| Dato | Undervises av | Sted | Tema | Kommentarer / ressurser |
| 12.01.2004 | Nadia S. Larsen? | Auditorium 4? | Hvorfor utvite Riemann integralet?? | Vi genopfrisker definisjonen af Riemann integralet, avsnit 1.1 uten beviser. Vi skal se p?, hvorfor vi vil utvite integralbegrebet utover Riemann integralet. Dette er avsnit 1.4 (uten beviser). Vi skal se p? grunnstenene i utvitelsen, dette er avsnit 2.1-2.2.? |
| 15.01.2004 | Nadia S. Larsen? | Auditorium 4? | Lidt mer forberedelse? | Vi starter med 2.2. Vi ser p? prologue og apendiks A. Vi starter p? 3.1. Vi kigger ogs? p? opgaver 1.4.3., 1.4.5. og opgave p? side 42.? |
| 19.01.2004 | Nadia S. Larsen? | Auditorium 4? | Utvidelse af lengdefunktionen p? intervaller og generelle m?l? | Vi gjennomg?r 3.1-3.3, vi starter p? 3.5.? |
| 22.01.2004 | Nadia S. Larsen? | Auditorium 4? | Opgaver? | Eksempel 3.2.3(v), Opg. 3.2.4, 3.2.5, Opg. 3.2.10 (i), (ii), (iv), Opg. 3.3.2 (i)? |
| 26.01.2004 | Nadia Larsen? | Aud. 4? | Definition af m?l og egenskaper? | Vi skal se p? 3.3., 3.5 (uten beviser), 3.6. Eventuelt lidt fra 3.7.? |
| 29.01.2004 | Nadia Larsen? | Aud. 4? | Opgaver? | Vi starter med opg. 3.2.10 (i), (ii), (iv), opg. 3.3.2(i). S? tager vi opg. 3.3.2, 3.6.4, 3.6.6, 3.6.8.? |
| 02.02.2004 | Nadia Larsen? | Aud. 4? | Ytre m?l? | Vi g?r gjennom avsnit 3.7.? |
| 05.02.2004 | Nadia Larsen? | Aud. 4? | Ytre m?l: flere egenskaper? | Vi kigger p? eksempler av \sigma-algebraer. Derefter entydighed af ytre m?l, komplet m?l, m?lrum.? |
| 09.02.2004 | Nadia Larsen? | Aud. 4? | Opgaver? | Vi kikker p? opgaver 3.7.3, 3.9.7(ii), 3.9.8(i), 4.1.1 (ang?ende (vi), et punkt x ligger i den indre af E hvis der findes et ?bent interval (a-r, a+r) indeholdt i E slik at x ligger i dette intervallet).? |
| 12.02.2004 | Nadia Larsen? | Aud. 4? | Monoton klasse, m?lrom, Lebesgue m?let ? | Definition af monoton klasse. Teorem 3.10.7 og 3.10.8 (uten bevis). Avsnit 3.11 til og med 3.11.7, uten beviser. Teorem 4.2.2, 4.2.6.? |
| 16.02.2004 | Nadia Larsen? | Aud. 4? | Translationsinvarians, Lebesgue-Stieltjes m?l? | Teorem 4.2.2, Prop. 4.2.8, Teorem 4.3.1 (som krever opg. 4.2.4, den kigger vi ogs? p?), Teorem 4.4.1 (uten bevis). Avsnit 4.7 (som krever Prop. 3.5.1 og 3.5.3) uten beviser. ? |
| 19.02.2004 | Nadia Larsen? | Aud. 4? | Opgaver? | Opg. 3.10.6, 4.2.3, 4.3.2, 4.3.3, eksempel 4.6.1 (en delmengde af R, som ikke er Lebesgue m?lelig). Evt. diskussion av avsnit 4.5.? |
| 23.02.2004 | Nadia Larsen? | Aud. 4? | Ikke negative simple og m?lelige funksjoner? | Vi g?r gjennom avsnit 5.1. Vi begynner p? avsnit 5.2, og viser prop. 5.2.2. og 5.2.6. ? |
