Christian Doppler - langt-vekk observat?ren
Doppler-effekten viser seg ? v?re veldig vanlig i v?rt vidunderlige, men merkelige univers. Til og med i tyngdefelt klarer alts? ikke disse ??lysene ? oppf?re seg?. Vi tenker oss n? at vi har en skallobservat?r p? et skall med posisjon \(r \), som peker en laserstr?le radielt ut fra masse-sentrum. Laserstr?len har en b?lgelengde \(\lambda_{SH}\) observert p? skallet, og en b?lgelengde \(\lambda\) observert av en langt-vekk observat?r. Vi har at frekvensen til laserstr?len er
\(\begin{align} \nu_{SH} = \frac{1}{\Delta t_{SH}}\hspace{1cm}\nu = \frac{1}{\Delta t} \end{align}\)
der \(\Delta t_{SH}\) er tiden mellom to b?lgetopper p? laserstr?len sett av skallobservat?ren, og \(\Delta t \) er tiden mellom to b?lgetopper p? laserstr?len sett av langt-vekk observat?ren.
Det f?rste vi begynner med er ? finne en sammenheng mellom disse to tidsintervallene, siden det kan bli nyttig senere. Da kan i bruke at tideromsintervallet \(\Delta s^2\) er invariant, og kan sette opp
\(\Delta s_{SH}^2 = \Delta s^2\)
Vi antar at vi ikke har noen variasjon i \(\phi\)-retning, siden vi peker str?len radielt ut. Skallobservat?ren kan som n? kjent m?le i Lorentz-geometri lokalt, mens langt-vekk observat?ren m? bruke Schwarzschild-geometri. Dermed vil vi f? at
\(\Delta t_{SH}^2 - \Delta r_{SH}^2 = \left(1 - \frac{2M}{r}\right)\Delta t^2 - \frac{\Delta r^2}{\left(1 - \frac{2M}{r}\right)}\)
Videre blir vi n?dt til ? definere eventer for intervallene v?re i likningen. Vi definerer det f?rste eventet som en b?lge som kommer ut av laserstr?len, og et annet event som eventet der neste b?lge kommer ut, slik at tidsintervallet mellom eventene er \(\Delta t_{SH}\) og \(\Delta t \) bare er tiden mellom de to b?lgetoppene, slik som vi fastslo i starten av innlegget. Dermed vil posisjonene til begge eventene skje p? samme sted, og vi f?r at \(\Delta r_{Sh} = \Delta r = 0\), som forenkler likningen v?r til
\(\Delta t_{SH}^2 = \left(1 - \frac{2M}{r}\right)\Delta t^2\)
som gir oss forholdet
\(\Delta t_{SH} = \sqrt{1 - \frac{2M}{r}}\Delta t \)
mellom tidsintervallet til de to observat?rene. Dermed kan vi bruke at b?lgelengder kan skrives som
\(\begin{align} \lambda = \frac{c}{\nu} \end{align}\)
der \(c \) er lyshastigheten og \(\nu \) er frekvensen. Siden vi jobber med naturlige enheter er \(c = 1\) og b?lgelengden kan m?les i enten sekunder eller meter (til og med kg om vi vil, bare fantasien stopper oss). Vi bruker frekvensene \(\nu_{SH}\) og \(\nu\) til ? finne b?lgelengdene \(\lambda_{SH}\) og \(\lambda\), og f?r at
\(\begin{align} \lambda_{SH} = \Delta t_{SH}\hspace{1cm}\lambda = \Delta t = \frac{\Delta t_{SH}}{\sqrt{1 - \frac{2M}{r}}} \end{align}\)
Vi vet at dopplerskiftet skrives som
\(\begin{align} \frac{\Delta\lambda}{\lambda_0} = \frac{\lambda - \lambda_0}{\lambda_0} \end{align}\)
der \(\lambda_0\) for oss n? blir v?r m?lte b?lgelengde \(\lambda_{SH}\). Dermed kan vi sette opp Doppler-effekten
\(\begin{align} \frac{\Delta \lambda}{\Delta \lambda_{SH}} = \frac{\lambda - \lambda_{SH}}{\lambda_{SH}} = \frac{\frac{\Delta t_{SH}}{\sqrt{1 - \frac{2M}{r}}} - \Delta t_{SH}}{\Delta t_{SH}} = \frac{\left(\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{2M}{r}}} - 1\right)\Delta t_{SH}}{\Delta t_{SH}} = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{2M}{r}}} - 1 \end{align}\)
og dermed fant vi Doppler-effekten vi f?r fra Schwarzschild-geometrien til tyngdefeltet som
\(\begin{align} \frac{\lambda - \lambda_{SH}}{\lambda_{SH}} = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{2M}{r}}} - 1 \end{align}\).
