Kategorisering av stjerna v?r
Vi begynner med et diagram. Nei, ikke et sektordiagram og heller ikke et s?ylediagram. Dette er et Hertzsprung-Russell-diagram (HR-diagram).
Dette vakre diagrammet kategoriserer stjernene i universet. Den tykke stripa i midten kalles hovedserien. N?r en stjerne f?des fra en s?kalt giant molecular cloud (GMC, enorm molekylsky), har den veldig lav temperatur, som regel 10-100 Kelvin. Da befinner den seg langt mot h?yre i HR-diagrammet. I figur 1 kan dere se at vi har pr?vd ? gi stjernene st?rrelser som representerer den faktiske st?rrelsen deres. ?verst til h?yre finnes de r?de kjempene. De er ganske "kalde" og har en h?y luminositet. Nederst til venstre finnes de hvite dvergene (beklager, det heter ikke kortvokststjerne). Disse er sv?rt varme, men lyser svakt. Dette kommer vi mer tilbake til senere.
Vi begynner med ? se p? stjerna v?r. F?rst og fremst m? vi kategorisere den. Vi starter med ? angi luminositeten. Husker du ikke hva luminositet er? Kjapp repetisjon:
Fluks er total mottatt energi per areal per tid. Luminositet er total mottatt energi per tid. Luminositet er alts? fluksen summert over hele arealet.
Vi har ogs? Stefan-Boltzmanns lov (SB), \(F=\sigma T^4\), hvor \(\sigma\) er Stefan-Boltzmanns konstant (\(5.67\cdot10^{-8}\,\text{Wm}^{-2}\text{K}^{-4}\)) og \(T\) er overflatetemperaturen til det sorte legeme (legeme som ikke reflekterer noe lys). Her antar vi at stjerna v?r er et sort legeme.
Fra dette ser vi at ved ? gange opp fluksen fra SB, f?r vi luminositeten til stjerna. Det gir oss
\(\begin{align} L=F\cdot A=\sigma T^44\pi R^2 \end{align}\)
Stjerna v?r har radius \(1.06\cdot10^9\,\text{m}\) og temperatur \(7985\,\text{K}\) som gir \(L=3.25\cdot10^{27}\,\text{W}\). Som dere ser p? y-aksen i HR-diagrammet, m? vi finne luminositeten i forhold til sola sin. Den har luminositet lik \(3.828\cdot10^{26}\,\text{W}\). Dermed f?r vi at stjerna v?r har
\(\begin{align} L=\frac{L}{L_\odot}=8.49\,L_\odot \end{align}\)
Husk at tegnet \(\odot\) betyr sola. Dermed kan vi plotte inn v?r kj?re stjerne i HR-diagrammet. Den legger seg pent til rette midt i hovedserien. Lurer dere p? hvor sola deres ligger? Pr?v ? finn det ut selv ved hjelp av at solas temperatur er p? \(5778\,\text{K}\).
Levetid p? hovedserien
Et viktig konsept i astronomien er proporsjonaliteter. Noen av dere har kanskje h?rt l?reren deres si at tyngdekrafta er proporsjonal, eller "g?r som" én over radien i andre.
\(F_G=G\frac{mM}{r^2}\)
Her er \(G\) gravitasjonskonstanten (\(6.67\cdot10^{-11}\,\text{m}^3\text{kg}^{-1}\text{s}^{-2}\)) og m-ene er massene. Det vi ser her er at \(G\) og massene er konstanter. Alts? tall med en fast verdi. Det eneste som varierer er \(r\), som er avstanden fra objektets sentrum. Hvis vi samler alle konstantene i ett symbol, \(\kappa\), s? ser vi at tyngdekrafta kan skrives som
\(F_G=\kappa\frac{1}{r^2}\)
Dersom vi kun ser p? variabelen \(r\), og dropper konstanten, f?r vi proporsjonaliteten. Da kan vi skrive at
\(F_G\propto\frac{1}{r^2}\)
Dette er alts? tyngdekrafta, en konstant n?r. Det kan hjelpe oss med ? se for oss hvordan tyngdekrafta avtar som funksjon av avstanden fra sentrum.
Vi skal benytte f?lgende proporsjonalitet for ? ansl? stjerna v?r sin tid p? hovedserien.
