Den r?de og den bl? raketten har endelig blitt enige om en v?penhvile, og bestemmer seg for ? spille bordtennis for ? feire. Som sist farer de i samme retning med konstant hastighet, men denne gangen beveger de seg i negativ x-retning. Vi st?r derimot n? i ro. Den r?de raketten skyter en laserstr?le p? den bl?, men den bl? reflekterer denne laserstr?len tilbake. Vi observerer hendelsen fra raketten v?r igjen, men fra en tryggere avstand. De to rakettene har en avstand L' mellom de. Vi har s? to referansesystemer, et som f?lger rakettene, og et som f?lger raketten v?r. Rakettene beveger seg med en hastighet p? 0.65c i referansesystemet til romskipet v?rt. Vi ser p? problemet f?rst fra rakettene sitt referansesystem. Det som blir observert er at den r?de raketten skyter laseren f?rst, s? reflekter den bl? raketten den. Samtidig, i dette referansesystemet, skjer det en eksplosjon om bord raketten v?r. Til sist reflekterer den r?d raketten laserstr?len igjen. La oss tegne opp systemet v?rt og gi de navn. Vi kaller eventet hvor r?d rakett skyter ut sin laserstr?le for event A.
Vi kaller s? eventet hvor bl? rakett reflekter laserstr?len for event B, og eksplosjonen p? raketten v?r for event C.
Og til sist blir at laserstr?len blir reflektert av den r?de raketten igjen kalt event D.
Som du kanskje husker fra forrige bloggpost, s? nevnte vi at lysets hastighet er konstant i alle referansesystemer. S? fra rakettene sitt referansesystem vil s? laserstr?len ta like lang tid ? komme seg fram og tilbake over distansen. Tiden det tar mellom event A og B (\(\Delta t'_{AB}\)) m? s? v?re lik tiden det tar mellom event B og D (\(\Delta t'_{BD}\)).
Fra raketten v?r derimot s? st?r jo ikke rakettene i ro! Du husker jo kanskje at fra forrige bloggpost at forskjellige referansesystemer kan observere en forskjellig tid fra en annen. Det er akkurat det som vi vil observere fra raketten v?r. Da vi st?r i ro, vil jo den bl? raketten bevege seg mot laserstr?len, og det vil v?re en kortere distanse for lyset ? g?. I motsetning vil den r?d bevege seg vekk fra str?len, og det vil v?re en st?rre distanse for lyset ? g?. Vi kan dermed konkludere at tiden mellom
event A og B (\(\Delta t_{AB}\)) i v?rt romskips referansesystem vil v?re mindre enn tiden mellom event B og D (\(\Delta t_{BD}\)).
La oss n? se p? det samme systemet hvor vi bruker en faktisk bordtennisball istedet for en laserstr?le. Rakettene beveger seg fortsatt i negativ x-retning, men n? i kun 50km/t. Bordtennisballen har alltid en konstant hastighet i rakettenes referansesystem p? 80km/t. Denne bordtennisballen er i motsetning til lys ikke tvunget til ? bevege seg med en konstant hastighet i alle referansesystemer. Hva ville vi s? observert fra romskipet v?rt?
La oss tenke over det. Den r?de raketten som flyr i 50km/t observerer at ballen har en fart p? 80km/t i positiv x-retning. Dette m? jo bety at fra romskipet v?rt som st?r stille, vil jo ballen kun ha en fart 30km/t. Ettersom \(80 \mathrm{km/t} - 50\mathrm{km/t} = 30\mathrm{km/t}\). Den relative hastigheten er jo gitt ved ? legge sammen hastighetene fra et nullpunkt. Setter vi 80km/t som nullpunkt f?r vi -50km/t, som er det den r?de raketten vil observere. Du kan tenke p? dette som n?r du l?per med en fart 5m/s p? et tog som g?r 30m/s, s? vil du ha en total fart fra en observat?r utenfra p? 35m/s.
Hva er da farten p? tilbaketuren? Her flyr jo den bl? raketten med bordtennisballen! For at den skal ha en konstant fart p? 80km/t m? den jo ha 50km/t fra nullpunktet i rakettenes referansesystem. Dermed blir det observert fra v?rt romskip at ballen flyr med en hastighet p? 130km/t. Siden farten er annerledes p? hver veg for en observat?r utenfra, vil hver referansesystem ikke v?re enige om bordtennisballens fart. Allikevel ser vi jo at denne ?kte farten vil kompensere for tiden det tok mellom de, slik at tiden mellom event A og B vil v?re lik tiden mellom event B og D! Dermed kan begge referansesystemene v?re enige om tiden.
