Askeladden trenger ogs? et system for ? finne hastigheten til b?ten n?r den drifter gjennom solsystemet. Han kan bruke det han vet om analyse av stjernene til ? finne hastigheten til romskipet ved ? finne hva den radielle hastigheten til de er. Vi analyserer spektrallinjen til hydrogen-alpha for ? finne hastigheten til to stjerner. Hydrogen-alpha spektrallinjen oppst?r n?r ionisert hydrogen gir fra seg energi som et foton. Siden stjerner for det meste brenner hydrogen ved overflaten, er denne den sterkeste linjen som vi kan se. B?lgelengden til H-alpha (\(H_\alpha\)) i laboratoriet er 656.3 [nm]. Med laboratoriet mener vi at energien blir sluppet fra et ionisert hydrogen som er i "ro". Askeladden har tegnet hvordan han fant b?lgelengden i figur 1.
Denne b?lgelengden vil v?re v?r referanse b?lgelengde \(\lambda_0\) [nm]. Grunnen til at Askeladden trenger en referanse b?lgelengde er p? grunn av doppler effekten som vi l?rte om i et tidligere innlegg. Den forteller oss at endringen i b?lgelengde relaterer direkte til den radielle hastigheten til stjernen om massesenteret sitt! Formelen som vi beskriver er
\(\frac{\lambda - \lambda_0}{\lambda_0} = \frac{\Delta\lambda}{\lambda_0} = \frac{v_r}{c}\), hvor \(v_r\) er den radielle hastigheten om massesenteret, \(c\) er lyshastigheten og \(\lambda\) er den m?lte b?lgelengden til stjernen Askeladden ser p?.
Vi kommer til ? trenge hva den radielle hastigheten til stjernen \(v_r\) er, s? Askeladden skriver om formelen over til
\(v_r = \frac{\Delta\lambda}{\lambda_0}c\), her er det kun brukt br?kregler.
Askeladden og Tuslingens team, med Reodor Felgen i front, nede p? Tv?nnoing har funnet posisjonsvinkelen til to stjerner som Askeladden kan bruke og sender det med post opp til b?ten. Disse to vinklene er med respekt til x-aksen og gitt i grader. Vinklene er som f?lger \(\phi_1 \approx 154.4^\circ \approx 2.695\) [rad] og \(\phi_2 \approx 78.7^\circ \approx 1.372\) [rad]. Tilsvarende b?lgelengdeforskjeller var ogs? vedlagt med postfuglen Solan, gitt som \(\Delta\lambda_{\phi_1} \approx -0.00347\) og \(\Delta\lambda_{\phi_2} \approx 0.0119\). Den ene forskjellen er negativ, mens den andre forskjellen er positiv. Vi husker at om forskjellen er negativ er spekteret bl?forskyvet og objektet beveger seg mot oss, positiv forskjell betyr r?dforskyvet og objektet beveger seg dermed bort fra oss. Vi kan se at forholdene mellom vinklene er vist godt i figur 2 og forteller oss hvordan disse stjernene er plassert ut i fra b?tens posisjon.
Askeladden tar verdiene og spikker de inn i formelen. Han antar at de stjernene vi ser p? er s? langt borte at de st?r stille. Da finner vi at den radielle hastigheten til f?rste stjerne er \(v_{r, \phi_1} = -0.33\) [AU/?r] og andre stjerne er \(v_{r, \phi_2} = 1.145\) [AU/?r]. Vi frisker opp minne litt og gjenforteller at [AU/?r] er hastighetsm?l som forteller hvor stor del av avstanden mellom jorda og sola man dekker p? et ?r. N?r Askeladden sjekker spektrografen p? b?ten, ser han at den viser at b?lgelengdeforskjellene til de to stjernene er \(\Delta \lambda_{\phi_1} = \Delta \lambda_{\phi_2} = 0\)! Hva betyr n? det? Askeladden tenkte og tenkte... "Da m? jo jeg sitte i bilen!" ropte han ut! Han hadde nemlig tenkt at hvis man st?r ? ser p? en bil som kj?rer forbi, vil man kunne m?le hastigheten til den bilen. MEN, om man sitter inne i den samme bilen og pr?ver ? m?le hastigheten s? vil m?leren vise 0! B?ten har dermed samme hastighet som stjernen i forhold til referanse stjernene! Disse hastighetene er dessverre ikke gitt i xy-planet som vi jobber i. Dermed m? vi konvertere de ved hjelp av en transformasjon som ser slik ut:
\((d_x, d_y) = \frac{1}{\sin(\phi_2 - \phi_1)}\begin{pmatrix}\sin\phi_2 & -\sin\phi_1 \\ -\cos\phi_2 & \cos\phi_1\end{pmatrix}(d_1, d_2)\), dette ser ut som tung matte, men det er ikke s? veldig vanskelig. Den transformerer sf?riske koordinater (\(\theta, \phi\)) om til kartesiske som vi er vant til (x, y). Om du er interessert kan du finne utledning og forklaring i kildene til Askeladden.
