"N? kan vi vel slippe ned satellitten?" sp?r Tuslingen. "Jo, om du har lyst til ? se en stk dyr teknologi hyle og brenne opp til en god klomp" svarer Askeladden. "Nei, jeg vil jo at den skal lande trygt" fnyser Tuslingen med et bittert ansiktsuttrykk. "Jamen das?! Vi trenger nemlig noen figurer som forteller oss om hvordan temperaturen og tettheten oppf?rer seg oppover i atmosf?ren" utdyper Askeladden. Tuslingen pr?ver ? f?lge med, men detter rett p? rumpa av forklaringen til Askeladden.
Askeladden begynner med ? anta at atmosf?ren til ?tvekdal er uniform. Uniform er et ord han bruker mye, det betyr simpelthen "likhet". Ta et sjakkbrett for eksempel, st?rrelsen p? alle rutene er uniform, alts? like store. Flytter du brikken din ?verst til venstre vil det feltet v?re like stort som et felt p? midten. Samme tankegang bruker Askeladden n?r han ser p? atmosf?ren til ?tvekdal. En bit av atmosf?ren her har like mye metan som en bit av atmosf?ren der.
Han antar ogs? at atmosf?ren er sf?risk symmetrisk, alts? avstanden fra sentrum av planeten til nordpolen er like langt som fra sentrum og til ekvator, vist i figur 1. Det betyr at tettheten til atmosf?ren kan beskrives i form av radius \(\rho = \rho(r)\). Askeladden observerer ogs? at atmosf?ren ikke forlater planeten. Han antar dermed ogs? at den er i hydrostatisk likevekt, som du kanskje vet betyr at et medium er i ro. For atmosf?ren betyr det at gravitasjonskraften som virker p? den og trykket i selve atmosf?ren har samme st?rrelse. Askeladden tegner vektorene til trykket som lilla piler og vektorene til gravitasjonskraften som r?d piler i figur 1. Den lysebl? atmosf?ren rundt den helbl? planeten er ikke skalert, atmosf?ren er mye mindre enn planeten sin radius.
Askeladden tenker videre p? hvordan atomene i atmosf?ren oppf?rer seg. "De kolliderer nok en hel del med hverdandre." mumler han til seg selv f?r han snur helt om og bestemmer seg for at hele atmosf?ren er en ideell gass. Ideell gass, som han har snakket om tidligere, er en gass hvor partiklene ikke reagerer med hverandre. De hverken frast?ter hverandre eller kolliderer uelastisk. Det er jo ganske ulogisk ? anta at partiklene ikke kolliderer med hverandre, men for simuleringen sin del gj?r det ting mye enklere!
?tvekdal har en overflatetemperatur p? \(T_0 = 177\) [K] og Askeladden antar at atmosf?ren er adiabatisk opp til der temperaturen faller under \(T_0 / 2\) [K]. Fra dette punktet setter han at atmosf?ren er isoterm. Adiabatisk betyr nemlig at ingen energi eller masse forlater atmosf?ren til verdensrommet og isoterm betyr at temperaturen er den samme. For atmosf?ren vil det bety at temperaturen ved en gitt radius er den samme rundt hele planeten.
En adiabatisk prosess kommer med et sett med lover og regler. Den har for eksempel en konstant kalt adiabatisk konstant, som forteller om forholdet mellom energien ved konstant volum og konstant trykk i gassen. For atmosf?ren p? ?tvekdal som kan regnes som en di-atomisk gass er konstanten gitt som \(\gamma = 1.4\). Askeladden g?r ikke veldig inn i utledningen til adiabatiske uttrykk, men han bruker forholdet mellom trykk og temperatur som kan skrives som formelen under:
\(P(r)^{1-\gamma}T(r)^\gamma = \text{konstant}\), den sier at produktet mellom trykk og temperatur oppover i atmosf?ren er konstant ved forskjellige radiuser.
Med antakelsene til Askeladden kan man si at atmosf?ren til ?tvekdal er i hydrostatisk likevekt kan han skrive formelen under. Den oppst?r ved ? se p? de forskjellige kreftene som virker p? en liten bit av mediet og hvordan trykket fra oversiden og undersiden av den biten endrer seg.
\(\frac{dP(r)}{dr} = -\rho(r)g(r)\), hvor \(\rho(r)\) er tetthethen til atmosf?ren ved en gitt radius, \(P(r)\) er trykket til atmosf?ren ved en gitt radius og \(g(r)\) er gravitasjonsfeltet til planeten ?tvekdal over en gitt radius.
Askeladden antar videre at avstanden fra overflaten p? ?tvekdal og til slutten av atmosf?ren kommer til ? v?re veldig mye mindre enn radiusen til planeten. Han skriver dermed at gjennom hele atmosf?ren s? er gravitasjonen konstant \(g(r) = g\). Han har ogs? sagt at hele atmosf?ren kan sees p? som en ideell gass. Dermed l?ser han den for trykk og finner formelen under:
\(P(r) = \frac{\rho(r)k_B T(r)}{\mu m_H}\), hvor \(\rho(r)\) er tetthet avhengig av radius, \(k_B\) er boltzmanns konstant, \(T(r)\) er temperatur avhengig av radius, \(\mu\) er gjennomsnittlig molekyl?r masse og \(m_H\) er massen til et hydrogenatom.
