Notat for de spesielt interesserte:
Alle ekstra utregninger for b?de del 1 og del 2 av dette innlegget kan finnes i PDF-en linket nedenfor
For de spesielt interesserte ~ ekstra utregninger - PDF
Hva er situasjonen vi befinner oss i
Som mange andre problemstillinger i relativitet, tar vi utgangspunkt i flere perspektiv, i flere referansesystemer. Vi har en satellitt parkert n?rt utenfor en planet som g?r i bane rundt et sort hull, med en avstand \(1AU\) fra det sorte hullet. Satellitten beveger seg ikke i forhold til planeten, og vi kaller systemet til denne satellitten og planeten for planetsystemet. Vi har ogs? et romskip som faller helt fritt, radielt inn mot det sorte hullet, og har en hastighet \(\vec{v}\) i det den passerer satellitten i planetsystemet. Dette fallende systemet med romskipet kaller vi for romskipsystemet. Det fritt-fallende romskipet sender ut et bl? lyssignaler i et bestemt intervall mellom hvert signal sett fra romskipsystemet. Satellitten gj?r noe tilsvarende, og sender ut et r?de lyssignaler i et bestemt intervall mellom hvert signal sett fra planetsystemet. En antakelse vi gj?r i f?rste omgang som er viktig ? nevne er at vi antar at lyssignalet blir registrert hos den andre observat?ren ?yeblikkelig den blir sendt ut. Med andre ord tar vi ikke hensyn til at lyssignalet faktisk m? reise en avstand f?r den blir tatt imot, og vi skal ta hensyn til dette i en senere del av innlegget. Men f?rst gj?r vi denne antakelsen.
Vi trenger perspektiv - hvordan observerer vi situasjonen
Som du kanskje har skj?nt er relativitetsteori veldig preget av perspektivet vi ser problemstillingen i, som ogs? er det som f?rer til en del mind-twisters. Dette har vi i v?rt tilfelle ogs?, s? jeg skal pr?ve ? hjelpe deg med litt ulike typer observat?rer.
- Langt-vekk observat?ren
- Fritt-fall observat?ren
- Skall-observat?ren
Langt-vekk observat?ren
Denne observat?ren - som lagt i navnet, ligger langt vekk. Denne observat?ren ser p? hendelsene fra lang avstand, og er derfor n?dt til ? betrakte Schwarzschild-geometri av tiderommet p? objektene som er n?r det sorte hullet (jeg har ikke sagt hva denne geometrien er men vi kommer til det senere). Kort sagt betyr dette at tiderommet krummes ekstremt av det massive sorte hullet, og er ikke lenger flatt slikt som det er i spesiell relativitet. Vi bruker gjerne vanlige koordinater om langt-vekk observat?ren, \((r,\;t,\;\phi)\) der \(r\) er avstand radielt fra det sorte hullet, og er et av Schwarzschild-koordinatene sammen med \(t\) som er tiden m?lt i langt-vekk observat?rens system, og \(\phi\) som er vinkelposisjonen til objektet i asimutal retning (om du ikke husker kulekoordinater kan du lese kort om det p? dette innlegget). Denne observat?ren kan kun brukes s?pass langt unna at vi ikke merker noe til gravitasjonen rundt det sorte hullet.
Fritt-fall observat?ren
P? samme m?te som langt-vekk observat?ren ligger det i navnet at denne observat?ren er i fritt fall. For denne observat?ren skjer alle hans eventer i origo i hans system, og han kan tiln?rme en Lorentz-geometri av tiderommet s? lenge hendelsene skjer i n?rheten av observat?ren p? et kort tidsintervall. Dette skal jeg pr?ve ? begrunne etter jeg har forklart hva skall-observat?ren er. Denne observat?ren trenger ingen koordinater, siden alle hans hendelser skjer i origo i det fallende objektets system. Dermed vil posisjonen alltid v?re 0, og den m?lte tiden vil alltid v?re egentiden \(\tau\).
