N?RMERE OM HILBERT-FREGE FORMALISMER Historie: ¡­

N?RMERE OM HILBERT-FREGE FORMALISMER

Historie: Det er to hovedm?ter ? beskrive logiske formalismer. Den ene g?r tilbake til Gottlob Freges Begriffschrift fra 1879 og ble spesielt popul?r etter Hilbert og Ackermanns bok fra 1928 (?) "Grundzuege der theoretischen Logik". Den andre er fra Gerhard Gentzens arbeider fra 1935-40. Vi kaller dem Hilbert-Frege formalisme og Gentzen formalisme. I Hilbert-Frege formalisme er det et utvalg av aksiomer og som slutningsregel Modus Ponens og generalisering i f?rste ordens logikk, necessiteringsregel i modal logikk. Det fins litt ulike former for Gentzen formalisme - naturlig deduksjon, sekvenskalkyle o a. Felles for dem er at en har noen enkle aksiomer (typisk F og -F i samme sekvens), og s? en rekke regler - gjerne en regel for hvert konnektiv.

F?rste l?ringsm?l: L?r hvordan de vanlige modal logiske systemene uttrykkes i en Hilbert-Frege formalisme. Vis hvordan utledninger gj?res.

Andre l?ringsm?l: Kompletthet av en Hilbert-Frege formalisme. Dette gj?res ved bruk av "maksimalt konsistente" mengder av setninger. G? gjennom kompletthetsteoremet.

Tredje l?ringsm?l: Vis at utledninger i Hilbert-Frege og Gentzen formalismer gir samme resultat.

Fjerde l?ringsm?l: Sammenheng mellom de to kompletthetsteoremene. Hovedbegrepet i Hilbert-Frege kompletthet er "maksimalt konsistent" mengde av setninger. Hovedbegrepet i Gentzen kompletthet er "fullstendig og fair analysert grein i et analysetre". Dr?ft sammenheng mellom disse hovedbegrepene.

Femte l?ringsm?l: Forskjell mellom de to formalismene. Hilbert-Frege formalisme gj?r det enkelt ? lage varianter av de modal logiske systemene, men det er vanskelig ? lage metoder for beviss?k. I Gentzens formalisme er det omvendt.