Du kan kanskje allerede se hvordan de tre formlene over kan moses sammen til en god formelstappe. Han vet temperaturen p? overflaten til ?tvekdal \(T(r_0 = 0) = T_0\) og kan finne tettheten ved overflaten (\(\rho_0 = \rho(r_{0} = 0)\)). Han antar at temperaturen kommer til ? synke oppover i atmosf?ren, fordi tettheten kommer mest sannsynlig til ? synke. Tettheten kommer til ? synke, fordi jo h?yere du kommer i atmosf?ren jo mindre vekt av partikler er det som dytter p? atmosf?ren og trykket faller. Du m? huske at det Askeladden er ute etter er en modell for tetthet og temperatur avhengig av radius. Askeladden finner f?rst et uttrykk for temperatur og tetthet ved isoterm atmosf?re i formlene under:
\(T(r) = konstant = T_0/2\), temperaturen vil v?re konstant i en isoterm atmosf?re og Askeladden har allerede sagt at atmosf?ren til ?tvekdal er det n?r temperaturen er \(T_0/2\), alts? over den adiabatiske atmosf?ren.
\(\rho(h) = \rho_0 + \exp(-\frac{\mu m_Hg}{k_B T_0} (h - h_b))\), hvor \(h_b\) er grensen hvor atmosf?ren g?r fra adiabatisk til isoterm atmosf?re. Utledning av denne ligger selvf?lgelig i journalen til Askeladden.
Neste p? listen er ? finne temperatur og tetthet i en adiabatisk atmosf?re. Askeladden kommer fram til uttrykkene under:
\(T(h) = T_0 - \frac{\gamma - 1}{\gamma}\frac{\mu m_H g}{k_B}(h - h_?)\), her m? man ikke forvirre \(h_?\) med \(h_b\) fra isotermisk atmosf?re. \(h_?\) er nemlig h?yden ved overflaten til ?tvekdal, s? om man tenker radius s? blir (\(h_? = r_0 = r_? = 3779\) [km]).
\(\rho(h) = \left(\rho_0^{\gamma - 1} - \frac{\gamma - 1}{\gamma}\frac{\mu m_H g}{k_B T_0}(h - h_?)\right)^{\frac{1}{1 - \gamma}}\), hvor \(\rho_0 = 1.147\) [\(kg/m^3\)] er tettheten ved overflaten til ?tvekdal som er kjent fra atmosfisatoren, \(h_?\) er igjen h?yden ved overflaten og \(\gamma\) er den adiabatiske konstanten.
Askeladden modellerer f?rst den adiabatiske temperaturen i figur 2. Han legger inn en prikkete r?d linje for ? merke hvor atmosf?ren g?r fra ? v?re adiabatisk til ? bli isoterm (\(T_0 / 2 = 88.5\) [K]).
Den bl? linjen i figuren viser hvordan temperaturen oppf?rer seg oppover i atmosf?ren, her er 0 ved overflaten til ?tvekdal. Temperaturen synker gradvis mot isotermgrensen, som Askeladden forventet tidligere.
Det neste som er interessant er den adiabatiske tettheten til atmosf?ren. Siden temperatur er avhengig av tetthet, forventer Askeladden at den ogs? kommer til ? synke. Han plotter den adiabatiske tettheten i figur 3. Her markerer den r?de linjen hvor tettheten er lik 0, alts? der det ikke forventes ? se noe partikler.
Tettheten synker med en eksponentiell form, som forventet. Sammenligner vi den adiabatiske tettheten med den adiabatiske temperaturen s? ser det ut til at de to krysser grensene sine ved samme h?yde.
Ved ? se p? de adiabatiske modellene setter Askeladden grensen mellom isoterm og adiabatisk atmosf?re ved \(h_b = 14\) [km]. Bruker Askeladden n? formlene for isoterm atmosf?re f?r han figur 4 og figur 5. I figur 4 kan man se at temperaturen holder seg konstant fra \(h_b\) og oppover. Her ligger den bl? modellen for temperatur rett over grensen for isoterm atmosf?re som forventet.
Ser man videre p? figur 5 s? har man en litt mer interessant observasjon. Her har f?rst Askeladden gjort en feil. Han har modellert en isoterm atmosf?re fra den samme tettheten som er ved overflaten. Her skal det v?re tettheten ved grensen mellom adiabatisk og isoterm atmosf?re. Askeladden har derimot plottet formen p? isoterm atmosf?re. Han kan se at tettheten avtar mye saktere i isoterm atmosf?re enn ved adiabatisk atmosf?re. Dette gir mye mening om man husker p? forholdet mellom de to tilstandene til atmosf?ren.
Askeladden synes det var fryktelig merkelig at tettheten til atmosf?ren til ?tvekdal forsvinner ved en h?yde p? \(14\) [km]. Dette kan komme av feil i Askeladdens implementering av formlene i datamaskinen av treverk. Tenker man p? jorda's atmosf?re s? ligger 99% av den totale massen til atmosf?ren innenfor 30 [km]. Tar man dermed hensyn til at gravitasjonskraften p? ?tvekdal er 66% av jordas, s? h?res ikke \(14\) [km] s? veldig un?yaktig ut allikevel.
"Jeg vet hvor atmosf?ren begynner!" sier Askeladden spankulerende mot Tuslingen. "Da er det bare ? sende oss ned rett over den da!" sa Tuslingen spent. Og ned dro de!
KILDER
[1] Atmosf?ren til jorda: https://apollo.nvu.vsc.edu/classes/met130/notes/chapter1/thin_env.html