Om du ikke har lest forrige innlegg, s? gj?r det f?r du leser dette innlegget
Vi gj?r noen korreksjoner
Som forklart i intro-tittelen skal vi n? studere samme system som i Del 1, men n? ta i betraktning at observat?rene ikke registrerer lyssignalet umiddelbart, men at lyset faktisk m? reise mellom observat?rene. Dette er det vi faktisk ville sett p? ekte, og blir mer presist i forhold til virkeligheten. F?r vi observerer eksperimentet der vi inkluderer lyshastigheten ser vi tilbake p? resultatene vi fikk fra del 1, og bruker et uttrykk for lyshastigheten radielt inn mot et sort hull til ? pr?ve ? resonnere oss frem til hva som vil skje. Vi kan utlede at lyshastigheten radielt inn mot et sort hull er
\(\begin{align} v_{\gamma,r} = -\left(1 - \frac{2M}{r_{\gamma}}\right) \end{align}\)
der subscripten \(\gamma\) forteller oss at det er lys vi ser p?. MERK at lyshastigheten faktisk endrer seg i Schwarzschild-geometrien. Du trodde kanskje at lyshastigheten var konstant i alle referansesystemer? I fysikken har vi en tendens til ? lyve en del om ting, for ? s? oppklare sannheten etterp?. Du ser kanskje at dersom \(r \rightarrow \infty \), s? g?r \(v_{\gamma,r} \rightarrow 1 \) (husk at \(c = 1\) n?r vi jobber med naturlige enheter) ? Lysets hastighet er den samme for alle observat?rer i lokale inertialsystemer. I generell relativitet befinner vi oss ikke lenger i et slikt system. Legg ogs? merke til at dersom \(r \rightarrow 2M\) s? vil \(v_{\gamma,r} \rightarrow 0\). Husk ogs? at \(r = 2M\) er p? eventhorisonten av det sorte hullet, som betyr at p? eventhoristonten vil langt-vekk observat?ren observere at lys ikke har noen hastighet (husk at Schwarzschild-koordinatet \(r\) m?les av langt-vekk observat?ren, s? dette er hva langt-vekk observat?ren vil se). Du har kanskje h?rt f?r at lys ikke kan slippe ut av eventhorisonten til sorte hull? Langt-vekk observat?ren vil observere at lyset har hastighet lik 0 p? eventhorisonten, og lyset vil dermed aldri n? frem til ham. Dette gjelder ikke bare for langt-vekk observat?ren, men faktisk ogs? for skall-observat?ren (og fritt-fallende observat?r, og satellitten v?r er en skall-observat?r). Dette er p? grunn av hvordan skall-observat?ren m?ler sin egen avstand fra det sorte hullet, og kan velge ? m?le samme \(r\) som langt-vekk observat?ren ved ? m?le omkretsen sin og dele dette p? \(2\pi\).
Det var en liten avsporing, men tilbake til systemet. La oss pr?ve ? resonnere: hvordan vil lyshastigheten p?virke hvordan observat?rene observerer lyssignalene? Vi kan ta det "enkleste" f?rst: siden lyset n? faktisk reiser med en hastighet tror jeg at vi f?r et lite doppler-skifte tilbake mot den r?de delen av spekteret for fritt-fall observat?ren, fordi han reiser vekk fra lyset i det lyset treffer ham i romskip-systemet, som illustrert i figur 1. Dermed tror jeg at de dopplerskiftene vi fikk i del 1 var litt kraftigere enn det vi burde forvente ? f?, og at romskipet kanskje m? lenger inn mot det sorte hullet f?r vi f?r en like merkbar effekt. Et annet tillegg er at lyset bruker lenger og lenger tid fra den ene observat?ren til den andre, siden avstanden mellom disse to observat?rene hele tiden ?ker. Vi vil da i tillegg til tidsdilatasjonen ogs? m?tte vente p? den tiden lyset bruker p? ? n? oss. For fritt-fall observat?ren tror jeg dette betyr at lyssignalene ikke vil komme i kortere intervaller n?r han n?rmer seg det sorte hullet, men kanskje jevne det ut (kanskje til og med ta lenger tid). For skall-observat?ren tror jeg dette vil sl? ut p? lik m?te som for fritt-fall observat?ren, og skallobservat?ren vil observere at det vil ta enda lenger tid mellom hvert utsendte lyssignal enn det han observerte i del 1 p? grunn av den ?kende avstanden mellom observat?rene, i tillegg til at han allerede har en tidsdilatasjon som sakker farten p? intervallene.
