? g? sin egen vei

Vi ?nsker oss en modell av banene som er avhengig av tid, og dette kan den analytiske funksjonen dessverre ikke gi oss. Dermed m? vi simulere planetenes bane numerisk! Akkurat hvordan vi gj?r dette vil vi ikke g? inn p?, men de som er veldig interesserte kan ta en titt p? Leapfrog integrasjon.

Vi kj?rer simulasjonen, og f?r f?lgende output:

Dette ser veldig likt ut som det analytiske! For ? sammenlikne enda bedre kan vi til og med tegne banene samtidig:

Dette ser veldig bra ut, men vi vet ikke om det er helt riktig. Vi m? huske p? at selv om vi jobber i AU, s? arbeider vi med enormt store bevegelser, s? banene vi tegner her kan i virkeligheten v?re forskjellige uten at vi kan se det! Igjen ?nsker vi ? gjennomf?re noen tester slik at vi kan overbevise oss selv om at vi har gjort det riktig. Vi vil vise resultatene for den n?rmeste planeten her, men tabeller med all data ligger til slutt.

Leapfrog s?rger egentlig for at energien i systemet er bevart, men siden vi har lagt referansepunktet v?rt i stjernen, som egentlig har en akselerasjon vi har ignorert, vil ikke energien v?re bevart, siden vi er i et akselerert system. Vi m? dermed finne noe annet ? teste.

Dersom simulasjonen gj?r noe feil, burde posisjonene v?re lenger og lenger unna de analytiske posisjonene jo lengre tiden g?r. Vi ser derfor p? den siste numeriske posisjonen, og sammenlikner med hvor de analytiske banene er ved samme vinkel (hvordan vi gj?r dette er litt teknisk, men de som er interesserte kan lese om det her):

Dette ser lovende ut (Merk at disse m?ler distanse fra stjernen, ikke posisjonsvektor). Mens vi f?rst ser p? distanser, kan vi ogs? se om aphel- og periheldistansene er riktige. Vi ser p? de st?rste og minste distansene fra stjernen, og sjekker om de passer med de analytiske verdiene:

Igjen, ser dataen ut til ? passe med de analytiske m?lingene. Siden disse m?lingene passer, kan vi v?re ganske sikre p? at de numeriske banene og de analytiske banene har like former. S? langt har vi bare sett p? st?rrelser, men vi vet ingen ting om tiden. Til slutt vil vi da se p? banenes oml?pstider, som vi kan beregne analytisk, slik at vi kan forsikre oss om at planetene bruker riktig tid p? ? rotere rundt stjernen. Vi sammenlikner disse analytiske beregningene med de numeriske:

Disse passer ogs? sammen! Med dette kan vi si oss ganske trygge p? at de numeriske beregningene er riktige, men for ? bli helt sikre, vil vi n? sammenlikne dem med Keplers lover.

(For de helt spesielt interesserte,    ligger data fra alle planetene her)