Husk at koordinatet \(r \) m?ler hvor skallobservat?ren befinner seg. Dersom vi har at \(r >> 2M\), alts? veldig langt unna massen, vil uttrykket \(\frac{2M}{r} \approx 0\). Dermed kj?rer vi en Taylor-utvikling av Doppler-effekten ovenfor. Noter at en Taylorutvikling er en rekkeutvikling av polynomer som er gitt som
\(\begin{align} f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + \cdots = \sum_\limits{i=0}^\infty \frac{f^n(a)}{n!}(x-a)^n \end{align}\)
Der vi ikke kan bruke en \(x\) som er veldig ulik \(a\), siden dette da blir en d?rlig tiln?rming (Taylor-serier er kun approksimasjoner). Vi bruker da at
\(\begin{align} f(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x}} - 1\;,\hspace{1cm} x = \frac{2M}{r}\;,\hspace{1cm} a = 0 \end{align}\)
der vi kan utvikle rundt \(a = 0\) siden \(\frac{2M}{r} \approx 0\) n?r \(r >> 2M\), som er tilfellet vi ?nsker. Vi f?r at
\(\begin{align} & f(0) = 0 \\ & f'(0) = \frac{1}{2}\left(1 - \frac{2M}{r}\right)^{-\frac{3}{2}} \approx \frac{1}{2} \\ & (x - a) = \frac{2M}{r} \end{align}\)
Vi ser bort ifra leddene som kommer etter den f?rste ordens deriverte, siden vi der har \((x-a)^2,\; (x-a)^3\)-ledd (og utover) som blir veldig veldig sm? (husk at \(x = \frac{2M}{r} \approx 0\)) slik at de for alle praktiske form?l er 0. Dermed f?r vi at gjennom Taylorutviklingen at for \(r >> 2M\) at
\(\begin{align} \frac{\lambda - \lambda_{SH}}{\lambda_{SH}} = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{2M}{r}}} - 1 \approx 0 + \frac{1}{2}\cdot\frac{2M}{r} = \frac{M}{r} \end{align}\).
Dette viser seg kan v?re en veldig nyttig tiln?rming i diverse tilfeller, og dersom du er interessert i ? se oss bruke dette i noen utregninger + litt til kan du finne det i PDF-en i linken rett nedenfor
Ekstra utregninger for de spesielt interesserte - PDF
Hva kom vi egentlig frem til?
Det vi kom frem til var en formel for Doppler-skiftet som en lysstr?le f?r ved ? reise radielt ut fra et objekt med et tyngdefelt (dette er en viktig forenkling), som vi ikke hadde funnet tidligere (men vi fant det relativistiske doppler-skiftet for spesiell relativitet i Del 8 p? denne posten). Vi brukte ogs? at tiderommet er invariant til ? utlede det, og gjorde ogs? en Taylorutvikling av resultatet vi fant for ? finne en veldig nyttig sammenheng dersom lyskilden ligger langt unna \(2M\).
I neste del av bloggen kommer vi til ? g? bort ifra relativitet for denne gang, men begynner p? en ny interstellar reise: stjerneliv!
Forrige innlegg << Neste innlegg >>