \(\gamma m\vec{v}\)som er den bevarte st?rrelsen! (og den relativistiske bevegelsesmengden). Det bare viser seg at \(\gamma\approx 1\) for veldig lave hastigheter. Dermed er kanskje det at \(m\vec{v}\)er bevart ikke s? galt likevel. Hva med den andre komponenten i \(P_{\mu}\)? Dersom vi kj?rer en Taylorutvikling (siden Taylorutvikling ikke er vgs-pensum kan du lese om det p? denne linken om Taylor-rekker, men det er bare at vi skriver en funksjon som en sum av polynomer) av \(\gamma m\) til de to f?rste leddene (resten av leddene er s? sm? at de ikke betyr noe, s? vi ser bort ifra dem) f?r vi
\(\gamma m \approx m\color{red}{c^2} + \frac{1}{2}mv^2\)
som kanskje ser veldig kjent ut? \(\color{red}{c^2}\) er der bare for SI-enheter, s? jeg satte den der slik at det kanskje ser mer kjent ut (vi jobber oftest i naturlige enheter, noen ganger kaller jeg det relativistiske enheter av en eller annen grunn, men jeg mener da naturlige enheter). Det er viktig ? huske at i relativistiske enheter er \(c=1\), s? dermed skal vi ikke ha noen \(c\) n?r vi jobber i relativistiske enheter. Men du kjenner kanskje igjen leddet \(m\color{red}{c^2}\)? Dette er jo hvilemassen til et objekt, og \(\frac{1}{2}mv^2\) er den kinetiske energien. Dermed kan vi tolke og skrive leddet \(\gamma m\) som energien til objektet. Da f?r vi den endelige formuleringen som
\(P_{\mu} = (E,\;\vec{p})\)
der \(\vec{p}\) er den relativistiske bevegelsesmengden, og \(E\) er energien til objektet. Dette er det vi kaller for momenergy, som du kanskje skj?nner kommer fra moment og energy.
Momenergy for fotoner
Vi befinner oss p? referansesystemet til planeten, og n? som du har f?tt en vag beskrivelse av 4-vektorer og momenergy, er du 100% klar til ? ta p? momenergy for fotoner. Vi tenker oss f?rst at dette fotoner reiser kun i én retning, som er langs x-aksen. Da vil fotonet kun ha bevegelsesmengde i x-retning, alts? \(\vec{p} = (p_x,0,0)\). Dersom vi bruker egenskapene til momenergy kan vi utlede en viktig sammenheng:
\(P_{\mu}P^{\mu} = m^2V_{\mu}V^{\mu} = m^2\)
\(P_{\mu}P^{\mu} = E^2 - p^2\)
la meg kommentere et par ting: om vi har \(_\mu\) eller \(^{\mu}\) p? vektorene har noe med kontravarians og kovarians, som er ting dere ikke trenger ? bekymre dere over. En annen ting er at prikkproduktet mellom to 4-vektorer gj?res p? vanlig vis, med unntak om at det mellom tidsdimensjonen og den romlige dimensjonen skal fortegnet v?re negativt. Hvorfor er komplisert, men det betyr bare at siden energien \(E\) er i tidsdimensjonen og \(\vec{p}\) er i den romlige dimensjonen s? er prikkproduktet \(P_{\mu}P^{\mu}\) ikke \(E^2 + p^2\) som det ville v?rt for vanlige vektorer, men er i stedet \(P_{\mu}P^{\mu} = E^2 - p^2\). Det samme gjelder da for \(P_{\mu}P^{\mu} = m^2V_{\mu}V^{\mu}\), der vi har at
\(V_{\mu}V^{\mu} = \gamma^2 - \gamma^2v^2 = \gamma^2(1 - v^2) = \frac{\gamma^2}{\gamma^2} = 1\).
Dette gir oss en sammenheng mellom masse, energi og bevegelsesmengde, nemlig at
\(E = \sqrt{m^2 + p^2}\).
Siden fotoner er massel?se har de \(m=0\), og dermed f?r vi for fotoner at \(E = p\). Siden fotonet vi ser p? kun har en komponent i x-retning, vil \(p=p_x\), og dermed ogs? \(E = p_x\). Setter vi opp momenergy for fotonet har vi som tidligere vist:
\(P_{\mu}^\gamma = (E,\vec{p}) = (E, p_x, 0, 0)\)
og ved ? sette inn \(p_x = E\) inn i momenergy ovenfor f?r vi at momenergy for et foton som kun beveger seg langs x-aksen er
\(P_{\mu}^\gamma = (E, E, 0, 0)\)
der \(E\) er energien til fotonet.
