Relativistisk laser-ping pong

Tidenes pingpong-match

La oss starte med ? beskrive dette eksperimentet:

Vi har alts? to romskip utenfor planeten v?r, flyvende i relativistiske hastigheter. Disse romskipene skyter laserstr?ler p? hverandre, som de kan reflektere tilbake med et speil. Vi kaller referansesystemet til romskipene med et merket system \((x^\prime, t^\prime)\) hvor romskipet helt til venstre er i origo, og referansesystemet til romstasjonen (og planeten) er i et umerket system \((x,t)\) der romstasjonen er i origo. Romskipene beveger seg mot venstre med like stor hastighet \(v = 0.65c\), og har en fast avstand \(L^\prime\) mellom seg. Romskipene har fastmontert speil som reflekterer laserstr?ler, og skipet helt til venstre skyter ut en laserstr?le som leder oss til f?lgende eventer: 

•  Event A: Laserstr?len skytes ut ved tiden \(t = t^\prime = 0\) og posisjonen \(x = x^\prime = 0\).
• Event B: F?rste refleksjon av laserstr?len fra romskipet helt til h?yre. 
• Event C: En helt tilfeldig eksplosjon p? romstasjonen som skjer samtidig som event B i romskipenes referansesystem. 
• Event D: N?r laserstr?len fra event B kommer tilbake til romskipet helt til venstre og reflekterer igjen.  

La oss starte litt enkelt, og pr?ve ? finne litt ut om tidsintervallene mellom eventene i romskipets frame: Vi har intervallene \(\Delta t_{AB}^\prime\) og \(\Delta t_{BD}^\prime\). Hvilket av disse intervallene mellom eventene tar lengst tid?  La meg si deg at disse intervallene er like store, ville du trodd meg? Siden vi n? befinner oss i referansesystemet til romskipene, st?r begge romskipene helt i ro. Siden laserstr?len beveger seg konstant med lysets hastighet, vil det ikke v?re noen forskjell p? tiden det tar mellom event A og B, og event B og D. Laserstr?len m? reise like langt uansett, siden romskipene st?r stille i dette referansesystemet. Kan du se det for deg? Vi trapper opp vanskelighetsgraden litt, og pr?ver ? se for oss tidsintervallene mellom samme venter, men denne gangen i romstasjonens referansesystem. Vi titter alts? p? tidsintervallene \(\Delta t_{AB}\) og \(\Delta t_{BD}\), og pr?ver ? tenke ut hvilket av disse intervallene som er st?rst. Vi m? huske at lyshastigheten er invariant, og aldri endrer seg n?r vi endrer referansesystem, dvs. er konstant i alle referansesystemer. I romstasjonens referansesystem beveger begge romskipene seg til venstre med ekstremt h?y hastighet, s? derfor vil romskipet helt til h?yre bevege seg mot laserstr?len som romskipet helt til venstre sender ut. N?r romskipet til h?yre reflekterer laserstr?len tilbake, vil romskipet til venstre bevege seg vekk fra laserstr?len, og det vil dermed ta lenger tid for laserstr?len ? komme tilbake. Dermed vil intervallet \(\Delta t_{BD}\) mellom event B og D ta lenger tid enn intervallet \(\Delta t_{AB}\) mellom event A og B, og dermed er \(\Delta t_{BD} > \Delta t_{AB}\). 

La oss n? ta for oss samme tilfelle, men denne gangen ikke relativistisk. Se for deg at romskipene beveger seg p? lik m?te, men denne gangen med en fart p? \(50km/h\) i forhold til en observat?r i romstasjon-framen, og at laserstr?len n? er en ping-pong ball som beveger seg \(80km/h\) i forhold til romskipene i romskipenes frame. F?rste situasjon kan dere se p? Figur 1, mens situasjonen vi n? har beskrevet er p? Figur 2.

