Vi er interessert i den radielle hastigheten til v?r rakett i forhold til stjernen v?r, og for ? finne det har vi om bor p? raketten utstyr som gir oss informasjon om den mottatte b?lgelengden fra to stasjon?re stjerner p? stjernen v?res og som vi mottar p? raketten. Ved ? bruke Doppler effekten kan man finne ut av hvordan stjernen v?r beveger seg i forhold til referansestjernene, og hvordan raketten beveger seg i forhold til referanse stjernene.
F?r vi g?r l?s p? ? bruke den gitte informasjonen til ? finne den radielle hastighetskomponentene til raketten kan det v?re lurt ? g? igjennom konseptet bak ? bruke Doppler effekten. Jeg vil spare deg for bruken av passerende ambulanse, bil eller tog til ? beskrive Doppler effekten.
I gif'en under kan vi se tre bl? sirkler, kilder, som sender ut b?lger. Vi kan her se for oss at b?lgene er EM-str?ling som blir sendt ut fra referanse stjernene. Doppler effekten er sammenpressingen eller forlengelsen av b?lgene avhengig av bevegelsen til kilden i forhold til retningen b?lgene blir sendt ut i.
Vi vil si at \(\lambda_0\) er b?lgelengden som vi m?ler dersom dersom det ikke er noe bevegelse mellom observat?ren og kilden. I v?rt tilfelle er \(\lambda_0 = 656.3 \ nm\), som er b?lgelengden til \(H_{\alpha}\), det vi m?ler fra referanse stjernene. \(H_{\alpha}\) er den b?lgelengden som fotonet har n?r et elektron fra helium g?r fra sitt 3. energiniv?, ned p? det andre energiniv?et.
For ? finne farten vi en gitt observat?r har i forhold til en referanse stjerne kan bli funnet ved ? bruke
\(\frac{\lambda - \lambda_0}{\lambda_0} = \frac{v_r}{c}\Rightarrow \frac{c \cdot (\lambda - \lambda_0)}{\lambda_0} = v_r\) der \(c\) er lysets hastighet i vakuum. Vi kan si at \(\Delta \lambda = \lambda - \lambda_0\), s? n?r \(\Delta \lambda\) har negativ fortegn s? betyr det at observat?ren og kilden beveger seg mot hverandre, og positivt fortegn s? beveger de seg fra hverandre. Vi m?ler dermed mottatt forskyvning i b?lgelengde opp mot en referanse som er \(H_{\alpha}\).
Ved ? bruke v?rt utstyr for ? f? \(\Delta \lambda\) fra hver av referanse stjernene i forhold til v?r egen stjerne og rakett s? vet vi kun hvordan stjernen og raketten beveger seg i forhold til referanse stjernene. Vi ?nsker ? finne ut av hvordan raketten beveger seg i forhold til v?r egen stjerne. For ? finne ut av dette kan vi bryte ned konseptet vi vil bruke fra 2 dimensjoner ned til en dimensjon.
Vi og en annen medstudent, eller venn, har hver v?res biler, og en dag bestemmer vi oss for ? kj?re over en rett strekning for ? teste diverse utstyr. Grunnen til at vi kj?rer er ikke s? viktig, det som er viktig er m?ten vi m?ler farten til de to bilene. Utstyret som er montert i bilene gir oss farten i forhold til v?rt referanse objekt som i dette tilfelle er en bygning.
N?r vi setter i gang kj?rer begge fra objektet i samme retning som vi har definert som positiv retning, og fra apparatene i bilene vet vi at vi kj?rer med en hastighet p? \(v_1 = 5 \ m/s\), og v?r venn ved siden av kj?rer med en hastighet p? \(v_2 = 3\ m/s\). N? bytter vi referansesystem for vi er interessert i ? vite hvor fort vi kj?rer i forhold til vennen v?res, s? det betyr at hele systemet n? beveger seg med \(b_2\), bilen v?r venn kj?rer. For ? finne hvor fort vi n? kj?rer i det nye referansesystemet s? m? vi vite hvor fort referansesystemet, \(b_2\), beveger seg for s? ? ta v?r egen hastighet og trekke fra hastigheten som systemet beveger seg med. Dette gir oss at v?r hastighet, \(V\), i forhold til \(b_2\) er \(V = v_1 - v_2 \Rightarrow 5 -3 \Rightarrow V = 2\ m/s\). Se gjerne p? illustrasjonen over for det viser det som nettopp ble forklart. Dette er m?ten vi vil finne hastighetskomponentene til raketten i forhold til stjernen v?r.