| 26.02.2004 | Nadia L arsen? | Aud. 4? | Opgaver? | Opgaver 5.1.6, 5.1.8, 5.1.11 og eksempel 4.6.1.? |
| 01.03.2004 | Nadia Larsen? | Aud. 4? | Ikke negative m?lelige funksjoner og Lebesgues monotoniteorem? | Vi g?r gjennom avsnit 5.2.? |
| 04.03.2004 | Nadia Larsen? | Aud. 4? | Lebesgues monotoniteorem; ikke negative m?lelige funksjoner? | Vi ser p? 5.2.4, Prop. 5.2.6 (iv), Teorem 5.2.7, 5.3.1-5.3.3. Vi lager opgaver neste gang.? |
| 08.03.2004 | Nadia Larsen? | Aud. 4? | Opgaver? | Vi starter med teori. Vi kigger p? "nesten overalt"-egenskapet, dette er def. 5.2.4. Vi ser p? Prop. 5.2.6(iv) og 5.3.3. Vi lager opgaver 5.2.5, 5.2.9, 5.3.4. I 5.3.4(iii) skal "mu" erstattes av "lambda", og vi antar, at f og g har begrenset integral p? R. ? |
| 11.03.2004 | Nadia Larsen? | Aud. 4? | M?lelige funksjoner ? | Vi starter med "nesten overalt"-egenskapet. Deretter gjennomg?r vi avsnit 5.3, med start i 5.3.3.? |
| 15.03.2004 | Nadia Larsen? | Aud. 4? | Integrable funksjoner? | Vi n?ede til og med Prop.5.3.12. Vi skal vise Prop.5.3.14, Teorem 5.3.18 (Fatou's lemma), Prop. 5.3.28 med Opg. 5.3.29 som korollar. Vi starter p? avsnit 5.4, og tar opg. 5.4.2 som en lemma, samt Prop. 5.4.3 (her skal f og g i (iv), (v) v?re f1 og f2). ? |
| 18.03.2004 | Nadia Larsen? | Aud. 4? | Lebesgues majorantteorem? | Vi gjennomg?r Teorem 5.4.9, Kor. 5.4.10, Teorem 5.4.12 og Teorem 5.5.1.? |
| 19.03.2004 | Nadia Larsen? | Aud. 4? | Opgaver? | Opg. 5.3.13, 5.3.17, 5.4.4, 5.4.16, 5.5.4, 5.5.5.? |
| 25.03.2004 | Nadia Larsen? | Aud. 4? | M?l p? produktrom? | Vi starter p? kapitel 7. ? |
| 29.03.2004 | Nadia Larsen? | Aud. 4? | Eksistens av produktm?l? | Vi skal bevise den "korrekte" versjon av teorem 7.2.1. Bemerk, at det ikke er nok ? starte med m?let $\eta$ p? semi-algebraen $R$. I stedet har vi konstruert et m?l p? en algebra, der inneholder $R$, og det m?l skal brukes i 7.2.1. Etterp? skal vi vise teorem 7.2.6.? |
| 01.04.2004 | Nadia Larsen? | Aud. 4? | Tonellis og Fubinis teoremer? | Teorem 7.3.1-7.3.4.? |
| 15.04.2004 | Nadia Larsen? | Aud. 4? | Opgaver? | Opg. 5.5.8, 7.1.6(ii) (bruk 7.1.5 uten bevis), 7.3.8. Dessuten f?lgenne opgaver: 1) beskriv de integrable funktioner p? N, de naturlige tal, med \sigma-algebraen P(N) af alle delm?ngder og \mu lik med tellem?let. 2) Lad f(x)=x^p p? [1, \infty). brug Lebesgues monotoniteorem til at bestemme p, s.a. f er integrabel. 3) Givet m?lrum (X, S, \mu), antag \mu(X) endelig, lad E v?re i S. Betragt f?lgen fn=indikator funksjonen av E hvis n lige, og fn=1-indikatorfunksjonen av E hvis n ulige. Brug dette til ? f? "<" i Fatou's lemma. 4) Eksempel 7.3.6., vis at \mu x \nu(D)=\infty (bruk at \mu x \nu er givet ved et ytre m?l).? |
