Trilaterasjon

Hva kan disse fancy instrumentene gj?re? Glad du spurte! De kan nemlig finne n?yaktig distanse til alle planetene og stjernen rundt oss fra hvor vi er. Den trekker ogs? fra radiusen til planeten og slik vi f?r senteret av planeten eksakt, luksus! Siden vi allerede vet hvordan planetene vil bevege seg i sine baner kan vi finne ut hvor de er til enhver tid. Hva kan s? dette si oss om posisjonen v?r? 

La oss starte med at vi vet at vi er en viss distanse fra en planet, dette sier oss at vi kan befinne oss i en viss sirkelbane rundt planeten. Vet vi to distanser, kan vi s? vite to mulige posisjoner da disse sirklene krysser hverandre og danner to punkter. Har vi en tredje, finner vi hvilken av de to posisjonene vi kan befinne oss i. Alt dette er illustrert under: 

Vi kaller denne prosessen for trilaterasjon, dette er faktisk akkurat hvordan en GPS fungerer. Tre satellitter m?ler avstanden til telefonen din, og finner din n?yaktige posisjon. Matematisk uttrykker vi den mulige posisjonen som hvor differansen mellom de to sirklene er null. Dette gir oss en linje, men hadde vi kun brukt to sirkler, f?r vi et uttrykk for y som vi kan sette inn i sirkellikningen og gitt oss en andregradslikning. ABC-formelen ville s? gitt to punkter som er hvor sirklene krysser. S? vi finner de differansene mellom den tredje sirkelen som er null som gir oss enda en linje. Disse vil krysse hverandre i punktet som er posisjonen v?r.

Dette er s? to likninger p? formen \(y = ax + b\)*, med to ukjente (x og y i posisjonen v?r!). Disse kan vi s? sette inn i en av sirkellikningene og f? v?r eksakte posisjon.  Ganske brukbart eller hva? La oss n? bruke denne metoden til ? l?se for v?res faktiske posisjon, dette skal vise seg ? v?re litt mer komplisert enn det h?res ut som.
_{* Vil du sjekke at dette resultatet er sann, pr?v gjerne ? sette opp likningen \(sirkel_1 - sirkel_2 = 0\) gitt sirkellikningen \((x-x_1)^2 + (y-y_1)^2 = r^2\) hvor \((x_1, y_1)\) er sentrum av sirkelen.
Her er tre sirkler du kan eksperimentere om resultatet blir riktig: \((0,0),\:(6,0),\:(3,3)\) hvor alle har radius 3.}

Hvordan kan vi s? bruke dette til ? finne v?r posisjon? Hvis vi setter inn posisjonene til planetene v?re med x og y koordinater, og hvor langt unna vi er fra planeten, vil vi f? en sirkel med en radius som forteller oss hvor langt vekk fra planeten vi er. La oss bruke instrumentet til ? f? noen m?linger:

Vi bestemmer oss for ? lage et program som l?ser algebraen for oss fordi det er mye enklere ? gj?re endringer og bytte himmellegemer vi bruker for ? l?se for posisjonen v?r p? en datamaskin, i teorien skulle det ikke ha noe ? si, men prosessen som har f?tt oss s? langt viser seg ? ha noen veldig sm? avvik som Python (det programmeringsspr?ket vi bruker) legger merke til og gir rare svar p?.

Setter vi opp to likninger, velger tre vilk?rlige planeter og lar datamaskinen l?se likningsettet, gir det oss nemlig imagin?re tall. F?r du imagin?re tall i matematikken hvor det b?r v?re reelle tall betyr det enten at du har funnet en l?sning som er revolusjon?r, eller, beklageligvis, i v?rt tilfelle at det finnes ingen l?sning.

Hvorfor? Det har seg slik at datamaskiner er ganske n?yaktig, alt for n?yaktig. Dette gj?r at selv om noe er \(0.99999999....\) s? vil ikke maskinen bare si at det er 1. Det m? vi fortelle den. I v?re beregninger hvor vi har numerisk funnet ut planetbanene v?re, er det klart at det vil v?re sm? avvik. Dette avviket har Python f?tt snusen p? og tatt med i sine beregninger. La oss plotte disse sirklene v?re i GeoGebra og se hva som g?r galt:

Som vi kan se, virker det som om at alle linjene krysser hverandre til et punkt, men n?r vi zoomer langt nok inn viser det seg at de ikke krysser hverandre i et enkelt punkt. Det forteller oss at noen tall m? v?re gale, fordi vi er jo en viss distanse fra en planet men det har seg at den kombinasjonen vi har ikke skal eksistere! Siden denne feilen er s? liten, ber vi bare Python om ? f? posisjonen v?r gitt i reelle tall, og da finner den ut posisjonen v?r til ? v?re \(x=7.57465 \mathrm{AU}, y=8.02497\cdot10^{-5}\mathrm{AU}\), som ikke er langt ifra v?r faktiske posisjon p? \(x=7.57466\mathrm{AU}, y=8.06666\cdot10^{-5}\mathrm{AU}\) som gir oss en relativ feil p? x-koordinaten p? 0.00002% og p? y-koordinaten p? 0.5%.

Hva kunne vi ha gjort f?r ? minimalimere feilen planetbanene gir? Det kan l?nne seg ? velge planeter som ikke beveger for mye p? seg, ettersom feilen p? dens bane vil v?re mindre enn planetene n?rmest stjernen (Husk Keplers andre lov om distanse fra stjerna og oml?pstid!). Dette er fordi det er mindre feil "leap frog"-metoden som vi brukte i simuleringen av planetbanene kan ha gjort p? samme tid en planet som har bevegd seg lite i forhold til en som har bevegd seg langt. Merk en numerisk metode vil ikke alltid gi posisjonen helt eksakt! Siden vi har plassert stjernen v?r i origo, er dette et perfekt himmellegeme for ? minimere feilen. Samtidig kan de to ytterste planetene v?re 5 og 2 hjelpe oss. 

Forrige innlegg finner du her