Kjernetemperatur
Vi starter rett p?! Her er antagelsene v?re:
- Tettheten til stjerna er uniform, alts? likt fordelt utover hele stjerna
- Vi antar ideell gass inne i stjerna, og ser bort fra str?lingstrykk n?r vi bruker trykkloven for ideell gass
- Stjerna er i hydrostatisk likevekt
- Stjerna inneholder kun protoner
Her m? vi forklare litt. Dere husker kanskje hva en ideell gass er? Trykk her for ? lese om dette. Trykkloven for ideell gass er
\(\begin{align} P=\frac{\rho kT}{\mu m_H} \end{align}\)
hvor \(\rho\) er tettheten til gassen, \(T\) er temperaturen og \(\mu m_H\) er midlere molekylvekt angitt i hydrogenmasse. Midlere molekylvekt regnes ut slik:
\(\begin{align} \mu=\sum_{i=1}^Nf_i\frac{m_i}{m_H} \end{align}\)
Her er \(f_i\) fraksjonsdelen, og \(m_i\) massen av stoff \(i\).
Hydrostatisk likevekt er det som gj?r at atmosf?ren p? jorda ikke faller ned i hodet deres. Formelen for hydrostatisk likevekt ser slik ut:
\(\begin{align} \frac{dP}{dr}=-\rho(r)g(r) \end{align}\)
Siden tettheten er uniform, kan vi sette \(\rho(r)=\rho_0\). N?r det gjelder \(g(r)\) s? er dette den tyngdeakselerasjonen som virker p? et lite delvolum en avstand \(r\) fra sentrum av stjerna. For ? finne et uttrykk for denne, trenger vi f?rst ? finne et uttrykk for massen til stjerna p? innsiden av \(r\). Vi vet at tettheten er gitt ved \(\rho_0=\frac{M}{V}\), hvor \(M\) er massen og \(V=\frac{4}{3}\pi R^3\) er volumet av stjerna. For ? finne ut av hva massen innenfor et avgrenset omr?de i stjerna er, s? lar vi volumet \(V(r)\) v?re bestemt av \(r\), og l?ser likningen for \(M(r)\).
\(\begin{align} M(r)=\frac{4}{3}\rho_0\pi\,r^3 \end{align}\)
Dermed kan vi uttrykke \(g(r)\) slik:
\(\begin{align} g(r)=G\frac{M(r)}{r^2}=\frac{4}{3}G\rho_0\pi\,r \end{align}\)
Her er \(G\) gravitasjonskonstanten (\(6.67\cdot10^{-11}\text{m}^3\text{kg}^{-1}\text{s}^{-2}\)).
Med disse uttrykkene kan vi finne et uttrykk for temperaturendring som funksjon av avstanden fra stjernas sentrum. Ved ? derivere den ideelle gassloven f?r vi
\(\begin{align} \frac{dP}{dr}=\frac{d}{dr}\bigg(\frac{\rho_0k\,T(r)}{\mu m_H}\bigg)=\frac{dT(r)}{dr}\cdot\frac{\rho_0k}{\mu m_H} \end{align}\)
Dette uttrykket m? v?re likt uttrykket for hydrostatisk likevekt. Vi setter dem like hverandre, og l?ser for temperaturendringen. Det gir oss
\(\begin{align} \frac{dT(r)}{dr}=-\frac{4\pi}{3}G\rho_0\frac{\mu m_H}{k}r \end{align}\)
For ? f? et uttrykk for kjernetemperaturen \(T_c\), integrerer vi uttrykket fra 0 til radiusen til stjerna, \(R\).
\(\begin{align} \int_0^R\frac{dT}{dr}&=\int_0^R-\frac{4\pi}{3}G\rho_0\frac{\mu m_H}{k}r\,dr\\ T(R)-T(0)&=--\frac{2\pi}{3}G\rho_0\frac{\mu m_H}{k}R^2\\ T_c=T(0)&=T(R)+\frac{2\pi}{3}G\rho_0\frac{\mu m_H}{k}R^2 \end{align}\)
Temperaturen ved overflaten, \(T(R)\) har vi funnet tidligere til ? v?re \(7.99\cdot10^3\text{K}\). Dermed finner vi at kjernetemperaturen er \(1.49\cdot10^7\text{K}\).
Luminositet og energi
Nok en gang begynner vi med noen antagelser.
- Alle kjernereaksjoner finner sted innenfor \(0.2R\)
- Energiproduksjonen kommer fra proton-proton-kjeden og CNO-syklusen
- Kjernen best?r av \(74.5\%\) hydrogen (H), \(25.3\%\) helium (He) og en samlet andel for karbon (C), nitrogen (N) og oksygen (O) p? \(0.2\%\).