Skall-observat?ren
Denne observat?ren er plassert p? et stasjonert skall med konstant radius, og observerer hendelser. For eksempel kunne fritt-fall observat?ren falle forbi skall-observat?ren, og vi hadde hatt det som er v?r situasjon. Vi merker ofte koordinatene til denne observat?ren med en subscript, \((r_{SH},\;t_{SH},\;\phi_{SH})\). Denne observat?ren er litt spesiell, og havner i noen problemer dersom han pr?ver ? m?le avstanden sin fra skallet til sentrum av det sorte hullet. P? grunn av at geometrien i det sorte hullet er annerledes, blir lengden ned mot sentrum uendelig p? grunn av at det sorte hullet krummer tiderommet til det ekstreme. Dermed gir ikke koordinatet \(r_{SH}\) noen mening for denne observat?ren. Dermed vil han heller m?le \(\Delta r_{SH}\) som avstanden mellom hans skall og et annet skall. Denne observat?ren kan m?le ulike intervaller \(\Delta r_{SH},\;\Delta t_{SH},\;\Delta\phi_{SH}\) avhengig av hvilke skall han plasseres p?. P? samme m?te som fritt-fall observat?ren kan denne observat?ren tiln?rme en Lorentz-geometri s? lenge hendelsene skjer i n?rheten og i l?pet av kort tid. Men, skallobservat?ren kan faktisk m?le Schwarzschild-koordinatet \(r \) p? en litt spesiell m?te: han kan m?le omkretsen rundt skallet han st?r p?. Som kjent er omkretsen av en sirkel gitt som
\(O = 2\pi r\)
som dermed gir oss radien \(r \) som
\(r = \frac{O}{2\pi}\).
Dermed m?ler skallobservat?ren posisjonen sin p? en litt annen m?te, og kan velge mellom to m?ter ? m?le det p?. Det er viktig ? merke at en endring i dette koordinatet ikke er det samme som endringen skallobservat?ren m?ler mellom sitt skall og et annet skall, alts? at \(\Delta r \neq \Delta r_{SH}\). Det er viktig ? huske at \(\Delta r_{SH}\) er en lokal m?ling, mens \(\Delta r \) er noe som m?les av langt-vekk observat?ren. Da vil eksempelsvis \(\frac{dr_{SH}}{dt_{SH}} = v_{SH,r}\) v?re den lokalt m?lte farten til skallobservat?ren, og \(\frac{dr}{dt} = v_r\) langt-vekk observat?rens m?ling, som ogs? kan m?les av skallobservat?ren (men er ikke lokal, dvs. i n?rheten). En konsekvens av dette vil for eksempel v?re at lyset m?les til hastighet \(c\) lokalt for skallobservat?ren, men ikke n?dvendigvis lenger unna ham.
Kjapp forklaring p? tiln?rming av Lorentz-geometri p? skall / fritt-fall observat?r (spesiell relativitet, sjekk Del 8) som lovet:
Sannheten er at tiderommet rundt observat?rene er skikkelig krumme, i alle fall for langt vekk observat?ren. Du kan jo se for deg Jorda: den mener du er rund (forh?pentligvis). Dersom vi g?r langt nok inn p? Jorda kan vi jo tiln?rme bakken som flat? Jeg mener, bakken ser da flat ut her nede? Men ute i verdensrommet er jo Jorda helt klart ikke flat, den er rund (eller mer korrekt n?rmere sf?risk). Eller p? en liknende m?te som i illustrasjonen nedenfor:
Dersom vi lar illustrasjonen representere tiderommet ser vi at selv om det krummes p? en eller annen komplisert m?te, kan vi tiln?rme det som helt rett (flatt) om vi bare befinner oss n?rme nok. Det er derfor ogs? viktig at hendelsene skjer n?r observat?ren i b?de tid om rom, ellers vil ikke lenger tiln?rmingen lenger gjelde (den blir d?rligere og d?rligere dess lenger det er unna i tid og rom). G? n? gjerne tilbake til observat?rene, og v?r sikker p? at du forst?r hvordan lokalitet gjelder, spesielt for skallobservat?ren.
S? hva blir observat?rene i v?rt tilfelle? Kan du tenke deg til det? Jeg har p? en m?te allerede avsl?rt det, om du leser deg tilbake. Les deg gjerne tilbake om du ikke skj?nner hvilke observat?rer vi har og heller ikke fikk med deg at jeg avsl?rte det. Spoiler kommer p? linjen under:
Satellitten ved planeten blir en skall-observat?r, raketten blir en fritt-fall observat?r.
