Vi har n? hentet data fra ett annent solsystem, n?r vi n? skal se p? dette systemet m? vi huske en veldig viktig ting. Solsystemet beveger seg bort fra oss. Dette f?rer til at all hastigheten vi m?ler vil v?re forsk?vet med hastigheten massesenteret til systemet har i forhold til oss. Derfor er det f?rste vi gj?r n?r vi analyserer dette plottet ? finne ut denne hastigheten.
N?r vi ser p? plottet over kan vi se at det er ganske st?yete, men vi kan anta at st?yet er normalfordelt rundt den ekte verdien. Derfor kan man fortsatt lese god data av grafen. Som nevnt over m? vi f?rst finne hastigheten til massesenteret. Fra formen til funksjonen er det ganske tydelig at dette er en harmonisk funksjon som svinger om en verdi. Dette er ogs? veldig forventet fordi stjernen g?r i en n?r sirkul?r bane. Siden vi bare ser hastigheten som g?r langs synsvinklen v?r vil vi merke, som vi ser i figur 2) at farten vi m?ler er forskjellig p? forskjellige steder i banen. Vi kan da vite at den verdien grafen svinger om er null hvis massesenteret hadde st?tt i ro, i andre ord det er farten til hele systemet.
N? for ? lese av grafen kan vi gj?re ett par ting, f?rst kan vi tegnet opp en linje som g?r i midten av all st?yet, denne linjen vil v?re n?re den ekte fartsgrafen siden forventingsverdien av st?yet er null. Deretter tegner vi opp en linje i midten av kurven for ? finne massesenteret sin hastighet. Vi tegner ogs? opp ett par andre linjer som blir nyttige for analysen.
N? kan vi lese av plottet og se at \(v_{pec} = 4.3800 \frac{AY}{Y}, v_{max} = 4.3820 \frac{AY}{Y}, v_{min} = 4.3778\frac{AY}{Y}\) hvor \(v_{pec}\) er farten til hele systemet og maks og min verdiene vil v?re farten i punktene D og B fra figur 2.
Det er lett ? se at disse m?lingene ikke er helt perfekte siden de er gjort ved ?yem?l, men de gir en god aproksimasjon p? de ekte verdiene. N? trekker vi fra farten til hele systemet fra resten av dataen, den oscillerer rundt null og f?r at \( v_{max}' = 0.0020 \frac{AY}{Y}, v_{min}' = -0.0022 \frac{AY}{Y}\), vi runder bort det siste siffere siden det er litt usikkerhet rundt det og ser at den radielle hastigheten er \(v_{\star r} = 0.002 \frac{AU}{Y}\).
Vi kan ogs? lese av perioden til ? v?re over 175 ?r, vi leser av til ? v?re 180 ?r. Massen til stjernen kan vi finne gjennom spektroskopiske m?linger, og den er 4.14384 sol masser. Da har vi alle tallene vi trenger for ? kunne anvende formlen fra forrige bloggpost:
\(m_p sin(i)= \frac{m_\star^{2/3}v_{\star r} T^{1/3} }{(2\pi G)^{1/3} }\)
Som nevnt i forrige bloggpost vet vi ikke inklinasjonsvinkelen (i) men antar den lik 90 ogs? sier vi at massen vi finner er minste massen. Vi putter tallene inn i formelen og f?r: \(m_p = 0.0046 M_\odot\) \(= 4.8 \) Jupiter masser. Dette er da et annslag p? minste mulige masse til planeten.
Faktisk er det en ting over jeg har sagt som er feil. Det kan v?re mullig ? vite inklinasjonsvinkelen (i). Hvis den er rundt 90? kan vil nemlig planeten g? forran stjernen fra v?rt perspektiv. Alts? i noen tilfeller vil vi kunne se at fluksen fra stjernen faller litt. Fluksen endrer seg sv?rt lite, men det er nok til at hvis vi m?ler kan vi se en endring. Det har seg s?nn at systemet vi ser p? faktisk er s?nn og derfor kan vi finne enda mer viktig info om denne planeten.
Hvis vi m?ler tiden det tar fra fluksen f?rst begynner og falle til den stabiliserer seg p? ett lavere niv? f?r vi vite hvor lang tid det tar for planeten ? f?rst starte ? krysse foran solen til den er helt foran (se figur 4). Dette er alts? hvor lang tid den bruker p? ? bevege seg to radiuser. Siden banen er sv?rt n?r en sirkel kan vi anta konstant fart, og da kan vi bruke kanskje den f?rste fysiske formlen man l?rer \(s = vt\) hvor s er strekningen av bevelgelsen (\(2r\)(radius) for oss), v er hastigheten til planeten og t er tiden forklart over. Vi kan fra keplers tredje lov utledde et forhold mellom fartene og massene til planeten og stjernen (se forelesningsnotater 1c 2025) og f?r at: \(v_{pr} = v_{\star r} \frac{m_\star}{m_p}\)
Hvor \(v_{pr}, m_p\) er den radielle farten og massen til planeten, og \(v_{\star r}, m_\star\) er den radielle farten og massen til stjernen.
Fordi n?r i er 90? vet vi at den radielle hastigheten p? sitt h?yeste er lik hastigheten til selve objektet kan vi bruke denne formelen i utrykke for r:
\(r = \frac{v_{\star r} m_\star t}{2m_p}\).
Ved ? lese av den relative fluksgrafen og putte inn i formelen over f?r vi at:
\(r = \frac{0.002 \frac{AU}{Y} \cdot 4.14384M_\odot \cdot 0.0007Y}{2\cdot 0.00464 M_\odot} = 0.000625AU = 93498 \;km\) \(= 1.31 R_{Jupiter} \)
Alts? denne planeten er veldig stor, men planeten er fortsatt mindre b?de i masse og i radius enn den st?rste gassplaneten i v?rt solsystem Galkus. Vi kan n? finne tettheten til planeten for ? se hva slags type planet det er. Siden tallene er relativt like Galkus antar vi f?r vi gj?r m?lingene at det er en gasplanet. Tettheten er utrykt ved Masse delt p? vollum, som dere sikkert har l?rt er formlen for volum av en kule \(\frac34\pi r^3\). Vi f?r da utrykket:
\(\rho = \frac{m_p}{\frac 34 \pi r^3} = \frac{4 m_p}{3 \pi r^3} = \frac{4\cdot0.00464 M_\odot}{3 \pi (0.000625AU)^3} = 8,07\cdot 10^{6} \frac{M_\odot}{AU^3}\) som tilsvarer \(\rho = 4.79 \cdot 10^3 \frac{kg}{m^3}\)
Dette tilsvarer faktisk en steinplanet, faktisk har den h?yere tethet enn den steinplaneten i v?rt solsystem som ligger tredje n?rmest sola. Men den har betydelig st?rre masse og radius. Dette er faktisk en helt ennorm steinplanet som veier nesten like mye som v?r st?rste gasskjempe Galkus. (Dette antar at inklinasjonsvinkelen ikke har magisk endret seg mellom n?r vi m?lte hastigheten til solen og lysfluksen fra sola, som selvf?lgelig ikke er mulig i den fysiske verden, men hvem vet hva som kan skje?)
Dette var all dataen vi kunne hente fra ett solsystem med en planet, eller mer korrekt er og si at det er en planet som er s?pass mye st?rre enn alle andre planeter slik at farten til solen egenlig bare p?virkes av den. Men n?r vi snur oss til ett annent system hvor det er flere planeter p? lignende st?relser f?r vi andre spennede resultater.