Proton-proton-kjeden (pp-chain) er en reaksjon der stjerna omgj?re hydrogen til helium. Denne omdannelsen er mest effektiv ved temperaturer p? 15 millioner Kelvin. Kjeden ser slik ut:
\(\begin{align} \varepsilon_\text{pp}\approx\varepsilon_{0,\text{pp}}X_H^2\rho T_6^4 \end{align}\)
Her er \(\varepsilon_{0,\text{pp}}=1.08\cdot10^{-12}\text{Wm}^3\text{kg}^{-2}\) en konstant. \(X_H\) er andelen av hydrogen, \(\rho\) er tettheten og \(T_6\) er temperatur m?lt i millioner Kelvin.
CNO-syklusen er en annen reaksjon stjerna kan bruke for ? omgj?re hydrogen til helium. Temperaturer p? ~20 millioner Kelvin er mest effektiv her. Syklusen skrives som f?lger.
\(\begin{align} \varepsilon_\text{CNO}=\varepsilon_{0,\text{CNO}}X_HX_{CNO}\rho T_6^{20} \end{align}\)
Her er \(\varepsilon_{0,\text{CNO}}=8.24\cdot10^{-31}\text{Wm}^3\text{kg}^{-2}\). \(X_\text{CNO}\) er den samlede andelen karbon, nitrogen og oksygen.
Fra antagelsene v?re har vi at
\(X_H=74.5\%=0.074\\ X_\text{CNO}=0.2\%=0.002\)
Symbolet \(\varepsilon\) angir frigitt energi per masse per tid. Siden luminositet er frigitt energi per tid, kan vi skrive
\(\frac{dL}{dm}=\varepsilon\)
Hvis vi ser p? en liten sf?risk delmasse med radius \(r\), vil denne massen kunne skrives som \(dm=dV\rho(r)\). Siden tettheten er konstant kan vi skrive \(dm=4\pi r^2\rho_o\,dr\). Dermed f?r vi dette uttrykket for luminositeten:
\(\begin{align} \frac{dL}{dr}=4\pi r^2\rho_0(\varepsilon_\text{pp}+\varepsilon_\text{CNO}) \end{align}\)
Fra antagelsen v?r skjer det kun kjernereaksjoner innenfor en radius p? \(0.2R\), s? vi integrerer fra 0 til \(0.2R\).
\(\begin{align} \int_0^{0.2R}\frac{dL}{dr}&=\int_0^{0.2R}4\pi r^2\rho_0(\varepsilon_\text{pp}+\varepsilon_\text{CNO})dr\\ L&=\frac{4\pi}{3}\rho_0(\varepsilon_\text{pp}+\varepsilon_\text{CNO})(0.2R)^3 \end{align}\)
Vi har at
\(\begin{align} \varepsilon_\text{pp}&=2.3\cdot10^{-5}\,\text{W kg}^{-1}\\ \varepsilon_\text{CNO}&=2.6\cdot10^{-7}\,\text{W kg}^{-1} \end{align}\)
Dette gir oss en luminositet p? \(7.2\cdot10^{23}\,\text{W}\). I forrige innlegg fant vi at luminositeten er \(3.251\cdot10^{23}\,\text{W}\). Dette er en relativ feil p? nesten 100 prosent. Grunnen til at vi f?r s? stort avvik er selvsagt antagelsene v?re. Uniform tetthet er langt fra sannheten n?r det kommer til den virkelige verden. Energien som transporteres ut av kjernen vil ikke "gli" pent og pyntelig gjennom alle lagene til stjerna. Det er det vi antar n?r vi antar uniform tetthet. La oss ta en titt p? hva temperaturen blir, med den nye luminositeten. Vi har at
\(\begin{align} L&=4\pi R^2\sigma T^4\\ T&=\sqrt[4]{\frac{L}{4\pi R^2\sigma}} \end{align}\)
hvor \(\sigma\) er Stefan-Boltzmanns konstant (\(5.67\cdot10^{-8}\,\text{W m}^2\text{K}^{-4}\)). Vi finner at temperaturen n? er \(973.3\,\text{K}\), i motsetning til det vi vet at den skal v?re; \(7985\,\text{K}\). Her f?r vi en relativ feil p? nesten 88 prosent. Igjen, handler dette om antagelsen om uniform tetthet, i tillegg til antagelsen om at temperaturen er konstant p? hele overflaten. Det er den absolutt ikke.
I neste og siste innlegg skal vi ta for oss noe makabert. Nemlig d?den. Mannen med lj?en har f?tt seg romskip.
Forrige innlegg << Neste innlegg >>