Relativistisk energi - generell relativitet
Vi utledet jo relativistisk energi i Momenergy, fotoner og antimaterieraketter, men dette gjaldt for flat geometri av tiderommet (Minkowski tiderom), eller med andre ord spesiell relativitet. Det vi jobber med n? er generell relativitet, og spesifikt et sort hull. Faktisk er det slik at geometrien vi bruker her er Schwarzschild-geometrien, som er geometrien som dukker opp av ? l?se Einstein-likningen for et sort hull uten rotasjon og med uniform massetetthet. Vi tar ingen beregninger, men likningene ser slik ut:
\(\begin{align*} \underbrace{G_{\mu\nu} = 8\pi T_{\mu\nu}}_{\text{Einstein-likningen}} \hspace{0.5cm} \stackrel{\text{Sort hull}}{\Rightarrow} \hspace{0.5cm} \underbrace{\Delta s^2 = \left(1 - \frac{2M}{r}\right)\Delta t^2 - \frac{\Delta r^2}{1 - \frac{2M}{r}} - r^2\Delta\phi^2}_{\text{Schwarzschild-geometrien}} \end{align*}\)
P? h?yre-siden av Einstein-likningen setter vi inn \(T_{\mu\nu}\), som beskriver innholdet av energi, materie i rommet, og spytter ut \(G_{\mu\nu}\) som beskriver geometrien til tiderommet rundt objektet. Schwarszchild gjelder alts? et sort hull med uniform masse som ikke spinner. Dette gir alts? tideromsavstanden rundt sorte hull, der Schwarzschild-geometrien gjelder, og som vi kan modellere andre objekter med (som stjerner og planeter). Den eneste observat?ren vi hadde som dette gjaldt for var langt-vekk observat?ren, mens fritt-fall observat?r og skall-observat?r kunne bruke den gode gamle Lorentz-geometrien
\(\Delta s^2 = \Delta t^2 - \Delta r^2\)
s? lenge det er lokalt.
MERK: Selv om geometrien n? er annerledes, gjelder fortsatt bevaring av tideromsavstand ved bytte av referansesystem. Dette gjelder alltid. Det vil si at \(\Delta s_A^2 = \Delta s_A^{\prime\;2}\) gjelder selv om ene siden bruker Lorentz-geometri og andre siden bruker Schwarzschild-geometri. Det som kanskje er fint ? vite om Schwarzschild-geometrien er hva st?rrelsen \(2M\) betyr. Dette kalles eventhorisonten til det sorte hullet, og er en veldig interessant del. Du ser kanskje at dersom \(r = 2M\) s? vil det skje skumle ting, men dette er ikke noe annet enn en koordinatsingularitet, som betyr at vi kan l?se for eventhorisonten om vi bytter koordinatsystem. Vi kan bruke denne geometrien til ? utlede et uttrykk for energi per. masse, som er gitt som
\(\begin{align} \frac{E}{m} = \left(1 - \frac{2M}{r}\right)\frac{dt}{d\tau} = \text{konstant} \end{align}\).
Husk at \(dt \) gjelder for langt-vekk observat?ren, siden denne ikke har noen subscripts. St?rrelsen \(d\tau\) gjelder for fritt-fall observat?ren. Dermed er dette en relasjon mellom langt-vekk observat?ren og fritt-fall observat?ren. Ved ? sette opp tideromsavstanden mellom to eventer som skjer p? samme sted i radiell retning uten endring i langs \(\phi\)-retning for langt-vekk observat?ren og for skall-observat?ren, kan vi finne sammenhengen
\(\begin{align} dt = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{2M}{r}}}dt_{SH} \end{align}\).
Setter vi dette inn i uttrykket for energi per. masse ovenfor f?r vi
\(\begin{align} \frac{E}{m} = \left(1 - \frac{2M}{r}\right)\frac{dt}{d\tau} = \left(1 - \frac{2M}{r}\right)\frac{dt_{SH}}{\sqrt{1 - \frac{2M}{r}}d\tau} = \sqrt{1 - \frac{2M}{r}}\frac{dt_{SH}}{d\tau} \end{align}\).
Noe som ser kjent ut? Om du ikke ser det, fortvil ikke. La meg minne deg p? hvordan tidsdilatasjon ser ut:
\(\Delta t = \gamma \Delta\tau\)
Dette kjenner dere kanskje igjen fra delen om spesiell relativitet, som jeg anbefaler at du leser dersom du ikke har gjort det. Dersom du er en skarp kniv husker du kanskje at spesiell relativitet ogs? kun gjelder i flat geometri. Men siden vi kan tiln?rme flat geometri for b?de skall-observat?ren og for fritt-fall observat?ren, kan vi bruke spesiell relativitet p? disse to observat?rene n?r de er n?re hverandre. Tenk p? det slik: alle dere p? videreg?ende har v?rt gjennom det klassiske eksemplet i fysikk 2 - timen: Det er en observat?r som st?r p? bakken og observerer et tog i hastighet, slik som i figur 3.
