Operatoralgebraer

- en spesialisering innen Masterstudiet i Matematikk ved UiO

Studiets oppbygning

Hva er "Operatoralgebraer"?

Operatoralgebraer omfatter C*-algebraer og von Neumann algebraer. Feltet klassifiseres innenfor matematikken som en del av analysen, n?rmere bestemt funksjonalanalysen. Funksjonalanalysen behandler analyse p? uendelige dimensjonale vektorrom ved ? ta i bruk topologiske begreper. En line?r avbildning mellom slike rom kalles en operator, og operator teori er av stor betydning i nesten all moderne analyse. Klassiske eksempler p? operatorer er differensial- og integraloperatorer. Fourier transformasjonen, eller det ? danne Fourierrekken til en funksjon, kan oppfattes som en operator mellom to uendeligdimensjonale funksjonsrom. Et viktig moment er at sammensetningen av operatorer er en ikke-kommutativ operasjon : det m? alts? taes hensyn til rekkef?lgen av operatorene i et slikt produkt. Dette skaper problemer for utviklingen av teorien, men dette gj?r den ogs? mere spennende, med vidtrekkende konsekvenser -- den utgj?r faktisk det matematiske grunnlaget for kvantemekanikken i fysikken.

Det er ofte hensiktsmessig ? ikke bare betrakte en enkel operator, men en hel klasse av operatorer som danner en algebra samtidig som den oppfyller noen spesielle tekniske betingelser. I slike operatoralgebraer er det ikke-kommutative aspektet ved produktet igjen fremtredende. Operatoralgebraer kan gis en elegant aksiomatisk presentasjon og de kan da sees p? som en generalisering av "vanlige" kommutative funksjonsalgebraer. I det tilfellet at algebraene er endeligdimensjonale, er de endelige summer av matrisealgebraer. I tillegg til ? v?re et eget fagfelt som inndeles videre i mange retninger, er operator algebraer et nyttig verkt?y i mange andre omr?der av matematikken. Her kan nevnes f.eks. topologi, geometri, knuteteori, dynamiske systemer, ergodeteori, wavelets, representasjonsteori for lokal kompakte grupper og kvantegrupper. Studiet av C*-algebraer kalles ofte ikke-kommutativ topologi eller ikke-kommutativ geometri, mens studiet av von Neumann algebraer kalles ikke-kommutativ m?lteori.

Operatoralgebraer er et internasjonalt meget aktivt forskningsomr?de og det fins en veletablert forskningsgruppe i dette feltet ved Matematisk Institutt. For informasjon om forskningsgruppen, dens aktiviteter og aktuelle temaer for masteroppgaver, kan man konsultere gruppens hjemmeside eller enkeltmedlemmennes hjemmesider (se nederst).

Om masterstudiet i matematikk med "Operatoralgebraer" som spesialisering

For ? kunne skrive en masteroppgave innenfor feltet operatoralgebraer, m? man ha fullf?rt bachelorgraden i Matematikk med informatikk, med studieretningen i matematikk, eller ha tilsvarende godkjent utdanning.

Det anbefales p? det sterkeste at emnet MAT3400 ¨C Line?r analyse med anvendelser tas i l?pet av bachelorstudiet. Hvis ikke m? emnet MAT4400 ¨C Line?r analyse med anvendelser tas i l?pet av masterstudiet.

Videre gjelder det at f?lgende emner anbefales ? ta i l?pet av masterstudiet:

• MAT4500 ¨C Topologi
• MAT4410 ¨C Videreg?ende line?r analyse
• MAT4450 ¨C Videreg?ende funksjonalanalyse
• MAT4460 ¨C C*-algebraer

Et eksempel p? studieplan med kort masteroppgave for studenter som har tatt MAT3400 i bachelorgraden er:

Den enkelte students studievei p? masterniv? vil bli lagt opp i ÑDz©ÓéÀÖ¹ÙÍø_ÑDz©ptÊÖ»ú¿Í»§¶ËµÇ¼ med veilederen, med utgangspunkt i studentens bakgrunn og interesser og med tanke p? temaet for masteroppgaven.

Ta gjerne kontakt med Erik B¨¦dos, Nadia Larsen, Sergey Neshveyev, Makoto Yamashita eller Alexander M¨¹ller-Hermes for ? avtale en samtale.