Vi har n? sett p? temperaturene p? overflaten p? alle planetene. Vi har bestemt oss for ? velge planet 1, som er den andre planeten i v?r beboelige sone. Vi kaller denne planeten Casjoh. Denne er en steinplanet, akkurat som hjemplaneten v?r. Vi har 7 steinplaneter og én gassplanet i solsystemet v?rt. Vi kunne ha valgt ? reist til en planet utenfor den beboelige sonen, men vi er veldig glad i kaffe, og for ? ikke f? abstinenser s? m? vi dra til en planet med tilgang p? flytende vann.
? reise til en gasskjempe hadde v?rt dumt, siden de har en tykk atmosf?re med tung gravitasjon som ville gjort det komplisert for oss ? lande. Slike planeter har h?yhastighetsst?vstormer som gj?r det vanskelig ? for oss ? se noe n?r vi lander. Men som vi har nevnt tidligere, s? m? vi regne ut hvor stort solcellepanelet v?rt skal v?re. Vi trenger \(40 \ \text W\) med elektrisk kraft. Planet 1 er ganske n?rme solen, s? vi burde ikke trenge et veldig stort solcellepanel. Da f?r vi igjen bruk for ligning \((4)\) fra forrige bloggpost:
\(A = \frac{40 \text W}{F_\text{mottatt} \cdot 0,12}\)
hvor \(F_\text{mottatt}\) er fra ligning \((3)\). Hvis vi setter inn denne, f?r vi uttrykket:
\(A = \frac{40 \text W \ \cdot \ r^2}{\text R_\text s^2 \sigma T_\text s^4 \ \cdot \ 0,12}\) \((9)\)
hvor \(40 \ \text W\) er den elektriske kraften som trengs, \(r\) er avstanden mellom stjerna og planeten m?lt i meter, \(\text R_\text s\) er radiusen til stjerna m?lt i meter, \(\sigma\) er Stefan-Boltzmann konstanten, \(T_\text s\) er overflatetemperaturen p? stjerna m?lt i Kelvin og faktoren 0,12 representerer effekten.
Vi finner avstanden \(r\) mellom stjerna og Casjoh ved ? se p? hvor planeten befinner seg det p? det siste tidssteget i simulasjonen v?r. Dette betyr i praksis at vi henter ut den siste posisjonen til planet 1 fra utregningene i simulasjonen vi gjorde tidligere. Deretter kan vi regne vi ut arealet som er n?dvendig for solcellepanelet:
\(A = \frac{40 \ \text W}{1096.676 \frac{\text W}{\text m^2}\ \cdot \ 1344785895578.072\ \text m} = 0,30 \ \text m^2\)
Da f?r vi at arealet blir \(0,30 \ \text m^2\). Dette tilsvarer et panel som er \(0,55 \ \text m \) ganger \(0,55 \ \text m\).
Er svaret rimelig?
Du tenker sikkert; dette var da et veldig lite areal? Kan det v?re rimelig?
Planeten vi skal til, Casjoh, er veldig n?rme stjerna, og mottar derfor en sterk str?lingsenergi fra stjerna. Vi har snakket om tidligere at fluksen planeten mottar reduseres med avstanden, og derfor er fluksen planet 1 mottar, st?rre enn for andre planeter lengre ute i solsystemet. Siden effekten som kreves kun er \(40 \ \text W\), som er en lav effekt, s? er arealet vi regnet ut realistisk. Du kan tenke p? en lysp?re som har \(40 \ \text W\).
N?r vi trenger en s? lav effekt og planetens gunstige plassering i forhold til stjerna, s? vil et lite areal som \(0,30 \ \text m^2\) v?re rimelig nok til ? kunne generere \(40 \ \text W\) til tross for solcellepanelets effektivitet. N?rheten til stjerna vil alts? kompensere for den lave effektiviteten.
Gravitasjonen som virker p? romfart?yet
Vi vet fra Newtons gravitasjonslov at gravitasjonskraften mellom to legemer kan uttrykkes slik:
\(F_\text{gravitasjon} =\text G\frac{Mm}{r^2}\)
hvor:
- \(\text G\) er gravitasjonskonstanten
- \(M\) er massen til det ene legemet m?lt i kg
- \(m\) er massen til det andre legemet m?l i kg (i v?rt system vil denne representere romfart?yets masse)
- \(r\) er avstanden mellom legemene m?lt i meter
Vi skal se hvordan gravitasjonskreftene fra b?de stjerna og planeten p?virker romfart?yet. Vi antar at gravitasjonskraften fra planeten p? romfart?yet er en faktor \(k\) ganger st?rre enn gravitasjonskraften fra stjernen p? romfart?yet.