Gjennom dette eksemplet utleder man vanligvis tidsdilatasjonen \(\Delta t = \gamma\Delta t^\prime\), og her gjelder den flate geometrien. Teknisk sett befinner de seg p? Jorda, som faktisk krummer tiderommet. Dette er derfor ogs? en tiln?rming, p? lik m?te som tiln?rmingen v?r med skall-observat?r og fritt-fall observat?r. Faktisk er disse to tilfellene ganske analoge dersom vi har en skall-observat?r i n?rheten av det fallene romskipet. Kan du se likheten mellom figur 3 og figur 4?
I tilfellet med figur 4 vil da skall-observat?ren tilsvare den stillest?ende observat?ren p? bakken og romskipet tilsvare den bevegende observat?ren i toget i figur 3. P? samme m?te som i tog-eksemplet blir tidsdilatasjonen i figur 4
\(\Delta t_{SH} = \gamma_{SH}\Delta\tau\)
der
\(\gamma_{SH} = \frac{1}{\sqrt{1 - v_{SH}^2}}\)
hvor \(v_{SH}\) er den observerte farten til romskipet sett fra skall-observat?rens system. Vi ser ogs? da at vi kan skrive forholdet mellom tidsintervallene
\(\begin{align} \frac{\Delta t_{SH}}{\Delta\tau} = \gamma_{SH} \end{align}\)
som vi kan gj?re infinitesimalt sm?
\(\begin{align} \frac{dt_{SH}}{d\tau} = \gamma_{SH} \end{align}\).
Vi har noen m?lte verdier jeg slenger inn i en tabell nedenfor:
| Sort hull masse: \(1.43937\cdot 10^7\;M_\odot\) | |
| Avstand fra sort hull skall-obs. : \(1AU\) | |
| Observert fart romskip ved r = 1AU : \(0.268c\;m/s\) |
Med denne infoen og likningene ovenfor kan vi regne ut energi pr. masse. Vi har ikke vist det, men utledningen av formelen for energi per masse forteller oss at
\(\begin{align} \frac{E}{m} = \text{konstant} \end{align}\),
som betyr at den er det samme uansett hvor raketten er i tyngdefeltet eller hvilken hastighet den er. Regner vi ut energi per masse med tallene i listen vi har ovenfor f?r vi at
\(\begin{align} \frac{E}{m} \approx 0.8782 \end{align}\).
Dette tallet sier kanskje ikke s? mye, s? ved ? gj?re litt dimensjonsanalyse ser vi at i SI-enheter ville enheten for energi per masse v?rt \(\left[\frac{J}{kg} = \frac{m^2}{s^2}\right]\). Vi vet at fart har enhet \(\left[\frac{m}{s}\right]\), og da er lysfarten \(c\) eneste konverteringsfaktor som passer. Dermed m? vi gange denne dimensjonsl?se energi per masse-enheten med \(c^2\) som har enhet \(\left[\frac{m^2}{s^2}\right]\). Da f?r vi energi per masse p? ca.
\(\begin{align} \frac{E}{m} \approx 7.892\cdot10^{16}\;\frac{J}{kg} \end{align}\), kjent som \(78.92\;\frac{PJ}{kg}\) (peta-joule).
Dette er energi som tilsvarer ? brenne s? mye som \(5.26\cdot10^{9}\;kg\) med tre. Til annen sammenlikning er den ?vre grensen av energi per masse for en komet som treffer Jorda med en hastighet p? \(73.4\;km/s\) p? ca. \(2690\;\frac{MJ}{kg}\) (mega-joule, \(10^6\)). Energien per masse vi har regnet ut er ca. \(2.933\cdot10^{7}\) (!) ganger st?rre enn kometen.
Dersom vi n? bruker kjente relasjoner mellom skall-observat?r, fritt-fall observat?r og langt-vekk observat?r sammen med likningen for energi per masse, kan vi utlede en rekke hjelpsomme likninger. Eksempelvis kan vi bruke likningen for energi per masse til ? finne et forhold mellom langt-vekk observat?rens tidsintervall \(\Delta t \) og fritt-fall observat?rens tidsintervall \(\Delta\tau\). Videre kan vi ogs? bruke forholdet mellom langt-vekk observat?rens tidsintervall \(\Delta t \) og skall-observat?rens tidsintervall \(\Delta t_{SH}\) til ? finne et forhold mellom fritt-fall observat?rens tidsintervall \(\Delta\tau\) og skall-observat?rens tidsintervall \(\Delta t_{SH}\). Dersom vi antar at romskipet beveger seg veldig kort mellom to eventer kan vi tiln?rme posisjonen \(r\) til romskipet som konstant. Med litt formeltriksing kan vi da finne et uttrykk for koordinatet \(r \) gitt ved eventhorisonten \(2M\), tidsintervallet \(\Delta\tau\) mellom to eventer for fritt-fallende observat?r i romskipet, tidsintervallet \(\Delta t_{SH}\) mellom to eventer for skall-observat?r og energi per masse. Formelen vi f?r ser slik ut
\(\begin{align} r = \frac{2M}{1 - \left(\frac{\Delta\tau}{\Delta t_{SH}}\cdot\frac{E}{m}\right)^2} \end{align}\).