Vi vil ha 2 hastighetskomponenter, en for hver av referansestjernene. Vi vil si at origo er plassert i sentrum av v?r egen stjerne, og vi vet ogs?, ut fra observasjoner, vinkelen som de to referansestjernene har med x-aksen. Vi er n? n?dt til ? gj?re nok en koordinat transformasjon, der vi n? har en linje gjennom origo, stjernen v?r, som g?r gjennom hver av de to referansestjernene. Dette blir v?re nye akser som s? m? bli rotert om aksene slik at hver av stjernene har samme vinkel i forhold til x-aksen som de hadde i det vanlige koordinatsystemet. Vinklene stjernen har i forhold til aksene er for den f?rste stjernen \(\phi_1 = 97.2^o\) og for den andre stjernen \(\phi_2 = 348.5^o\). Rotasjonen blir da som f?lger vist i videoen under.
Vi ser for oss at begge stjernene starter p? samme sted og p? grunn av konvensjon s? vil vi rotere \(\phi_2\) mot klokken og \(\phi_1\) med klokken. De oransje punktene representerer referanse stjernene, og pilen p? de fargede linjene indikerer hva som blir definert som positiv retning. Den bl? punktet i origo er v?r stjerne. Verdt ? merke seg er at dette ikke er riktig skalert, for det er ment til ? illustrere hva som skjer. Vi kan ogs? anse \(\phi_1\)som v?r x-akse og \(\phi_2\) som y-aksen i det transformerte koordinatsystemet.
Grunnen til at man g?r gjennom bryet med ? transformere koordinatsystemet er at man da slipper ? m?tte dekomponere hastigheten man f?r ut etter ? ha funnet ut hastigheten vi, eller stjernen, beveger seg i forhold til referanse stjernene. S?nn sett gj?r det utregningen letter ved ? slippe ? m?tte ta hensyn til retningen den m?lte \(\Delta \lambda\)har utenom n?r man transformerer det tilbake til det vanlige koordinatsystemet.
For ? transformere, rotere, fra det vanlige koordinatsystemet til det andre s? har vi f?lgende rotasjons matrise
\(\begin{pmatrix} d_1 \\ d_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\cos{\phi_1} & \sin{\phi_1} \\ \cos{\phi_2} & \sin{\phi_2}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} d_x \\ d_y \end{pmatrix}\) her er \(d_x\) og \(d_y\) x og y verdien til et punkt i det vanlige koordinatsystemet, n?r man putter det inn i resten av uttrykket sammen med vinklene for referanse stjernene s? vil matrisen rotere p? koordinatsystemet og dermed ogs? flytte punktet til sin tilsvarende plass i det nye systemet. Dette kan gj?res baklengs ogs?, at vi har \(d_1\) og \(d_2\) verdiene, som vi s? setter inn og f?r ut de vanlige verdiene for det normale koordinatsystemet. Dette f?r vi gjennom ? bruke f?lgende formel
\(\begin{pmatrix} d_x \\ d_y \end{pmatrix} = \dfrac{1}{\sin{(\phi_2 - \phi_1)}}\begin{pmatrix}\sin{\phi_2} & - \sin{\phi_1} \\ - \cos{\phi_2} & \cos{\phi_1}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} d_1 \\ d_2 \end{pmatrix}\)
vil du l?re mer s? har 3Blue1Brown en video for dette temaet som du kan finne her.
Noe som er verdt ? merke seg er at p? grunn av at avstandene mellom raketten til referanse stjernene, og v?r egen stjerne til dem ser s? utrolig store i forhold til avstanden fra raketten til v?r egen stjerne, s? trenger vi ikke ? ta hensyn til noen vinkler for ? dekomponere hastigheten man f?r fra hver enkelt m?ling. Det betyr at n?r vi finner v?r radielle hastighet i forhold til v?r egen stjerne s? kan vi trekke hastigheten stjernen har i forhold til referanse stjernene fra v?r raketten sin hastighet f?r vi transformerer om komponentene tilbake til det vi ?nsker.
Det vi n? gj?r for ? finne hastigheten i forhold til v?r egen stjerne s? m?ler vi f?rst \(\Delta \lambda\)fra hver av stjernene som v?r egen stjerne og raketten mottar, deretter gj?r vi det om til en hastighet komponent via ? bruke \(\frac{c \cdot \Delta \lambda}{\lambda_0} = v_r\). Deretter tar vi komponentene til raketten og trekker fra med komponentene som v?r stjerne har for s? ? bruke formelen for transformasjonen fra det roterte systemet tilbake til det vanlige for ? f? hastighet komponentene som raketten har i forhold til v?r egen stjerne.
