Vi unnslipper et sort hull

Situasjonen vi befinner oss i 

Vi befinner oss i et romskip plassert en avstand \(R = 20M\) ut fra et sort hull med massen \(M\) (husk at vi kan m?le masse i meter og vice versa). Raketten har en retning p? \(\theta = 167^\circ\), der \(\theta\) er definert som vinkelen mellom den radielle posisjonsvektoren til romskipet og hastighetsvektoren til romskipet, som illustrert i figur 1, som betyr at vi har retning mot det sorte hullet. Hastigheten til romskipet m?lt fra skallet rundt \(R = 20M\) blir m?lt til \(v_{SH} = 0.993c\), alts? \(v_{SH} = 0.993\) i naturlige enheter (husk at \(c=1\)). Raketten har et angul?r moment \(L \) og en masse \(m\).

i det vi er ved skallet p? \(R = 20M\) slutter plutselig rakettmotoren v?r ? slutte, og herfra ligger skjebnen v?r i det sorte hullet. Det eneste vi n? kan gj?re er ? regne p? om vi skal d?, eller ikke.

Potensielt utfall (pun intended) 

Vi blir igjen n?dt til ? studere potensialet rundt et sort hull, slik som vi gjorde i innlegget om Lys i bane om sorte hull. Forskjellen denne gangen er at vi studerer et objekt med masse, ulikt som sist da vi studere lys som ikke har noen masse. Jeg skisserer opp hvordan et typisk potensiale for et sort hull ser ut: 

Husk at vi n? er i fritt fall, og det er ingen eksterne krefter som virker p? oss annet enn det sorte hullet vi faller inn mot. Formelen for potensialet ser slik ut 

\(\begin{align} V(r) = \sqrt{\left(1 - \frac{2M}{r}\right)\cdot \left(1 + \left(\frac{L}{mr}\right)^2\right)} \end{align}\)

Legg merke til at dersom \(r \rightarrow \infty\) vil vi n? ha at \(V(r) \rightarrow 1\), mens vi vanligvis er vandt med at \(V(r) \rightarrow 0\) n?r vi er uendelig langt unna i Newtonisk mekanikk. Dette er fordi vi i Newtonisk mekanikk ikke inkluderer hvilemassen til objektet, mens vi her n? f?r at massen pr. energi er \(\frac{E}{m} = 1\), fordi hvilemassen er med uttrykt i potensialet. Dermed er det \(\frac{E}{m} = 1\) som n? blir referansepunktet v?rt, og ikke \(\frac{E}{m} = 0\) slik som vi har i Newtonisk mekanikk. Det er dermed energien v?r per masse som bestemmer om vi kommer til ? bli slukt av det sorte hullet eller ikke, siden det er det som bestemmer hvor p? potensialkurven vi ender opp. Vi tegner opp fyren i vogna slik som vi gjorde for lys p? potensial-bakken vi har i figur 2:

Siden referansepunktet v?rt n? er \(\frac{E}{m} = 1\) n?r vi er uendelig langt unna blir vi n?dt til ? m?le alt av potensiale derfra. Dersom vi har en energi per masse mindre enn 1, vil vi havne ned i potensialgropa, og ikke komme oss ut igjen. Dermed vil vi ligge ? vugge frem og tilbake mellom potensialet \(\frac{E}{m} < 1\) som vi hadde da vi kom inn, som representerer at vi g?r i ellipsebane rundt det sorte hullet. Dermed vil vi aldri komme oss vekk fra det sorte hullet med mindre vi kan fikse rakettmotoren, og gi oss selv en solid boost ut av banen. 

Det neste tilfellet vi har er dersom \(\frac{E}{m} >\frac{E_{crit}}{m}\), som vi kan tegne opp p? samme m?te: 

Vi ser p? figur 4 at dersom vi overstiger den kritiske energien per masse at vi kommer til ? g? over bakketoppen, og forsvinne ned i det uendelige og aldri klare ? komme oss ut igjen. Dette er det samme som at vi blir fanget av det sorte hullet, og havner innenfor eventhorisonten, som betyr at vi g?r rett mot d?den.

Vi har enda et tilfelle, som er \(1 < \frac{E}{m} < \frac{E_{crit}}{m}\). La oss tegne det opp:

P? samme m?te ser vi at dersom vi har en energi per masse mellom 1 og den kritiske energien per masse, vil vi havne opp p? potensialkurven uten ? overstige den kritiske energien per masse. Men siden vi n? hadde en \(\frac{E}{m} > 1\) vil vi ikke lenger bli fanget i potensialet, og blir sendt ut av tyngdefeltet til det sorte hullet. Dette er det mest ?nskelige utfallet for oss i romskipet, som ikke ?nsker ? hverken v?re fanget for alltid eller slukt av det sorte hullet. Dette er utfallet vi ?nsker. 