Vi m?ler tiden mellom de to f?rste lyssignalene og de to siste, og regner ut posisjonen \(r\). Romskipet sender ut totalt 31 lyssignaler, som noteres kronologisk med subscript mellom 1 og 31.
| \(t_{SH,1} = 0s\) | \(\tau_1 = 0s\) |
| \(t_{SH,2} = 30.0208s\) | \(\tau_2 = 27.5415s\) |
| \(\Delta t_{SH,1,2} = t_{SH,2} - t_{SH,1} = 30.0208s\) | \(\Delta\tau_{1,2} = \tau_2 - \tau_1 = 27.5415s\) |
|
|
|
| \(t_{SH,30} = 1124.11s\) | \(\tau_{30} = ...s\) |
| \(t_{SH,31} = 1430.99s\) | \(\tau_{31} = ...s\) |
| \(\Delta t_{SH,30,31} = t_{SH,31} - t_{SH,30} = 306.88s\) | \(\Delta\tau_{30,31} = \tau_{31} - \tau_{30} = 27.5415s\) |
Vi plugger disse tallene inn i formelen for avstand, og f?r ut
\(\begin{align} r_{1,2} = 1.211\cdot10^{11}m = 0.809AU \hspace{1cm} r_{30,31} = 4.277\cdot10^{10} = 0.285AU \end{align}\)
som virker rimelig, siden romskipet faller inn mot det sorte hullet over tid, og er mindre enn der vi begynte som er \(r = 1AU\), i tillegg til at \(r_{1,2} > r_{30, 31}\) som gir mening siden romskipet sender disse signalene sist og reiser inn mot det sorte hullet (merk at \(\tau_{30}\) og \(\tau_{31}\) ikke er satt opp i tabellen fordi det er uviktig, og det er kun \(\Delta\tau_{30,31}\) vi er interessert i).
Hva ser observat?rene?
La oss si vi sitter p? satellitten ved planeten og observerer romskipet som faller ned mot det sorte hullet. Romskipet sender ut bl? lyssignaler, eller kanskje mer fiolett til og med. Dette er kanskje den litt mer intuitive delen: i det romskipet n?rmer seg det sorte hullet vil gravitasjonen bli sterkere og sterkere, og det er dermed lett ? tenke p? at lyset pr?ver ? unnslippe dette feltet p? vei mot satellitten. Siden gravitasjonen trekker p? lysstr?len blir det s t r u k k e t ut, og vi observerer at b?lgelengden blir lengre, alts? en r?dskift i b?lgelengden. Dermed observerer vi p? satellitten utenfor planeten i planetsystemet at de bl? lyssignalene raketten sender ut blir r?dere og r?dere jo n?rmere romskipet kommer mot det sorte hullet.
Hva med romskipet i romskip-framen? Her virker det kanskje ikke like intuitivt, s? det er mulig vi kan endre m?ten vi velger ? se p? det p?: spiller tidsdilatasjon noen rolle tro? Fra likningene ovenfor kunne vi utlede en sammenheng mellom tiden i romskip-systemet og tiden i planetsystemet:
\(\begin{align} d\tau = \frac{\sqrt{1 - \frac{2M}{r}}}{\frac{E}{m}}dt_{SH} \end{align}\)
Det vi kan se ut ifra denne likningen er at jo mindre \(r\) blir, dess mindre blir tidsintervallet \(d\tau\) mellom to eventer observert fra romskipet i romskip-systemet. Alts? observerer fritt-fall observat?ren at tiden g?r fortere for skallobservat?ren, dess n?rmere romskipet kommer det sorte hullet. Sett fra skallsystemet gjelder det motsatte, dess n?rmere romskipet kommer det sorte hullet, dess st?rre blir tidsintervallet \(dt_{SH}\) mellom to eventer observert fra satellitten i planet-systemet. Hva betyr dette for de utsendte lyssignalene?
