Det har seg s?nn at jeg hadde sendt ut en satellitt for ? observere et svart hull, og n?r jeg skulle sende den i en n?rmere bane sviktet motorene! Er det mulig at satellitten min overlever?
De siste jeg vet er at den var i en bane rundt det svarte hullet p? en distanse 20M fra det svarte hullet med en masse M. Tangentiellfarten var 0,993c med en vinkel p? 167°. Her, la meg tegne det opp for deg.
Hvordan skal vi s? vite om den blir slukt eller ikke? Jo, vi vet at det s? lenge vi er ikke har en stor nok effektiv potensiell energi, trenger vi ikke ? v?re redd. Hva gj?r den mer effektiv enn den vanlige potensielle energien? Effektiv potensiell energi er det ? skrive den totale energien p? formen \(A = Bv^2 + V_{eff}(r)\). Dette betyr at for det vanlige tilfellet vil den effektive potensielle energien v?re den vanlige potensielle energien, men dette skjer n?dvendigvis ikke alltid:
\(V_{eff}(r) = \frac{(L/m)^2}{2r^2}-\frac{GM}{r}\)
Du ville ha kommet fram til dette uttrykket selv om du hadde delt opp hastigheten til en radiell og tangentiell, og suttet inn formelen som relaterer tangentiell hastighet og spinn! Merk ogs? at vi har gjort energien massel?s.
Vi m? derfor finne den massel?se energien. Hva var den massel?se energien definert som?
\(\frac{E}{m} = (1-\frac{2M}{r})\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}\tau}\)
Vi omskriver s? \(\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}\tau} = \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}t_{shell}}\frac{\mathrm{d}t_{shell}}{\mathrm{d}\tau}\). Siden vi ser p? et inertialsystem med skallet og den utenfor systemet, kan vi forenkle uttrykket slik at vi finner lorentzfaktoren. Kanskje du husker formelen for denne i en forrige bloggpost? Vi hadde jo nemlig at forholdet mellom de skulle gi lorentzfaktoren! For den siste m? vi bruke Schwarzschild siden \(\tau\) er egentiden til satellitten, dette referansesystemet endrer seg hele tiden.
\(\frac{E}{m} = \sqrt{1-\frac{2M}{r}}\gamma_{shell} \\ \gamma_{shell} = \frac{1}{\sqrt{1-v_{shell}}} \\ \Delta t = \sqrt{1-\frac{2M}{r}}\Delta t_{shell}\)
Flott! Vi vil s? finne ekstremalverdien for den effektive potensielle energien. Dette vil s? fortelle oss hvor h?y effektiv potensiell energi satellitten m? ha for ? bli slukt. Vi bruker formelen for effektiv potensiell energi som inkluderer relativistiske effekter:
\(V_{eff}(r) = \sqrt{(1-\frac{2M}{r})(1+(\frac{L/m}{r})^2)}\)
Slik som hvilken som helst annen vilk?rlig funksjon, finner vi ekstremalpunktet hvor den deriverte er lik 0.
\((V_{eff}(r_{extremum}))' = \frac{M(3(L/m)^2+r_{extremum}^2)}{(L/m)^2r_{extremum}} = 0 \\ r_{extremum} = \frac{(L/m)^2\pm\sqrt{(L/m)^4-12(L/m)^2M^2}}{2M} = \frac{(L/m)^2}{2M}(1\pm\sqrt{1-\frac{12M^2}{(L/m)^2}})\)
Men for ? l?se dette m? vi jo vite spinnet! Definisjonen for spinn er:
\(L = I\omega\cdot\sin{\theta}\)
Hvor treghetsmomentet (I) er gitt som det for en ring og vi omskriver vinkelhastigheten (\(\omega\)) til sin differensialform:
\(\frac{L}{m} = r^2\frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}\tau}\)
Vi vet s? at spinnet er konservert ettersom kun gravitasjonskraften fungerer p? satellitten, som ikke kan p?virke spinnet.
\(r^2\frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}\tau} = r\cdot r\frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}t_{shell}}\cdot\frac{dt_{shell}}{d\tau}\cdot\sin{\theta} = rv_{shell}\gamma_{shell}\sin{\theta}\)
Vi gjorde s? en lorentztransformasjon av vinkelhastigheten for ? vite hastigheten i satellittens referansesystem.
N? som vi har alle tallene, kan vi plotte systemet:
Oops... Det viser seg s? at satellitten min har for mye energi og vil bli slukt av det svarte hullet med mindre det blir tilf?rt noe energi f?r Schwarzschildradiusen, ogs? kjent som event horizon. Javel, vi kan i det minste se litt n?rmere p? hva som vil skje med satellitten n?r vi kommer til event horizon, hva er tiden m?lt ombord? La oss si at det svarte hullet er Saggitarius A*, det kjempestore svarte hullet i midten av melkeveien. Massen dens er s? \(4\cdot10^6 \mathrm{M_\bigodot}\). Vi gj?r det ogs? enklere for oss selv og sier at spinnet er lik 0.
Vi har fra Schwarzschildgeometrien at:
\(\Delta \tau^2 = \Delta s^2 = \left(1-\frac{2M}{r}\right)\Delta t^2 - \frac{\Delta r^2}{1-\frac{2M}{r}}-r^2\Delta \phi^2\)
Vi omskriver s? formlene for konservert energi og spinn for ? finne \(\Delta t\) og \(\Delta \phi\):
\(\frac{E}{m} = (1-\frac{2M}{r})\frac{dt}{d\tau}\\ \Delta t = \frac{E}{m(1-\frac{2M}{r})}\Delta \tau \\ \frac{L}{m} = r^2\frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}\tau} \\ \Delta \phi = \frac{L}{mr^2}\Delta\tau\)
Som vi husker, var spinnet null og \(\Delta \phi\) blir s? 0. Vi setter s? inn uttrykkene og l?ser for \(\Delta r\).
\(\Delta \tau^2 = \left(1-\frac{2M}{r}\right) \left(\frac{E}{m(1-\frac{2M}{r})}\right)^2\Delta \tau^2 - \frac{\Delta r^2}{1-\frac{2M}{r}} \\ \Delta \tau = -\frac{1}{\sqrt{(\frac{E}{m})^2+\frac{2M}{r}-1}}\Delta r\)
Vi kan s? integrere p? begge sider for ? regne tiden ombord. Vi vet at vi drar fra nullpunktet v?rt til 2M som er hendelseshorisonten
\(\tau = \int\limits_0^{2M}-\frac{1}{\sqrt{(\frac{E}{m})^2+\frac{2M}{r}-1}}\Delta r = 0.242M\)
Vi kan s? bare sette inn massen v?r etter vi har endret enhet til sekund:
\(0.242\cdot4\cdot10^6\cdot M_\bigodot \frac{G}{c^3} \approx 4.76913 \mathrm{s}\)
Satellitten vil s? oppleve at det har g?tt 4.7 sekunder. Hva skjer s? egentlig med satellitten i hendelsenshorisonten? Den blir spaghettifisert, dratt ut. Dette er fordi at ved singularity g?r kraften som drar p? satellitten mot uendelig, men siden satellitten har en lengde, vil denne kraften v?re annerledes mellom toppen og bunnen.
Vi ser s? at det ikke er noe h?p for satellitten min da den hadde for h?y energi og kunne komme seg over den kritiske energien. Dette gjorde at satellitten forsvant inn i hendelseshorisonten som vi viste ville ta 4.7 sekunder p? satellittens klokke ved ? integrere over alle inertialsystemene til hendelseshorisonten. Satellitten blir s? spaghettifisert og strekt ut til det uendelige.