Rull eksperiment
Vi observerer eksperimentet for planet-systemet i f?rste omgang. Det jeg observerer er at det som ansl?tt tar lenger tid mellom hvert lyssignal n? som vi tenker at lyssignalet m? reise mellom observat?rene vs. i del 1 der vi antok at det skjedde instantant. ?n ting jeg observerer som jeg ikke kommenterte ovenfor, er hvordan vi n? observerer fargen til lyssignalene romskipet sender ut sett fra satellitten. Fargene forblir de samme (eller veldig lite merkbare), men vi legger merke til at to av signalene vi hadde fra forrige innlegg har forsvunnet. Dette kan forklares ved likningen
\(\begin{align} v_{\gamma, r} = -\left(1 - \frac{2M}{r_{\gamma}}\right) \end{align}\)
som forteller oss at ett fra satellitt-observat?ren vil lyset faktisk ha en annen hastighet enn \(c\) ! Dess n?rmere romskipet kommer det sorte hullet, det saktere g?r lyshastigheten. Det betyr at lyset bruker enda lenger tid enn det den gjorde f?r, siden den n? reiser en lenger avstand med lavere lyshastighet jo n?rmere det sorte hullet lyset kommer. Dermed vil de to siste signalene aldri skje i eksperimentet, siden eksperimentet ikke varer i lang nok tid til at vi kan registrere det.
Vi kan plotte differansen i tidsintervallene mellom hvert lyssignal som registreres av skall-observat?ren (satellitten) i planet-systemet dersom vi inkluderer lyshastigheten eller ikke (dvs. lyshastighet med - vi regner tiden signalene bruker mellom observat?rer, lyshastighet uten - vi tenker at observat?rene ser lyssignalet i ?yeblikket det blir sendt ut). Gj?r vi noe s?nt f?r vi dette plottet:
Det vi kan se p? figur 2 er at allerede fra f?rste og andre signal vil det ta lengre tid ? observere signalene fra romskipet sett fra satellitten. Dess lenger ut i signalene vi m?ler, dess verre blir effekten og det tar enda lengre tid siden vi m? tenke p? tidsdilatasjon og lengden lyset m? reise, kontra uten lyshastighet fra del 1 der vi kun trengte ? tenke p? tidsdilatasjon. Det ser ut som at kurvene stiger veldig likt, men helt p? slutten av plottet (rundt 24 - 29) kan det se ut som at det er tendens til at den bl? kurven kommer til ? stige mye mer enn den r?de kurven. Denne effekten er som forventet, og resultatene svarer til forventningene.
Vi gj?r det samme som vi akkurat gjorde for planet-systemet ovenfor, men med romskip-systemet i stedet denne gangen. Lyssignalene utsendt fra satellitten som vi observerer p? romskipet ser ikke ut til ? ha blitt r?dforskj?vet slik som jeg hadde forventet. Det vi heller ser er at masse av lyssignalene ikke kom frem til romskipet i l?pet av tiden vi kj?rte eksperimentet. I del 1 s? vi at romskipet mottok 27 lyssignaler fra satellitten, mens her mottok vi kun 9 (!). Dette forklares ogs? av likningen for lysets hastighet radielt inn mot det sorte hullet
\(\begin{align} v_{\gamma,r} = -\left(1 - \frac{2M}{r_{\gamma}}\right) \end{align}\)
som sier at lyset beveger seg saktere n?r det n?rmer seg det sorte hullet. Dermed f?r vi i tillegg til tidsdilatasjon og avstand lyset skal reise, at lyset reiser saktere lenger inn mot det sorte hullet, som gj?r at det tar enda lenger tid. Dermed rekker vi ikke ? observere lyssignalene satellitten sender ut fra romskipet i l?pet av tiden vi kj?rer eksperimentet.