Vel, la oss ta lyssignalet utsendt fra romskipet som observeres p? satellitten igjen, siden det er kjent for oss. Siden romskipet sender ut bl? lyssignaler, vil disse str?lene ha kort b?lgelengde og ogs? h?y frekvens. Men jo n?rmere romskipet kommer det sorte hullet, jo saktere observerer vi at tiden g?r i romskip-systemet sett fra planet-systemet. Vi vil dermed observere at det tar lenger tid mellom hver utsendte b?lgelengde fra romskipet, som betyr at vi observerer at b?lgene er lenger unna hverandre, og dermed observere en r?dskift i lyssignalet. Da blir det kanskje enklere ? se for seg hvordan dette ser ut sett fra romskipet? Siden vi p? satellitten sender ut r?de lyssignaler vil disse signalene ha lang b?lgelengde, og ogs? lang frekvens. Men jo n?rmere romskipet kommet det sorte hullet, jo raskere observerer vi at tiden g?r i planet-systemet sett fra romskip-systemet. P? samme m?te vil vi da observere at det tar kortere tid mellom hver utsendte b?lgelengde fra satellitten, som betyr at vi observerer at b?lgene er n?rmere hverandre, og vi vil observere en bl?skift i lyssignalet.
Vi kj?rer eksperimentet, og jeg setter meg p? satellitten mens min gode kompanjong Johan setter seg p? romskipet som seiler inn mot det sorte hullet. Observasjonen jeg gj?r stemmer med det jeg beskrev ovenfor: lyssignalene til Johan starter veldig bl?/fiolett, og blir r?dere og r?dere n?r han n?rmer seg det sorte hullet. Johan sender ut et signal hvert 27 sekund ca. sett i romskipet, mens jeg observerer at det tar lenger og lenger tid mellom hvert lyssignal. Dette er ogs? p? grunn av tidsdilatasjonen, som tilsier at jeg observerer at det tar lenger tid mellom to eventer n?re det sorte hullet fra mitt referansesystem enn det gj?r for Johan. Etter litt tid f?r jeg tilbake en rapport fra Johan som beskriver lyssignalene jeg sender ut
Report - date 13.12.2021 -- direction eventhorizon????? ???? ??????Dette er Johan, jeg rapporterer fra romskipet. Jeg observerer at lyssignalene du sender ut fra satellitten f?rst er r?de i det jeg passerer deg ved planeten. Mens jeg i en flygende hastighet p? \(26.8\%\) av lyshastigheten reiser inn mot et av universets mange singulariteter, observerer jeg en merkelig effekt i lyssignalene dine: n? som jeg n?rmer meg det sorte hullet observeres lyssignalene som bl?ere. I tillegg oppdaget jeg at lyssignalene kom mellom kortere tidsintervaller, alts? at det tok kortere tid mellom hvert lyssignal. Sendte du ut lyssignal i konstant tidsintervall og samme frekvens slikt som du lovte? Johan - ut |
Slik jeg s? det for meg ovenfor virker som har vist seg sant: Johan observerer bl? lys i kortere intervaller i det han n?rmer seg det sorte hullet. Som Johan rapporterte, tar det kortere tid mellom hvert utsendte lyssignal fra satellitten. P? lik m?te som jeg p? satellitten observerte at det tok lenger og lenger tid mellom hvert utsendte lyssignal fra romskipet p? grunn av tidsdilatasjonen, observerer Johan at det tar kortere og kortere tid mellom hvert utsendte lyssignal ogs? p? grunn av tidsdilatasjonen, som for han virker motsatt av dilatasjonen jeg observerer. Alts? observerer jeg at det tar lenger tid mellom to eventer n?rt det sorte hullet, og for Johan som befinner seg n?rt det sorte hullet observerer han at det tar kortere tid mellom to eventer lenger unna det sorte hullet.
S? langt i dette innlegget (del 1) har vi hele tiden jobbet med antakelsen om at lyssignalet har uendelig stor fart, og at vi dermed ignorerer tiden lyset bruker p? ? reise mellom de to observat?rene. I neste del skal vi se p? effekter av ? inkludere den tiden lyset bruker p? ? reise mellom observat?rene. Dette innlegget ble langt, og neste innlegg blir antakeligvis et stykke det ogs?, s? ta deg en god kaffepause, g? deg en tur og slapp litt av f?r du kommer tilbake og leser om neste del.