| 19.04.2004 | Nadia Larsen? | Aud. 4? | Produktm?l? | Vi skal se p? Fubinis teorem p? komplete m?lrom, og specielt p? Lebesgue m?let p? R^2 og mere generelt, p? R^n. Vi begynner p? kapitel 8, typer av konvergens p? m?lrom. ? |
| 22.04.2004 | Nadia Larsen? | Aud 4? | Opgaver? | BEMERK: les siste beskjed ang?enne rettelser til opgavene. Opg. 7.4.4 og 7.4.5 (kun for Borel algebraen p? R^2 i stedet for Lebesgue algebraen). Opg. 8.1.3 (se i beviset for ulikheden n?r det kan bli likhed), 8.1.5(i) (her skal E v?re en Borel mengde i C). Til sidst opgaven om at L1(R, L,\lambda) er det samme som L1(R, B, \lambda) (hint: bruk 4.2.2(v), som gir en Borel mengde F, og 5.3.2 med c rationell).? |
| 26.04.2004 | Nadia Larsen? | Aud. 4? | Konvergens av funksjoner p? m?lrom? | Vi tar avsnit 8.2 og 8.3.? |
| 29.04.2004 | Nadia Larsen? | Aud 4? | L_p rom? | Vi slutter avsnit 8.3 og begynner p? 8.4.? |
| 03.05.2004 | Nadia Larsen? | Aud 4? | L_p rom? | Vi avslutter beviset for Minkowskis ulikhed, og vi skal bevise Fichers' fuldstendighetsteorem.? |
| 06.05.2004 | Nadia Larsen? | Aud. 4? | Fortegnsm?l? | Vi definerer fortegnsm?l, vi skal bevise Hahn dekomposisjon og Radon-Nikodym for endelige m?l (teorem 10.2.2).? |
| 10.05.2004 | Nadia Larsen? | Aud. 4? | Gjennomgang av vigtige begreber og resultater? | Vi skal lage opgave 10.2.3, da dette er et bra eksempel p? anvennelsen av "simple funksjoner-teknikken". Dette er beviset for Radon-Nikodym teoremen i tilfelde av \sigma-endelige m?l, hvor vi skal ta utgangspunkt i resultatet for endelige m?l. Vink: gitt to \sigma-endelige m?l \mu og \nu, vis at det findes en f?lge af disjunkter delmengder An av X s.a. X=unionen af alle An, og b?de \mu(An) og \nu(An) er endelige, for alle n. Anvenn etterp? Radon-Nikodym for de endelige m?l gitt som \mun(E)=\mu(E\cap An) og tilsvarende for \nu_n. Bruk Lebesgues monotoniteorem. Vi skal ogs? bevise p?standene fra notatet om L_p rom om at ekvivalensklasser av funskjoner fortsat er et vektorrom.Om tiden tillater det, vi skal bevise 10.1.12.? |
| 13.05.2004 | Nadia Larsen? | Aud. 4? | Opgaver? | Vi kigger p? opgavesettet fra den skriftlige eksamenen i MA254 i 2003. F?lg lenket http://www.math.uio.no/academics/eks/index.shtml?dir=MA/MA254Vink til opg. 1: bruk uten bevis at funksjonen exp(-x^2) er i L_p for alle p\in [1,\infty).? |
| 24.05.2005 | Nadia Larsen? | Aud 4? | Oppsummering? | Dette er siste forelesning f?r eksamen. Det er en bra mulighed til ? stille sp?rsm?l om noe fra teorien en uklart.? |
Undervisningsplan
Publisert 10. nov. 2003 17:30
- Sist endret 12. mai 2004 14:55