Vi ?nsker ? sjekke om banen til v?r planet f?lger Keplers lover (slik alle gode planetbaner gj?r), spesifikt andre og tredje lov. Vi begynner med den andre.
Keplers andre lov sier at dersom du har to like tidsintervaller, vil arealet som tegnes av at posisjonsvektoren flytter seg (Se figur 1) v?re det samme for begge tidsintervallene. Vi sjekker rundt aphel og perihel, og g?r gjennom beregningene v?re for to sm? tidsintervaller \(T_0 =T_1\):
Disse omr?dene ser ganske like ut, men vi kan gj?re enda bedre. Vi ser p? forskjellen mellom de to arealene:
| Areal rundt aphel (\(T_0\)) [AU^2] | Areal rundt perihel (\(T_1\)) [AU^2] | Relativ differanse |
|---|---|---|
| 0.80257 | 0.80257 | \(6.0866 \cdot 10 ^{-15}\) |
Dette ser veldig bra ut! Arealene er ekstremt like, akkurat s?nn som Keplers lov fortalte oss. Vi kan ogs? se p? distansen vi beveger oss ved disse tidsintervallene, og snitthastigheten:
| Omr?det rundt aphel (\(T_0\)) |
Omr?det rundt perihel (\(T_1\)) |
|
|---|---|---|
| Distanse forflyttet [AU] | 0.57039 | 0.58905 |
| Snitthastighet [AU/Y] | 5.70389 | 5.89052 |
Merk at disse ikke er like!! Vi ser her at snitthastigheten er st?rre for det intervallet der planeten beveger seg lenger (som gir mening, siden vi m? g? en lengre distanse p? kortere tid!).
S? vil vi sjekke om banene v?re f?lger Keplers tredje lov. Dersom banen f?lger b?de andre og tredje lov, kan vi v?re veldig sikre p? at den fungerer som de skal. Keplers tredje lov sier at periodetiden \(t\) til en bane, alts? tiden planeten bruker p? en rotasjon rundt stjernen, henger sammen med banens store halvakse \(a\). Denne sammenhengen ser slik ut:
\(t^2 = ka^3\)
Der k er et tall. Vi kan snu p? dette utrykket ? f?
\(k = \frac{t^2}{a^3}\)
Denne k burde v?re lik for alle planetene. Vi g?r gjennom beregningene v?re, og finner ut hvor lang tid det tar ? g? en gang rundt stjernen for hver planet. S?, finner vi k for alle planetene. Hvis banen f?lger Keplers tredje lov, burde alle disse k verdiene v?re like. Vi sammenlikner st?rste k og minste k:
| \(k_{max}\) [\(\frac{Y^2}{AU^3}\)] |
\(k_{min} \) [\(\frac{Y^2}{AU^3}\)] |
Relativ diff |
|---|---|---|
| 0.42413 | 0.42412 | 0.000034 |
Ser man det! Det ser ut som at banen f?lger Keplers tredje lov. Til slutt, for ? v?re helt sikre, vil vi sammenlikne med Newtons korrigerte variant av Keplers tredje lov. Den sier at:
\(t^2 = \frac{4\pi^2}{G(mM)}a^3\)
Der t og a er det samme som f?r, G er gravitasjonskonstanten, m er massen til planeten, og M er massen til stjernen. Dersom vi igjen snur p? dette utrykket f?r vi
\(\frac{t^2}{a^3} = \frac{4\pi^2}{G(mM)}\)
som er det vi hadde tidligere! Vi sl?r sammen utrykkene og f?r
\(k = \frac{4\pi^2}{G(mM)}\)
Vi har n? en verdi vi kan beregne som k burde v?re for hver planet. Vi finner denne verdien, og finner den relative differansen mellom denne analytiske k og den numeriske k vi hadde fra f?r. Til slutt tar vi snittet av disse usikkerhetene, for ? finne ut hvor n?rme v?re verdier for k er de analytiske:
\(\overline k = 0.0005497\)
Dette er under 1%! Vi kan da med sikkerhet fastsl? at v?r planets bane f?lger Keplers tredje lov, og med det at den simulerte banen er en god aproksimasjon for den ekte. N? som vi f?ler oss sikre p? banene v?re, er det p? tide ? gj?re ting litt mer komplisert.