Vi plotter differansen mellom tidspunktene vi observerer de utsendte lyssignalene fra satellitten p? romskipet, og plotter det over signalene. Vi f?r et plott som ser slikt ut:
Dette resultatet var kanskje litt mer interessant! Her ser vi oppf?rselen fra del 1 (r?d linje), der tidsintervallene ble kortere og kortere, og vi s? at lyssignalene flashet fortere mot slutten. Dersom vi tar med tiden det tar for lyset ? n? oss, ser vi at det faktisk tar lengre og lengre tid ettersom vi n?rmer oss det sorte hullet. Alts? gj?r den ?kende avstanden mellom observat?rene i tillegg til at lyset beveger seg saktere opp for tidsdilatasjonen vi fant i del 1, og snur det om slik at det tar lenger tid i stedet for kortere! Vi kan ogs? se dette dersom vi plotter tiden vi mottar lyssignalene i hvert system over lyssignalene
Her ser vi tydelig at tidspunktene vi mottar lyssignalene er forskjellige for de ulike observat?rene dersom vi inkluderer lyshastigheten eller ser bort ifra den. Dette forklarer ogs? at det tar s? lang tid for de siste lyssignalene ? reise mellom observat?rene dersom vi inkluderer lyshastigheten, at vi ikke vil observere dem i det tidsl?pet vi kj?rer eksperimentet.
Hva kan vi konkludere med?
Det vi har klart ? finne ut av er litt mer om hvordan lys oppf?rer seg mot sorte hull, og hvordan lyshastigheten p?virker hvordan vi observerer universet. Det finnes en slags myte at dersom man faller inn mot et sort hull, vil man se hele universets tidsl?p skje p? kort tid, men dette er alts? helt usant. Dersom vi lar lyset reise med uendelig hastighet (som vil for?rsake en del andre paradokser, men vi tenker oss at det ikke skjer) vil vi i som fallende observat?rer som reiser inn i det sorte hullet observere at alle hendelser langt unna oss i universet skjer fortere. Men siden lyset faktisk har en absolutt hastighet, vil Schwarzschild-geometrien vi har antatt i det sorte hullet f?re til at lyset beveger seg saktere, i tillegg til at lyset bruker til p? ? reise fra det eventet det kommer fra og til oss som observerer. Etter vi har krysset eventhorisonten til det sorte hullet kommer observat?rer fra utsiden til ? se oss fryse helt, siden lyset ikke klarer ? unnslippe det sorte hullet fordi den vil ha en hastighet p? 0. Det vi ogs? kan konkludere med er at gravitasjonsfeltet til det sorte hullet gir oss en doppler-effekt, og vi kan tolke dette som doppler-effekt for?rsaket av tidsdilatasjonen fra tyngdefeltet. Dermed vil de bl? signalene som romskipet sender ut observeres som r?de signaler p? satellitten, og de r?de signalene som satellitten sender ut observeres som bl? signaler p? romskipet n?r romskipet n?rmer seg det sorte hullet. Vi kan da tenke at lys som reiser ut av et gravitasjonsfelt vil f? en r?dforskyvning mens lys som reiser inn i et gravitasjonsfelt vil f? en bl?forskyvning. Schwarzschild-geometrien kan vi til ? modellere tyngdefeltet p? Jorda ogs?, som betyr at det samme gjelder lys som beveger seg inn og ut av Jordas gravitasjonsfelt (og nei, det er ikke dette som for?rsaker at vi ser en bl? himmel, det har mer med lysbrytning i atmosf?ren ? gj?re, og om dette er interessant kan du lese om Rayleigh scattering).
Fysikk er d?dskult dere! Vi blir aldri lei av fysikk, og vi fortsetter ? eksperimentere videre med generell relativitet, og enda litt til om sorte hull i neste innlegg.