La oss pr?ve ? finne et generelt uttrykk som beskriver avstanden mellom planeten og romfart?yet. Vi definerer denne avstanden til ? v?re lik \(l\).
Fra Newtons gravitasjonslov vet vi at gravitasjonskraften fra planeten p? romfart?yet blir slik:
\(F_\text{gravitasjon fra planeten}= \text G\frac{\text M_\text{planet} \ \cdot \ \text m_\text{romfart?y}}{l^2}\) \((10)\)
Og det blir da slik for gravitasjonskraften fra stjernen p? romfart?yet:
\(F_\text{gravitasjon fra stjernen}=G\frac{M_\text{stjerne}\cdot m_\text{romfart?y}}{r^2}\) \((11)\)
hvor \(\text m_\text{planet}\) er massen til planeten m?lt i kg, \(\text M_\text{stjerne}\) er massen til stjernen m?lt i kg, \(l\) er avstanden mellom romfart?yet og planeten, og \(r\) er avstanden mellom romfart?yet og stjernen
Siden vi har antatt at gravitasjonen fra planeten p?virker romfart?yet \(k\) ganger mer enn det gravitasjonen fra stjernen gj?r, kan vi skrive opp forholdet mellom dem slik:
\(F_\text{gravitasjon fra planeten}=k\cdot F_\text{gravitasjon fra stjernen}\)
Ovenfor, i likninger \((10)\) og \((11)\) , har vi funnet uttrykk for begge gravitasjonskreftene, \(F_\text{gravitasjon fra stjernen}\) og \(F_\text{gravitasjon fra planeten}\). Dermed kan vi innsette begge disse to i uttrykket som beskriver forholdet deres. Da f?r vi dette uttrykket:
\(\text G\frac{\text M_\text{planet}\cdot \text m_\text{romfart?y}}{l^2}=k\cdot \text G\frac{\text M_\text{stjerne}\cdot \text m_\text{romfart?y}}{r^2}\)
Her ser vi fort at vi kan forenkle uttrykket litt ved ? stryke gravitasjonskonstanten \(\text G\) og massen til romfart?yet \(\text m_\text{romfart?y}\). Da st?r vi igjen med:
\(\frac{\text M_\text{planet}}{l^2}=k\cdot \frac{\text M_\text{stjerne}}{r^2}\)
Vi ?nsket originalt ? finne et generelt uttrykk for \(l\), avstanden mellom romfart?yet og planeten. Dersom vi l?ser uttrykket ovenfor med hensyn p? \(l\) s? har vi akkurat det vi h?pte p?. La oss gj?re det!
\(l^2=r^2\frac{\text M_\text{planet}}{k\cdot \text M_\text{stjerne}}\)
\(l=\left|{\textbf{r}}\right|\sqrt \frac{\text M_\text{planet}}{k\cdot \text M_\text{stjerne}}\) \((12)\)
Hva beskriver avstanden \(\textbf l\) fysisk sett?
N?r gravitasjonsp?virkningen fra planeten p? romfart?yet er \(k\) ganger st?rre enn gravitasjonsp?virkningen fra stjernen, s? har vi ovenfor funnet et generelt uttrykk for avstanden mellom romfart?yet og planeten. Denne definerte vi til ? v?re lik \(l\). Men hva er den fysiske tolkningen av denne avstanden?
N?r gravitasjonen fra planeten har en sterkere p?virkning p? romskipet v?rt, enn det stjernen har, s? dominerer den gravitasjonelle kraften fra planeten. Det betyr at romfart?yet trekkes mer mot planeten enn mot solen.
Vi finner stadig ut ny informasjon om solsystemet v?rt, og n? som vi har funnet enda en planet som ligger i den beboelige sonen. Da er det klart at vi ?nsker ? finne ut s? mye informasjon om denne som mulig. Vi skal skyte opp raketten v?r, sende den i bane rundt planet 1, og ta bilder av planeten for ? finne ut s? mye vi kan om den. Men dette inneb?rer at vi i det hele tatt klarer ? f? raketten til ? g? i en stabil bane rundt planeten. Det er nettopp her vi f?r vi bruk for uttrykket for \(l\). Ligning \((12)\) forteller oss hvilken avstand romfart?yet m? ha til planeten vi vil g? i bane rundt, for en gitt verdi av \(k\). Hvis romfart?yet er innenfor denne avstanden, vil planetens tyngdekraft dominere og v?re sterk nok til ? holde oss i en stabil bane rundt planet 1.
Bli med til neste bloggpost, hvor vi skal generalisere oppskytingssimuleringen til ? v?re mer fleksibel og effektiv. Dette er essensielt for en optimal romferd!