Hastigheten i xy-planet kan dermed finnes ved ? multiplisere verdiene for hastighetene i sf?riske koordinater \((v_{r, \phi_1}, v_{r, \phi_2})\) med matrisen i formelen over, som vi kaller \(u\). Askeladden finner da at b?ten sin hastighet er gitt som \((v_x, v_y) = (v_{r, \phi_1}, v_{r, \phi_2}) \cdot \hat{u} = (-0.84, -0.99)\) [AU/?r]. Men, stemmer n? egentlig dette? Om hastighetene i forhold til stjernen er gitt i en bestemt retning og romskipet m?ler ingen doppler forskjell, m? jo hastigheten til b?ten v?re motsatt av doppler effekten. Hastigheten til b?ten kompenserer for doppler effekten og m? dermed ha en hastighet som er motsatt av den som blir m?lt fra stjernen. Den endelige farten til b?ten er dermed \((v_x, v_y) = (0.84, 0.99)\) [AU/?r] i dette tenkte tilfelle. Hastighetsvektoren i forhold til xy-planet er vist i figur 3.
Den f?rste delen av denne figur 3 viser hastighetsvektoren til solen i forhold til b?ten i xy-planet. Hastighetsvektoren til b?ten b?r dermed v?re det motsatte av det Askeladden ser fra b?ten og hastighetsvektoren er dermed tegnet inn i figur 3 i motsatt retning.
Vi er helt enige med deg, AU/?r forteller oss egentlig ingen verdens ting. Askeladden gjorde derfor vektoren om til noen enheter vi kjenner, nemlig [km/t]. Nysgjerrig p? hvordan han gjorde konverteringen? Sjekk journalen hans. Han endte dermed med \((v_x, v_y) = (14486, 17038)\) [km/t]! P? en motorvei hadde denne hastigheten skaffet deg en heftig bot, men hastigheten for ? opprettholde en geosentrisk bane rundt jorda (som betyr at man beveger seg med rotasjonen) m? hastigheten til satelitter ligger rundt \(11000\) [km/t]. B?ten sin hastighet er dermed ikke fysisk usannsynlig i dette eksempelet.
Et annet potensielt problem i v?re antagelser er hvordan vi har definert det geometriske rommet. Askeladden og Tuslingen har diskutert mye mellom seg hvordan vinklene i forhold til x-planet skal tolkes. Det er fullt mulig at vinklene er definert feil ut i fra det referansesystemet de har fulgt. Grunnen til at vi lurer p? dette er at sjekken som Reodor Felgen har sendt oss, sier at hastighetene er feil. Dette kan ogs? bety at magnituden til hastighetene er feil, men siden vi allerede har argumentert for at de ikke er det s? har vi antatt at de er korrekte. En annen potensiell feil er at omgj?ringen fra sf?risk til kartesisk i simuleringen er implementert feil. Askeladden brukte vektorkalkulus for ? skj?te transformasjonen sammen i simuleringen, men han la merke til at hastighetene endret seg da han endret p? m?ten dette ble lagt inn i simuleringen. St?rrelsene endret seg alts? ved ? endre p? transformasjonen.
Tiltross for at denne metoden har mulige feil, s? laster Askeladden simuleringen opp i b?ten for senere estimering av hastigheten. S?, hva er n? posisjonen til b?ten i solsystemet?
Kilder
[1] AST2000 - Part 4, /studier/emner/matnat/astro/AST2000/h21/undervisningsmateriell/prosjektlop/prosjektdeler/part4.pdf