N?r vi ser ut i galaksen v?r st?r vi ovenfor problemet av distanse. Det ? pr?ve ? se en annen planet langt unna er vanskeligere enn ? se en maur fra en kilometers avstand. Dette er ett problem, men l?sningen er n?rmere enn vi tror.
F?rst retter vi blikket til v?rt eget solsystem. Som forklart i fysikk 1 blir alle planetene trukket av solen sin tyngdekraft. Men, vi vet ogs? fra newtons tredje lov (N3L), som sier at alle krefter har en motkraft, at da trekker ogs? planetene p? solen. Dermed vil solen ogs? ha en liten bane. Hvis vi n? tenker p? systemet som bare er èn planet blir det lettere ? vurdere systemet. F?rst m? vi skj?nne hva solen og planeten roterer om, for selv om det er sant at planeten g?r rundt solen er dette litt vanskelig og foholde seg til n?r solen beveger seg. Derfor introduserer vi massesenteret, massesenteret kan tenkes p? som snittet av hvor massene er. Det kan utledes fra formlen:
\(R_{cm} = \frac{\Sigma_i^n m_ir_i}{\Sigma m_i} \)
Hvor \(R_{ cm}\) er posisjonen til massesenteret, n er antallet masser vi ser p?, og \(m_i,r_i\) er massen og posisjonen til den i-ende massen. Grunnen til at dette er nyttig er at summen av alle kreftene i systemet (alts? tyngdekraften p? planeten og stjernen) er null. Dette vet vi fordi de er motkrefter og dermed like store (N3L). Derfor vil massesenteret aldri ha en akselerasjon (N1L). Vi kan derfor bruke massesenteret som v?rt referansepunkt for disse to banene.
Hvis vi ikke flytter massesenteret til origo f?r man noe p? formen, som tydelig ikke er en bane:
N?r vi faktisk korrigerer referansepunktet v?rt f?r vi disse plottene som ser betydelig bedre ut:
N?r vi simulerer disse banene f?r vi ogs? vite farten til stjernen, denne kommer til ? bli sv?rt viktig. F?r vi bruker denne farten er det sv?rt viktig at vi sjekker at banene v?re faktisk gir mening. En enkel men sikker test vi kan gj?re er ? sjekke om den totale energien er bevart. Siden det ikke er noen ytre krefter p? systemet skal energien v?re bevart, men siden vi har flyttet referansepunkt m? vi tenke litt hvordan vi regner denne energien. Man kan faktisk utlede ett utrykk for denne energien:
\(E = \frac12 \hat\mu v^2 - \frac{GM\hat\mu}{r}\)
Hvor E er energi, v er farten de to massene har i forhold til hverandre, G er newtons gravisjonskonstant, r er distansen mellom massene og \(\hat\mu \) er redusert masse, p? formen: \( \hat\mu = \frac{m_1m_2}{m_1+m_2}\). For utledningen p? denne formelen les blogg inlegget mattenerder.
Vi kan bruke denne formelen til ? regne ut energien i hvert steg av simulasjonen for ? se om resultatene v?re gir mening. I tabell 1 sammenligner vi den h?yeste og laveste energien vi m?lte.
| Energi : | |
|---|---|
| Maksimum energi | -0.0196022514605 \(\frac{M_\odot AU^2}{Y^2}\) |
| Minimum energi |
-0.0196022799955\(\frac{M_\odot AU^2}{Y^2}\) |
| Snitt energi | -0.0196022799953\(\frac{M_\odot AU^2}{Y^2}\) |
| Relativ forskjell (i prosent) mellom maks og min | 0.0001455% |
Her er dimensjonene lik den for Joules bare skalert til ? bruke Solmasser(\(M_\odot \)), AU, og ?r(\(Y\)) istedenfor kg,m,s.
Som dere kan se er det sv?rt lite avvik fra den energien som antyder at v?r simulering holder energien bevart i stor grad. Selvf?lgelig er det litt avvik men ikke noe forbi hva som er forventet av maskinen.
Grunnen til at vi er interesserte i hastigheten til sola er at den er et sentralt verkt?y i hvordan vi kan finne massene til planeter i andre solsystemer. Fordi n?r vi da ser p? en annen sol kan vi se hvor raskt den beveger seg. N?r vi har farten til en stjerne kan vi utlede ett utrykk for massen til planeten som p?virker stjernen, denne utledningen kan dere finne i Forelesningsnotat 1c 2025:
\(m_p sin(i)= \frac{m_\star^{2/3}v_{\star r} T^{1/3} }{(2\pi G)^{1/3} }\)
Hvor \(m_p \) er massen til planeten, i er inklinasjonsvinklen (se figur 4), \(m_\star\) er massen til stjernen, \(v_{\star r}\) er den radielle hastigheten til stjernen (se neste avsnitt), T er perioden, tiden det tar for solen ? g? en gang rundt massesenteret, og G er newtons konstant. Det er verdt ? nevne at perioden til solen er lik perioden til planeten, dette kan man lett se for seg, siden massesenteret alltid m? v?re midt mellom de to massene. Da m? de ogs? bruke like lang tid rundt.
F?r vi kan g? videre ? bruke dette utrykket er det viktig og forst? en ting. N?r vi m?ler hastigheten til stjernen kan vi bare m?le om den drar mot oss eller bort fra oss. Vi kaller denne farten den radielle hastigheten. Ofte vil denne hastigheten p? sitt h?yeste v?re lik farten til stjernen, men hvis rotasjonen til systemet skjer med en vinkel ulik 90? i forhold til oss (se figur 4), vil den farten vi m?ler bare v?re en komponent av farten. Hvis vi viste vinkelen kunne vi regnet ut den faktiske farten og f?tt en sikker masse, men denne vinkelen er umulig ? finne. Derfor n?r vi bruker formelen over m? vi bare anta at vinkelen er 90? og vite at det vi finner er bare en minsteverdi for massen.
Dette er prinsippet vi bruker for ? finne massen til planeter i andre solsystemer.