MERK: For de skarpere av dere s? dere (eller gjenkjente) kanskje et ekstra tilfelle jeg ikke tok med: dersom \(\frac{E}{m} = \frac{E_{crit}}{m}\). Dette betyr at vi har akkurat nok energi per masse til ? komme oss p? toppen, og havne i en ekstremt ustabil sirkelbane (merk at \(r\) da blir konstant) rundt det sorte hullet. Et lite dytt til hver side vil enten sende oss inn i det sorte hullet, eller p? vei ut igjen, slik som med lys.

Hvordan kan vi finne ut om vi d?r?

For ? finne ut om vi d?r eller ikke kan vi regne ut hva v?r energi per masse er. Husk at denne st?rrelsen er konstant, s? dersom vi m?ler den ett sted gjelder den over alt i tyngdefeltet til det sorte hullet. Deretter m? vi finne hva spinn per masse \(\frac{L}{m}\) er, slik at vi kan plotte kurven for potensialet v?rt rundt det sorte hullet, og sammenlikne v?r energi per masse \(\frac{E}{m}\) med den kritiske energien per masse p? kurven \(\frac{E_{crit}}{m}\). Husk at spinnet \(L\) er en bevart st?rrelse, dermed er spinn per masse \(\frac{L}{m}\) ogs? en bevart st?rrelse (siden massen er invariant). Dermed holder det ? m?le dette kun ett sted, og det vil gjelde over alt i tyngdefeltet. Siden vi ikke kjenner massen \(M \) kan vi regne ut alle st?rrelsene per masse \(M\), og vi blir kvitt all avhengighet av massen \(M\). Vi regner ut st?rrelsene v?re (du kan se hvordan vi kommer frem til dette i PDF-en nedenfor), og f?r at spinn per masse per \(M\) blir

Her gj?r vi noen ekstra utregninger for de spesielt interesserte - PDF

\(\begin{align} \frac{L}{m} = 37.823 \end{align}\)

Dermed kan vi plotte potensialkurven v?r rundt det sorte hullet og regne ut \(\frac{E}{m}\) og sammenlikne:

Dette er som fryktet... vi er p? vei inn mot det sorte hullet! Den oransje-stiplede linja forteller meg at vi har en energi per masse som er st?rre enn den kritiske energien per masse (markert som r?d prikk p? figur 6) jeg m? ha for ? forsvinne inn i det sorte hullet. Det betyr at vi kommer til ? bli fanget av det sorte hullet dersom vi ikke fikser rakettmotorene kjapt! Jeg kan ikke engang forestille meg hva slags fryktelig d?d som venter meg der... Eller jo, det kan jeg faktisk! La meg beskrive det for deg! 

Spaghettifisering 

Tro det eller ei, men dette er faktisk den vitenskapelige termen p? effekten jeg skal beskrive for dere n?. Vi kan regne ut (se PDF ovenfor) at etter vi krysser eventhorisonten vil det ta oss 4.77s til vi har n?dd singulariteten i det sorte hullet med antakelsen om at det er like stort som Sagittarius A (det sorte hullet i melkeveien) som har en masse p? \(M \approx 4\cdot10^{6}M_{\odot}\). P? denne tiden vil vi allerede ha blitt spaghettifisert. Hva er det? 

N?r vi n?rmer oss sentrum av det sorte hullet vil tid og rom v?re s? krummet, at tyngdefeltet ikke lenger virker likt over alt p? kroppen v?r. Tyngdefeltet vil v?re s? forskjellig, at bena v?re blir trukket p? mye mer enn overkroppen slik at bena s t r e k k e s ut, mens overkroppen forblir intakt (enn s? lenge). Siden singulariteten trekker alt radielt inn mot seg, vil bena v?re presses sammen til en syltynn strek, og vi ser effekten av at vi blir til ?????????? ?, fors?kt illustrert i figur 7, der jeg har fors?kt tegne p? kreftene som virker p? den uheldige fyren som falt inn i det sorte hullet. Du skj?nner kanskje hvorfor jeg ikke vil inn i det sorte hullet? Derfor er jeg n?dt til ? l?pe av steds n?, vi har nemlig ekstremt hastverk med ? fikse rakettmotorene v?re slik at vi ikke blir spaghettifisert! Men det var hyggelig ? treffe p? deg, og forh?pentligvis m?tes vi kanskje p? neste blogg-innlegg!

(GIFs hentet fra https://giphy.com/explore/spaghettification og https://makeagif.com/gif/spaghettification-fi2vzJ)

Forrige innlegg <<                                                                             Neste innlegg >>