Siden Askeladden skal lengre ut i solsystemet Pjokknes, s? kommer fluksen til ? minke p? grunn av den ?kende radiusen til skallet. Solcelleseilet til Askeladden m? produsere minimum \(40 W\) for at alle instrumentene p? b?ten skal fungere som de skal. Det er dermed viktig ? vite hvor mye seil han m? rulle ut for ? f? \(40 W\) ved de forskjellige planetene. Seilet konverterer kun \(12\%\) av innkommende energi til elektrisitet som vi kan skriver som \(P = 0.12\). Vi antar at str?lingen fra stjernen som n?r seilet er parallelle, fordi n?r avstandene blir store nok blir vinkelen s? liten at linjene kan sees p? som parallelle. Vi kan anta jevn fordeling av str?m over overflaten til seilet p? grunn av parallelle linjer. Den totale utstr?lingen fra en stjerne over tid kalles luminositet og kan uttrykkes som \(L = dE / dt = [W]\). Vi vet allerede at fluks for et sort legeme er \(F_{SL} = dE / dAdt = \sigma T^4\) og vi kan da finne luminositeten til en slik stjerne:
\(\begin{align} F_{SL} &= \frac{dE}{dAdt} = \frac{L}{dA} = \frac{L_\odot}{4\pi R_\odot^2} \\ \sigma T_\odot^4&= \frac{L_\odot}{4\pi R_\odot^2} \\ L_\odot &= 4\pi R_\odot^2\sigma T_\odot^4 \end{align}\), hvor vi har brukt overflate arealet av stjernen og Stefan-Boltzmanns lov fra forrige innlegg.
Askeladden ?nsker jo ? finne hva dette er per kvadratmeter for ? finne n?yaktig ut hvor stort solseilet skal v?re. Luminositet er energi per sekund s? enheten vil v?re watt\([J/s = W]\). Med det nye uttrykket for luminositet, kan vi finne fluks per kvadratmeter ved ? igjen bruke forholdet mellom fluks og luminositet \(F = L / 4\pi r^2\). Da f?r vi fluks per avstand fra stjernen gitt som:
\(F(r) = \frac{L_\odot}{4\pi r^2} = \frac{4\pi R_\odot^2\sigma T^4}{4\pi r^2} = \sigma T^4\left(\frac{R_\odot}{r}\right)^2\), her er \(R_\odot\) radiusen til stjernen og \(r\) avstanden fra stjernen til det legemet vi ser p?.
For solseilet trenger Askeladden som sagt minimum \(40W\) og siden luminositet er gitt i watt kan vi finne en minimumsgrense for arealet ved ? sette \(L = 40W\) og l?se ved ? bruke forholdet mellom fluks og luminositet som vist under. Leker vi oss litt med denne ser vi at avstanden til stjernen er eneste ?kende faktor. Det betyr at minste arealet ?ker desto lengre ute sonden er.
\(\begin{align} F(r) = \frac{L}{A} &\rightarrow L = F(r)\cdot A \\ A &= \frac{L}{F(r)} \\ A_{min} &= \frac{40W}{\sigma T^4\left(\frac{R_\odot}{r}\right)^2\cdot 0.12} \\ A_{min} &= \frac{40W\cdot r^2}{\sigma T^4 R_\odot^2\cdot 0.12} \end{align}\), dette er da en m?te ? finne minimumskravet til st?rrelsen p? seilet til Askeladden for ? generere \(40W\), hvor igjen \(r\) er avstanden til stjernen.
"N?mmen, harr'u sett'a gitt" sier Askeladden. "Det g?r da an ? bruke samme tanke metode for planetene ogs? vel" tenker han. For hvis vi vil finne den totale energien som planetene mottar, er arealet og fluksen kjent, men luminositeten ukjent. Han tenker f?rst at arealet som mottar energi fra stjernen er halve kulearealet til hver planet, men er det egentlig slik? Askeladden tegner opp situasjonen for ? tenke bedre i figur 1. Vi har jo et skall med fluks som brer seg utover, han ser at planetene lager en "2D skygge" i skallet med fluks, arealet som planeten f?r med fluks er dermed arealet av flaten til planeten (\(A = 4\pi R_p^2\)).
Man kan da skrive den totale energien \(L_{p, tot}\) som hver planet mottar fra stjernen som:
\(L_{p,tot} = F(r_p)\cdot A = \sigma T_\odot^4\left(\frac{R_\odot}{r}\right)^2\cdot \pi R_p^2 = \sigma\pi T_\odot^4\left(\frac{R_\odot R_p}{r}\right)^2\), her har vi introdusert en ny variabel \(R_p\) som er radiusen til planeten.
Askeladden antar videre at planetene er sorte-legemer og bruker formelen for total energi \(L_{p, tot}\) og Stefan-Boltzmanns lov \(F_{SL}\) til ? finne overflate temperaturen til planetene. Det betyr at de gir ut den samme energien de mottar og vi kan derfra finne temperaturen p? overflaten, p? samme m?te som vi finner temperaturen p? overflaten til stjernen. Vi har allerede et uttrykk for hva den totale energien er \(L_{p, tot}\) og vi kan finne planetens luminositet som vi gj?r med stjernen \(L_p\). Om planetene da er sorte legemer s? m? \(L_p - L_{p, tot} = 0\rightarrow L_p = L_{p, tot}\), Askeladden finner dermed temperaturen ved:
\(\begin{align} L_p &= L_{p, tot} \\ 4\pi R_p^2\sigma T_p^4 &= \sigma T_\odot^4\left(\frac{R_\odot}{r}\right)^2\pi R_p^2 \\ 4T_p^4 &= T_\odot^4\left(\frac{R_\odot}{r}\right)^2 \\ T_p &= T_\odot\sqrt{\frac{R_\odot}{2r}} \end{align}\), etter en intens kamp mellom konstantene ser vi at temperaturen p? overflaten til planetene \(T_p \) avhenger kun av stjernens radius \(R_\odot\), temperatur \(T_\odot\) og avstanden mellom stjerne og planet \(r\).
Askeladden ser da at hvis avstanden fra stjernen \(r\) blir veldig stor s? vil temperaturen p? overflaten v?re veldig liten. Husker du formelen for arealet til solcelle seilet? Det ble st?rre desto lengre ut man gikk, som igjen betyr at det n?r mindre energi ut til de borteste planetene. Formlene til Askeladden stemmer dermed overens med hverandre, st?rre avstand, lavere temperatur og st?rre minste areal p? solseilet.