\(t_\text{life}\propto\frac{1}{M^3}\)
Hvor \(M\) er massen til stjerna. Det neste steget er ? finne en kjent st?rrelse som vi kan sammenlikne med. Det mest n?rliggende er ? bruke sola. Dere har gjort en god jobb, og funnet ut av at sola kommer til ? leve p? hovedserien i \(\sim10^{10}\) ?r. Det vil si at forholdet
\(\begin{align} \frac{t_\text{life}}{t_\odot^\text{ms}}=\bigg(\frac{M_\odot}{M}\bigg)^3 \end{align}\)
kan brukes til ? finne tiden stjerna v?r lever p? hovedserien. Her st?r \(\text{ms}\) for main sequence. Vi skriver om formelen og angir stjerna v?r i enhet solmasser. Dermed f?r vi at stjerna v?r antas ? leve omtrent \(1.5\cdot10^9\) ?r, eller én og en halv milliarder ?r.
La oss presentere to nye proporsjonaliteter.
\(\begin{align} \begin{split} L\propto M^4 \end{split} \quad\quad\quad \begin{split} M\propto T_\text{eff}^2 \end{split} \end{align}\)
Luminositeten er proporsjonal med massen i fjerde potens, og massen er proporsjonal med den effektive temperaturen i andre potens. P? samme m?te som f?r bruker vi sola til ? finne verdiene. Dersom svaret vi f?r avviker for mye fra det vi har funnet tidligere, kan vi sl? fast at stjerna v?r ikke vil v?re en "veloppdragen" hovedseriestjerne. Resultatene vi f?r er et avvik p? \(72.1\,\%\) i luminositeten og \(2.3\,\%\) i massen. Det vil si at stjerna v?r dessverre nok vil v?re en ganske uregjerlig stjerne.
Giant molecular cloud
Stjerner formes fra noe som kaller kjempestore molekylskyer (GMC). Disse skyene best?r i hovedsak av hydrogen(H), men ogs? av andre stoffer og st?v. Under de rette betingelsene kan skyen kollapse under sin egen gravitasjon, og dette vil f?re til at kjernereaksjoner starter. En stjerne er f?dt.
V?r stjerne startet som en GMC. Her har vi antatt f?lgende.
- Stjerna startet som en sf?risk symmetrisk GMC
- Gasskyen har en temperatur p? \(10\,\text{K}\)
- Skyen best?r av \(75\,\%\) hydrogen og \(25\,\%\) helium (He)
- Skyen kollapser av seg selv, uten ytre p?virkning
- Massen til gasskyen tilsvarer massen til stjerna
Det finnes en formel for den nedre grensen for radien til en GMC, oppkalt etter den engelske astronomen James Jeans (Englands svar p? Harry Hole?). Den kalles Jeansradien, og er gitt ved
\(\begin{align} R_J=\sqrt{\frac{15\,k\,T}{4\pi G\mu\,m_H\rho}} \end{align}\)
hvor \(k\) er Boltzmanns konstant (\(1.38\cdot10^{-23}\text{m}^2\text{kg s}^{-2}\text{K}^{-1}\)), \(G\) er gravitasjonskonstanten, \(\mu\,m_H\) er midlere molekylvekt m?lt i hydrogenmasse og \(\rho\) er tettheten. Siden vi antar at massen til gasskyen er lik massen til stjerna, finner vi tettheten ved \(\rho=\frac{3M}{4\pi R^3}\). For ? finne den nedre grensen, l?ser vi \(R>R_J\). F?rst opph?yer vi likningen i andre potens. Det vi finner er en ?vre grense for radien. Dette skjer fordi vi antar konstant masse. Vi finner f?lgende.
\(R_\text{max}=\frac{GM\mu m_H}{5kT}=1.1\cdot10^{12}\text{km}\)
La oss anta at radien var \(80\,\%\) av denne. Vi regner ut luminositeten m?lt i sol-luminositet, og plotter den inn i HR-diagrammet.
Som dere ser s? var luminositeten omtrent den samme da stjerna v?r bare bar en gassky. Temperaturen var s?pass lav at den plasserer seg godt til h?yre for stjernene.
I neste innlegg skal vi se p? kjernereaksjonene som skjer i stjerna.