Logg #009 (Dato: 01.10.42)

Jeg tenker ? gj?re et lite eksperiment. Jeg skal se om fysikk 2-elever p? videreg?ende kan f?lge med p? rakettforskermatematikk. Jeg tenker imidlertid ? v?re litt grei, og ikke finne fram det st?rste, styggeste dyret av en likning og late som denne er typisk for hva jeg regner p? i hverdagen, for det ville ikke v?re sant. Okey, se for deg et scenario; en romsonde svever gjennom det kalde, svarte verdensrommet mellom planetene i et solsystem. Den forlot hjemplaneten sin for sju m?neder siden, og begynner ? n?rme seg m?let sitt. De to kreftene som virker p? sonden med nevneverdig effekt er gravitasjonskraften fra stjerna og den fra destinasjonsplaneten som n?rmer seg. Sp?rsm?let jeg vil at vi skal se p? sammen er: i hvilken avstand fra en planet vil tyngdekraften fra planeten dominere over tyngdekraften fra stjerna? Og det er her matematikken kommer inn. Jeg vil nemlig finne et helt generelt uttrykk for denne avstanden. 

N? snakker vi om bevegelser igjen, ikke sant? Kan du, kj?re leser, gjette hvilket navn som da dukker opp igjen, atter en gang? Hvis du n? roper "Newton!" h?yt mot PC-skjermen din har du rett ... du skal f? rett selv om du bare tenkte det ogs?, faktisk. Newton var en flink mann som har f?tt mye oppkalt etter seg. I dette tilfellet er det newtons gravitasjonslov vi skal bruke. Den har vi sett f?r i tidligere logger, men her er den igjen s? du slipper ? lete etter den:

Denne sier noe om kraften som virker mellom to legemer med masse \(m\) og \(M\), og avstand \(r\) mellom seg. \(G\) er her gravitasjonskonstanten som bare er et konstant tall. 

Da skal vi pr?ve ? lage oss en likning. Planen er ? uttrykke tyngdekraften p? sonden fra planeten (\(F_p\)) p? to forskjellige m?ter, og s? sette dem lik hverandre. Den ene m?ten er ganske enkelt bare ? sette inn massen til sonden, massen til planeten og avstanden mellom dem i newtons gravitasjonslov:

S? var det den andre m?ten. Siden vi skal finne ut n?r tyngdekraften fra planeten dominerer over tyngdekraften fra stjerna kan vi jo si at tyngdekraften fra planeten p? v?re et eller annet tall (\(k\)) ganger st?rre enn tyngdekraften fra stjerna. Da kan vi si at for en tilstrekkelig stor \(k \) vil tyngdekraften fra planeten v?re stor nok til ? dominere over tyngdekraften fra stjerna. Da skriver vi:

Der \(M_*\) er massen til stjerna, og \(r_*\) er avstanden fra sonden til stjerna.

Var du med p? den? Hvis ikke, si gjerne fra i kommentarene. N? har vi to forskjellige m?ter ? uttrykke det samme, s? da kan vi skrive opp likninga vi vil l?se:

Da begynner vi med litt algebra. Husk at det vi vil finne er avstanden fra planeten der dette gjelder. Det vil si \(r_p\). Pr?v gjerne ? l?se likningen med hensyn p? \(r_p\) p? egenh?nd f?r du leser videre. Her er s?nn jeg gjorde det:

Jeg begynner med ? forkorte bort \(m\) og \(-G\) p? begge sider:

Deretter f?r vi \(r_p^2\) alene p? venstresiden ved ? gange med \(r_p^2\) og \(r_*^2\) og dele p? \(k\) og \(M_*\) p? begge sider:

Da mangler det bare ? ta kvadratroten p? begge sider og forenkle venstresiden:

Og da var vi faktisk framme. Det var ikke verre. Hvor stor vi vil ha \(k\) kan vi faktisk bestemme selv, men den m? v?re st?rre enn 1 (ellers er tyngdekraften til stjerna st?rre enn den fra planeten). Det kommer bare an p? hvor dominerende vi ?nsker at planetens gravitasjon skal v?re enn stjernas. Fikk du det til p? egenh?nd? I s? fall gratulerer!

S? for dere som tenker at matte og fysikk er mye vanskeligere om du er rakettforsker enn om du er elev p? videreg?ende, s? er det ikke fullt s? ille. Den kanskje st?rste forskjellen er at "oppgaven" blir ikke oppgitt som en ferdig likning i en bok. Du m? tenke deg fram til den ut ifra det du vet om hvordan verden fungerer, men det er jo tross alt det vi har universiteter for ? l?re oss. Neste logg skal vi mer tilbake til Prosjektet igjen, men jeg tenkte det kunne v?re g?y med en utfordring som denne en gang iblant.

Vi snakkes!

- NLO Gustav