Vi returnerer s? tilbake til ? bruke en laserstr?le igjen, og vi har akkurat f?tt inn heftige data fra romtenniskampen. La oss sette opp en tabell over det vi vet:
| Rakettene | Romskipet v?rt | |||
|---|---|---|---|---|
| Akse | x' (km) | t' (ms) | x (km) | t (ms) |
| A | 0 | 0 | 0 | 0 |
| B | 400 | 1.33765 | xB | tB |
| C | 260.661 | 1.33765 | 0 | tC |
| D | 0 | 2.67629 | xD = -vtD | tD |
Vi introduserer n? et konsept som alle referansesystemer kan v?re enige om. Tideromsavstanden er konstant. Tideromsavstanden kan tenkes p? som hypotenusen p? en trekant hvor hver katet er posisjon og tiden m?lt. S? lenge hypotenusen er konstant, kan posisjonen og tid forflytte seg fritt. Dette holder seg konsistent med det vi har observert. Det er et problem derimot. Tiderommet er ikke helt euklidisk, men har lorentzgeometri. Dette betyr bare at istedet for ? legge sammen katetene og ta kvadratroten, finner vi distansen ved ? trekke katetene fra hverandre. Vi kan bruke dette prinsippet til ? finne tideromsdistanser for eventene fra rakettenes referansesystem, og vite at disse vil v?re lik i v?rt romskips referansesystem. Vi skriver opp formelene for tideromsdistansen mellom event A og B i begge systemer:
\(\Delta s^2= \Delta t^2 - \Delta x^2\)
\(\Delta s'^2_{AB} = (t'_B - t'_A)^2 - (x'_B - x'_A)^2 = t'^2_B - x'^2_B \\ \Delta s^2_{AB} = (t_B - t_A)^2 - (x_B - x_A)^2 = t^2_B - x^2_B\)
Vi velger derimot ? bruke naturlige enheter igjen dette betyr at vi gj?r posisjonen om til lyssekunder ved \(\frac{400}{c} \approx t'_B\). I rakettenes system vil jo tiden det har tatt for laserstr?len ? komme til den bl? raketten v?re lik lyssekundene det tar. De er derfor like! Vi skriver s?:
\(t'_B = x'_B\)
Dette medf?rer at tideromsdistansen for v?rt romskips system ogs? er 0, og vi f?r at:
\(t_B = x_B\)
La oss n? skrive opp tideromsdistansen for event A og C i begge systemer, her kan det l?nne seg ? huske at B og C skjedde simultant i rakettenes referansesystem:
\(\Delta s'^2_{AC} = (t'_C - t'_A)^2 - (x'_C - x'_A)^2 = t'^2_B - x'^2_C \\ \Delta s^2_{AC} = (t_C - t_A)^2 - (x_C - x_A)^2 = t^2_C\)
Vi setter s? disse tideromsavstandene like og f?r:
\(t_C = \sqrt{t'^2_B-x'^2_C} \\ t_C = (\sqrt{1.33765 \mathrm{ms})^2-(\frac{260.661}{c}\cdot10^6 \mathrm{ms})^2} \approx 1.01653 \mathrm{ms}\)
N? som vi vet n?yaktig n?r eksplosjonen tok sted i romskipet v?rt i romskipet v?rts referansesystem, er jo sp?rsm?let om at n?r den bl? raketten reflekterte laserstr?len skjedde simultant med eksplosjonen i v?rt system. Vi setter s? opp tideromslikningene igjen og ser:
\(\Delta s'^2_{AB} = (t'_C - t'_B)^2 - (x'_C - x'_B)^2 = -(x'_C- x'_B)^2 \\ \Delta s^2_{AB} = (t_C - t_B)^2 - (x_C - x_B)^2 = (t_C-t_B)^2 - t^2_B\)
Her l?nner det seg ? huske hva vi hadde vist og hvilke verdier vi kjenner! Dermed setter vi de lik hverandre igjen og l?ser for tB som gir oss svar:
\(-(x'_C- x'_B)^2 = (t_C-t_B)^2 - t^2_B \\ t_B = \frac{x'^2_C - 2x'_Cx'_B + t_C^2 + x'^2_B}{2t_C} \\ t_B = \frac{(\frac{260.661}{c}\cdot10^6\mathrm{ms})^2-2(\frac{260.661}{c}\cdot10^6\mathrm{ms})(\frac{400}{c}\cdot10^6\mathrm{ms})+(1.01653 \mathrm{ms})^2+(\frac{400}{c}\cdot10^6\mathrm{ms})^2}{2(1.01653 \mathrm{ms})} \\ t_B = 0.614521 \mathrm{ms}\)
Vi ser s? at eksplosjonen p? skipet skjer etter at laserstr?len blir reflektert hos det bl? romskipet! Det betyr at vi s? bare har en ukjent igjen, nemlig TD. Vi velger oss tideromsavstanden fra A til D for ? f? de enkleste utregningene.
\(\Delta s'^2_{AD} = (t'_D - t'_A)^2 - (x'_D - x'_A)^2 = t'^2_D \\ \Delta s^2_{AD} = (t_D - t_A)^2 - (x_D - x_A)^2 = t^2_D - (-vt_D)^2 = t^2_D(1-v^2) \\\\ t^2_D(1-v^2) = t'^2_D \\ t_D = \sqrt{\frac{ t'^2_D}{1-v^2}} \\ t_D = \sqrt{\frac{(2.67679\mathrm{ms})^2}{1-0.65^2}} = 3.5224 \mathrm{ms} \\ \)
Vi kan s? sette opp alle tidsintervallene for laserstr?len enkelt og greit da vi vet at i romskipets referansesystem skjer eventene i rekkef?lgen A, B, C, D:
\(\Delta t_{AB} = t_B - t_A = 0.614521 \mathrm{ms} \\ \Delta t_{BD} = t_D - t_B = 3.5224 \mathrm{ms} - 0.614521 \mathrm{ms} = 2.907879 \mathrm{ms}\)
For ? konkludere har vi s? vist at vi kan bruke tideromsavstanden til ? finne ukjente variabler i et annet referansesystem. Dette viser seg ? v?re et av de beste verkt?yene vi kan ha innenfor den spesielle relativitetsteorien til ? l?se problemer som kan v?re vanskelig ? gjette seg fram til. Vi kommer fram til dette i kjernen av denne delen, nemlig tvillingparadokset!