Som dere kanskje fikk en liten spoiler p? gjennom figurere ovenfor, er disse to situasjonene litt forskjellige. Har du skj?nt det enda? Da vi hadde relativistiske hastigheter brukte vi et viktig prinsipp i relativitetsteori: lyshastigheten er den samme i alle referansesystemer. I situasjonen i Figur 1 vil dermed observat?ren se at lyset beveger seg med samme hastighet i sitt referansesystem som i romskipenes referansesystem. Siden romskipene ogs? beveger seg i relativistiske hastigheter, vil han observere at romskipet til venstre beveger seg vekk fra laserstr?len, og romskipet til h?yre bevege seg mot laserstr?len. Derfor observerer han at laserstr?len bruker lenger tid den ene veien enn den andre, som vi beskrev tidligere i innlegget. Hva med situasjonen i Figur 2? Her blir det annerledes, siden observat?ren vil observere at ping-pong ballen har en annen hastighet i sitt referansesystem enn det romskipene observerer at ping-pong ballen har i sitt referansesystem. Observat?ren i romstasjon-framen vil n? observere at ballen har en relativ hastighet, og ser at ballen beveger seg \(130km/h\) fra h?yre til venstre, og \(30km/h\) fra venstre til h?yre. Han vil observere at romskipet til venstre beveger seg vekk fra ballen og observerer derfor at ballen ogs? reiser lenger p? vei fra h?yre til venstre, og kortere fra venstre til h?yre siden romskipet til h?yre m?ter ballen. Men han observerer ogs? at ballen g?r fortere fra h?yre til venstre enn fra venstre til h?yre, som vil gj?re opp for avstanden. Dermed observerer han at det tar like lang tid for ballen ping-pong ballen ? komme seg fra romskipet til venstre til romskipet til h?yre, og fra romskipet til h?yre til romskipet til venstre. Dette gjelder ikke for situasjonen i Figur 1, siden alle observat?rer i alle referansesystemer vil observere lyshastigheten likt. Konklusjonen er da at argumentet vi gjorde for situasjonen i Figur 1 ikke gjelder for situasjonen i Figur 2.

N? som vi har varmet opp hjernene litt, kan vi vende tilbake til den relativistiske situasjonen, og se p? situasjonen fra romstasjonens referansesystem. Vi kan pr?ve ? tenke oss frem til hvordan rekkef?lgene i eventene vil observeres fra dette referansesystemet. Spesielt interessant er det ? tenke p? event B og event C, som skjer samtidig i romskipenes referansesystem. Det f?rste som skjer er event A, siden dette eventet initierer hele handlingen. Dette er alts? det f?rste som skjer i begge referansesystem, p? samme tidspunkt \(t_A^\prime = t_A = 0\). Videre beveger laserstr?len seg mot romskipet til h?yre, og her kommer det som er interessant; tror du:

1. Event B skjer fortsatt samtidig med event C i romstasjon-framen
2. Event B skjer f?r event C i romstasjon-framen
3. Event B skjer etter event C i romstasjon-framen

Svaret er ikke helt ?pentbart, men ikke s? lite trivielt at vi ikke kan lage et kort argument for det. La oss bare sjekke lengden mellom romskipene i romstasjon-framen. Vi vet at i referansesystemet til romskipene, er det en konstant lengde \(L^\prime\) mellom romskipene. Derimot vil vi observere en lengdekontraksjon av lengden mellom romskipene i romstasjon-framen. Lengdekontraksjonen i dette tilfellet er gitt som 

\(L = \frac{L^\prime}{\gamma}\)

Der lengden \(L\) er den observerte lengden mellom romskipene i romstasjon-framen, og \(\gamma\) er Lorentz-faktoren. Siden \(\gamma \ge 1\) vil vi i romstasjon-framen observere at lengden \(L \) blir mindre enn lengden \(L^\prime\), og at romskipene da er n?rmere hverandre sett fra romstasjon-framen enn det de er sett fra romskip-framen. Siden event B og event C skjer samtidig i romskip-framen vil vi observere at event B skjer f?r event C i romstasjon-framen, siden lyset sett i dette referansesystemet trenger ? reise en kortere vei enn det lyset gj?r i romskip-framen. Vi filmer eksperimentet i super-duper-mega slow motion, og observerer

og det viser seg at det vi foruts? stemmer! Her ser vi at laserstr?len blir sendt ut fra romskipet helt til venstre (event A), og at romskipet til h?yre reflekterer str?len (event B) f?r eksplosjonen p? romstasjonen (event C) sett i romstasjon-framen. 