Utregningen blir som f?lger, starter med ? finne komponentene for v?r egen stjerne i det transformerte systemet
\(\left\{\begin{matrix} \Delta_s \lambda_0 = -0.00523 \\ \Delta_s \lambda_1 = \ \ 0.00793 \end{matrix} \right \} = \left\{\begin{matrix} v_{S_0} = -0.50 \\ v_{S_1} = \ \ 0.76 \end{matrix}\right\} \)
deretter for raketten
\(\left\{\begin{matrix} \Delta_r \lambda_0 = \ \ 0.0439 \\ \Delta_r \lambda_1 = -0.0547 \end{matrix} \right\} = \left\{\begin{matrix} v_{R_0} = -5.27 \\ v_{R_1} = \ \ 4.23 \end{matrix}\right\}\)
\(V = v_r - v_s \Rightarrow V = \begin{pmatrix} -4.76 \\ \ \ 3.47 \end{pmatrix}\) etter transformasjon f?r vi hastigheten for raketten \(V = \begin{pmatrix} -2.63 \\ \ \ 4.47 \end{pmatrix} AU/yr\)
NB! tallene som er gitt fra utregningen er det vi fikk ved ? bruke den ekstra justeringen som blir snakket om i resten av dette innlegget.
En m?te man kan sjekke om dette stemmer s? kan vi se p? et tilfelle der den mottatte \(\Delta \lambda\) som raketten m?ler er lik 0 s? betyr det at raketten ikke beveger seg i forhold til stjernen. Det betyr derimot at raketten beveger seg like fort og i samme retning som v?r egen stjerne beveger seg i forhold til referanse stjernene.
Dette kan vi ogs? se om vi bruker vi utregningen ovenfor s? vil \(V = 0\) som betyr at \(v_r = v_s\). F?rste gangen vi gjorde testen s? fikk vi \(V = [-0, -0]\) og uten ? gj?re justeringer s? viste dette seg ? gi oss hastigheten vi skulle ha, men med motsatte fortegn, s? vi endret litt p? rotasjons matrisen slik at vi skulle f? riktig fortegn ved ? gange inn \(-1\). M?ten vi fant ut av dette var ? tegne opp situasjonen og sammenlikne med det vi vet fra f?r av.
Vi vet fra f?r av at planeten roterer mot klokken og bruker mer enn 24 timer p? ? gj?re dette, det betyr at hastigheten raketten f?r fra rotasjonen alene ikke er s? stor. Vi hadde oppskytningen rettet mot v?r egen stjerne, og det tok rundt 572 sekunder. P? grunn av tiden det tok ? skyte opp, i forhold til tiden det tar for planeten ? rotere rundt sin egen akse, s? vil bidraget fra rotasjonen v?re veldig liten p? grunn av hvor mye den rekker ? rotere p? den korte tiden. Vi vet ogs? retningen planeten g?r i bane rundt stjernen, og det er her en del av hastigheten i y retning vil komme fra.
Dette er informasjon vi vet fra tidligere innlegg, og bildet under viser oss situasjonen. Hastighet vektoren, som er de r?d og bl? pilene, er v?re m?lte radielle hastighet ved bruk av Doppler metoden fra dette innlegget. Den bl? vektoren er fra det vi fikk f?rste gangen uten ? rette opp i fortegn. V?r st?rste indikasjon p? at dette m? v?re feil er retningen for x komponenten. Den bl? har denne pekende inn mot planeten som er i motsatt retning av det vi hadde for oppskytingen. Y komponenten er ogs? i feil retning ettersom vi hovedsakelig sk?yt rett opp fra overflaten, som betyr at vi ikke har noe som gir en hastighet i y retning utenom rotasjonen og bevegelsen til v?r egen planet. N?r fortegnet ble snudd ga det oss den r?d vektoren, som er langt mer rimelig retning for hastigheten. Her er da retning for b?de x og y komponenten i riktig retning. Y komponenten kommer av at bevegelsen til planeten er langt st?rre enn det rotasjonen ville ha bidratt med i y retning. X komponenten p? grunn av retningen vi sk?yt opp raketten i.
\(\begin{pmatrix} d_x \\ d_y \end{pmatrix} = - \dfrac{1}{\sin{(\phi_2 - \phi_1)}}\begin{pmatrix}\sin{\phi_2} & - \sin{\phi_1} \\ - \cos{\phi_2} & \cos{\phi_1}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} d_1 \\ d_2 \end{pmatrix}\)
Med dette s? fikk vi den hastigheten vi skulle ha.
Forrige innlegg finner du her
Neste innlegg finner du her