Galaktisk eksplosjon - fotonbombe
N? kommer vi endelig til den g?yale delen, n? som jeg har torturert dere med dette momenergy-vaset. Vi har n? to romskip som flyr over planeten v?r, som vist p? forsidebildet i toppen av innlegget. Det ene romskipet er laget av materie, og det andre er laget av antimaterie. Hvilket av dem som er laget av hva er uviktig. Vi lar romskipet helt til venstre v?re romskip A, og romskipet helt til h?yre v?re romskip B. Vi velger ? se alt sammen fra planeten, slik at vi tenker at vi er en observat?r som st?r p? planeten og observerer alt som skjer ute i verdensrommet. Disse to romskipene flyr mot hverandre i ekstremt h?y fart langs x-aksen, der hvor farten til A er \(v_A\), farten til B er \(v_B\), og \(v_B = -v_A\), alts? like stor og motsatt rettet, sett i referansesystemet til planeten. Siden skipene er antatt helt identiske, og det ene er materie og det andre antimaterie, tenker vi oss at absolutt all materien annihilerer (alts? nuller hverandre ut og blir til energi) og blir omgjort til energi i en stor eksplosjon.
Det som skjer n?r antimaterie og materie annihilerer er at det dannes fotoner, som sprer seg i alle mulige retninger. Vi kj?rer n? en liten tanke, der vi tenker oss at det kun er to fotoner som dannes, og f?r all energien fra eksplosjonen. Vi bruker n? bevaring av momenergy i et lite argument for at fotonene m? ha samme energi, og v?re motsatt rettet:
Vi starter med ? innf?re et par ting:
\(P_{\mu}(A)\) momenergy til romskip A
\(P_{\mu}(B)\) momenergy til romskip B
\(P_{\mu}^\gamma(A)\) momenergy til foton som dannes fra materie i skip A
\(P_{\mu}^\gamma(B)\) momenergy til foton som dannes fra materie i skip B
Siden momenergy skal bevares, m? da
\(P_{\mu}(A) + P_{\mu}(B) = P_{\mu}^\gamma(A) + P_{\mu}^\gamma(B)\)
som ogs? gir oss at
\((E_{tot},\; \vec{p}_A + \vec{p}_B) = (E_A^\gamma + E_B^\gamma, \; \vec{p}_A^\gamma + \vec{p}_B^\gamma)\).
Men siden skipene hadde en fart som var like stor og i motsatt retning, vil \(\vec{p}_A + \vec{p}_B = \vec{0}\),
som betyr (ved ? matche koeffisienter i momenergy-vektorene) at
\(\vec{p}_A^\gamma + \vec{p}_B^\gamma = \vec{0} \Rightarrow \vec{p}_A^\gamma = -\vec{p}_B^\gamma\).
Vi fant tidligere at for fotoner, s? har vi at \(E^{\gamma} = ||\vec{p}^\gamma||\), som gir oss
\(E_A^\gamma = ||\vec{p}_A^\gamma|| = ||-\vec{p}_B^\gamma|| = ||\vec{p}_B^\gamma|| = E_B^\gamma\)
Dermed ser vi at fotonene vi f?r er n?dt til ? ha like stor energi, og reise motsatt rettet av hverandre. MERK at dette argumentet gjelder for alle retninger fotonene kan reise og er uavhengig av ? l?se banen langs en akse, s? lenge vektorene \(\vec{p}_A,\;\vec{p}_B \) er like store og motsatt rettet. Det betyr at dersom fotonet reiser en eller annen vinkel \(\theta\) p? aksen vil dette ogs? gjelde, men det da er n?dt til ? g? et annet foton med like mye energi en vinkel \(\theta + \pi\) grader p? x-aksen, dvs. i motsatt retning av det andre fotonet. Konklusjonen fra dette er da at fotonene m? dannes i par som har like mye energi og reiser motsatt retning fra hverandre. I denne eksplosjonen vil det dannes mange flere fotoner enn bare 2, men vi tenker da at disse dannes i par p? 2. Dermed betyr det at i en slik eksplosjon mellom materie og antimaterie m? det for et hvert foton dannes et foton til med like mye energi og like mye bevegelsesmengde rettet i motsatt retning av det andre fotonet, slik at momenergy skal v?re bevart.
NB: Hvis du er interessert i flere utregninger og blant annet relativistisk Dopplereffekt, kan du sjekke pdf-en linket til denne linken her:
NB: Manglende oppgitt verdi er antall fotoner \(N \), som vi med avanserte m?leinstrumenter m?lte til \(N = 6.34794\cdot10^{41}\) antall fotoner.
Relativistisk Dopplereffekt - pdf.html