M?linger og tidspunkter 

Vi har noen utrolig gode m?leinstrumenter montert p? romskipene, som klarer ? m?le tidspunkt og posisjon p? event A, B, C og D sett i romskip-framen. M?let v?rt n? blir ? finne mange av de samme st?rrelsene sett fra romstasjon-framen. Vi m?ler alle eventene i romskip-framen, og har 

For ? finne alle tilsvarende st?rrelser i romstasjon-framen, bruker vi invarians av tideromsavstander. Hva mener jeg med det? N? som vi ikke lenger tenker p? tid og rom adskilt (som vi beskriver med 4-vektorer) og befinner oss i tiderommet, bruker vi et prinsipp fra relativitetsteori: tideromsavstanden mellom to eventer er likt i alle referansesystemer. Det vil si at mellom event A og event B er det en avstand i b?de tid og rom i romskip-framen, men ogs? en avstand mellom tid og rom i romstasjon-framen. Det relativitetsteorien sier er at disse avstandene sett i ulike referansesystemet er det samme. Dette viser seg ? v?re sv?rt nyttig, og denne egenskapen bruker vi til ? finne posisjoner og tidspunkter for event A, B, C, D i romstasjon-framen. Tideromsavstanden mellom f.eks event A og B n?r vi kun beveger oss langs x-aksen ser slik ut:

\(\Delta S_{AB}^2 = \Delta t_{AB}^2 - \Delta x_{AB}^2\)

\(\Delta S_{AB}^{\prime\;2} = \Delta t_{AB}^{\prime\;2} - \Delta x_{AB}^{\prime\;2}\)

der \(\Delta S_{AB}\) er for romstasjon-framen og \(\Delta S_{AB}^\prime \) er for romskip-framen. Det negative fortegnet mellom tidsintervallene \(\Delta t_{AB},\;\Delta t_{AB}^\prime\) og de romlige intervallene \(\Delta x_{AB},\;\Delta x_{AB}^\prime\) skyldes at tiderommet f?lger en annen geometri enn den euklidske geometrien vi er vandt med i det vanlige 3D-rommet vi lever i. Denne geometrien kalles Lorentz-geometri og gjelder for flate tiderom (som vi har i spesiell relativitet), men jeg skal ikke noe s?rlig inn p? det her. Siden tideromsavstanden er lik i romstasjon-framen og romskip-framen lager vi flere sett med likninger

\(\Delta S_{AB}^2 = \Delta S_{AB}^{\prime\;2}\)

\(\Delta S_{AC}^2 = \Delta S_{AC}^{\prime\;2}\)

\(\Delta S_{BC}^2 = \Delta S_{BC}^{\prime\;2}\)

\(\Delta S_{AD}^2 = \Delta S_{AD}^{\prime\;2}\)

som vi kan l?se for ? finne ulike verdier. Jeg l?ser alt sammen i en PDF nedenfor som du kan lese dersom du ?nsker det 

Her l?ser jeg likningene i PDF - last ned HTML

og resultatene jeg f?r fra ? l?se likningene og sette inn verdiene jeg fant ovenfor er 

som igjen bekrefter det vi observerte ovenfor: at event B forekommer f?r event C i romstasjon-framen. Dette illustrerer at merkelige og litt kontra-intuitive ting forekommer i relativitet, og det er akkurat det som gj?r det s? kult! 

Forrige innlegg <<                                                                             Neste innlegg >>